PWM-Arbeitszyklus-Mathematik: Durchschnitts- und RMS-Spannung erklärt

Warum PWM-Berechnungen wichtiger sind als Sie denken

Pulsweitenmodulation ist überall. Motorantriebe, LED-Dimmer, Schaltregler, Audioverstärker — wenn Sie etwas mit Leistungselektronik zu tun haben, werden Sie wahrscheinlich irgendwann auf ein PWM-Signal starren. Die Mathematik sieht trivial aus, bis Sie sie tatsächlich richtig machen müssen.

Die Sache ist die: Die meisten Ingenieure können einen Arbeitszyklus anhand einer Oszilloskopspur ablesen. Aber wenn Sie eine Schaltung von Grund auf neu entwerfen, müssen Sie rückwärts arbeiten. Sie wissen, dass Sie bei einer 5-V-Versorgung durchschnittlich 3,3 V erwarten. Welcher Arbeitszyklus ist dafür erforderlich? Und wie hoch ist die RMS-Spannung, die Ihre Last tatsächlich sieht? Diese zweite Frage bringt die Leute ständig auf die Palme.

Die Kernbeziehungen

Lassen Sie uns die Grundlagen festlegen. Ein PWM-Signal hat eine Einschaltdauer $t_{on}$ und eine Periode $T$. Der Arbeitszyklus $ D$lautet einfach:

In Prozent ausgedrückt, multiplizieren Sie mit 100. Die Frequenz ist der Kehrwert der Periode:

Die Freizeit fällt von selbst aus:

Durchschnittliche Spannung

Für ein Signal, das zwischen 0 V und einer bestimmten Versorgungsspannung umschaltet $V_s$, beträgt die durchschnittliche Spannung (DC):

Das würde Ihnen ein einfacher RC-Filter bieten, wenn die Grenzfrequenz deutlich unter der PWM-Frequenz liegt. Es bestimmt auch den durchschnittlichen Strom, der durch eine induktive Last wie eine Motorwicklung fließt.

RMS-Spannung — Wo es interessant wird

Die RMS-Spannung für eine PWM-Wellenform entspricht nicht der Durchschnittsspannung. Für ein Signal, das entweder $V_s$ oder 0 ist:

Warum die Quadratwurzel? Weil RMS als Quadratwurzel des Mittelwerts der quadrierten Spannung definiert ist. In $t_{on}$ ist das Quadrat der Spannung $V_s^2$. Bei $ t_{off}$ist sie Null. Bilden Sie den Durchschnitt der quadrierten Werte über einen ganzen Zeitraum, ziehen Sie die Quadratwurzel und Sie erhalten $ V_s \\sqrt{D}$.

Diese Unterscheidung ist für Leistungsberechnungen von enormer Bedeutung. Wenn Sie eine Widerstandsheizung mit PWM betreiben, hängt die abgegebene Leistung von der RMS-Spannung ab, nicht von der Durchschnittsspannung. Bei einer Einschaltdauer von 50% bei einer 12-V-Versorgung erhalten Sie durchschnittlich 6 V, aber etwa 8,49 V RMS. Die Leistung eines 10-Ω-Widerstands würde $V_{RMS}^2 / R = 7.2$ W betragen, nicht die 3,6 W, die Sie bei naiver Verwendung der Durchschnittsspannung erhalten würden.

Funktionierendes Beispiel: LED-Dimmkreis

Lassen Sie uns ein reales Szenario durchgehen. Sie entwerfen einen Treiber für die LED-Hintergrundbeleuchtung für ein Display. Die LED-Zeichenfolge hat eine Vorwärtsspannung von 28 V und wird von einer 32-V-Schiene durch einen Strombegrenzungskreis geführt. Sie möchten die LEDs mithilfe von PWM bei 1 kHz auf 40% Helligkeit dimmen.

Gegeben:

• Versorgungsspannung:$V_s = 32$ V
• Zielhelligkeit: 40% (das bedeutet 40% Durchschnittsstrom, also 40% Einschaltdauer)
• PWM-Frequenz:$f = 1000$ Hz

Schritt 1: Finde den Perioden Schritt 2: Pünktlichkeit aus dem Arbeitszyklus berechnen Schritt 3: Pausen Schritt 4: Durchschnittsspannung Schritt 5: RMS-Spannung

Nun, speziell bei LEDs ist die Helligkeitswahrnehmung ungefähr proportional zum durchschnittlichen Strom, also ist die Berechnung der Durchschnittsspannung das, worauf Sie bei der Dimmsteuerung achten. Wenn Sie jedoch die Verlustleistung in einem Widerstandselement im selben Stromkreis berechnen würden — beispielsweise in einem Strommesswiderstand —, benötigen Sie den Effektivwert.

Sie können diese Berechnungen schnell überprüfen, indem Sie die Zahlen in den Öffnen Sie den PWM Duty Cycle Calculator eingeben.

Wann der Vergleich zwischen Durchschnitt und RMS wirklich wichtig ist

Die Unterscheidung zwischen Durchschnitt und RMS ist nicht rein akademisch. Hier sind drei Fälle, in denen falsche Angaben zu echten Problemen führen:

Widerstandsheizelemente. Die Ausgangsleistung einer PWM-gesteuerten Heizung hängt von der Effektivspannung geteilt durch den Widerstand ab. Wenn Sie die Durchschnittsspannung verwenden, unterschätzen Sie die Leistung um den Faktor $1/\\sqrt{D}$. Bei einem Arbeitszyklus von 25% ist das ein Fehlerfaktor von 2. Berechnungen des Motordrehmoments. Das Drehmoment des Gleichstrommotors ist proportional zum Durchschnittsstrom, der sich aus der Durchschnittsspannung dividiert durch den Wicklungswiderstand ergibt (Gegen-EMF wird für einen Moment ignoriert). Die I²R-Verluste in den Wicklungen hängen jedoch vom Effektivstrom ab. Ein Motor, der mit einer Einschaltdauer von 50% läuft, weist höhere Kupferverluste auf, als es der Durchschnittsstrom vermuten lässt. Nennstromstärke des Kondensators. Der Effektivstrom, der durch einen Filterkondensator in einem PWM-Stromkreis fließt, bestimmt, wie stark dieser sich erwärmt. Elektrolytkondensatoren haben Grenzwerte für den Rippelstrom, und deren Überschreitung verkürzt ihre Lebensdauer drastisch. Sie benötigen hier den RMS-Wert, nicht den Durchschnittswert.

Häufige Fehler und Fallstricke

Verwirrende Richtung des Arbeitszyklus

Das klingt dämlich, passiert aber ständig. Ist die Einschaltdauer von 100% vollständig aktiviert oder vollständig ausgeschaltet? In den meisten Konventionen bedeutet 100%, dass die Leistung während des gesamten Zeitraums hoch ist — also voll eingeschaltet. Einige Motorsteuerungen und LED-Treiber kehren dies jedoch um, insbesondere wenn sie Low-Side-Switching mit Active-Low-Logik verwenden. Überprüfen Sie immer das Datenblatt oder den Schaltplan.

Die Totzeit vergessen

Bei H-Brücken- und Halbbrückenschaltungen gibt es zwischen dem Ausschalten eines Schalters und dem Einschalten des anderen eine absichtliche Totzeit. Dadurch wird ein Durchschlagsstrom vermieden, gleichzeitig wird aber auch der effektive Einschaltbereich reduziert. Wenn Ihr Controller bei jedem Übergang bei 100 kHz (Zeitraum 10 μs) eine Totzeit von 500 ns vorgibt, haben Sie 10% Ihres Tastzyklusbereichs verloren.

Es wird von einer linearen Helligkeitswahrnehmung ausgegangen

Wenn Sie LEDs für den menschlichen Blick dimmen, folgt die wahrgenommene Helligkeit ungefähr einer logarithmischen Kurve. Eine Einschaltdauer von 50% sieht nicht nach einer Helligkeit von 50% aus — es sieht viel heller aus. Sie benötigen eine Gammakorrektur in der Abbildung Ihres Arbeitszyklus. Das ist an sich kein PWM-Rechenfehler, aber hier trifft Mathematik auf Realität.

Die Zeiten von Aufstieg und Fall werden ignoriert

Die Formeln gehen von einem sofortigen Umschalten aus. Echte MOSFETs und Gate-Treiber haben endliche Anstiegs- und Abfallzeiten. Bei niedrigen Frequenzen ist dies vernachlässigbar. Bei 500 kHz mit 50 ns-Übergängen verbrauchen diese Kanten 5% Ihrer Periode. Die effektive Einschaltdauer und die berechnete Einschaltdauer beginnen sich zu unterscheiden, und Ihre Durchschnittsspannung wird nicht ganz Ihren Erwartungen entsprechen.

Es wurde die falsche Spannung für die Berechnung verwendet

Die Versorgungsspannung in der Formel ist die Spannung, die die Last während der Einschaltdauer tatsächlich sieht. Wenn Sie eine 12-V-Versorgung haben, aber am MOSFET ein Abfall von 0,5 V und am Strommesswiderstand weitere 0,3 V abfallen, beträgt die effektive Versorgungsspannung 11,2 V. Kleine Fehler summieren sich hier, wenn Sie versuchen, eine präzise Spannung zu erreichen.

Überlegungen zur Frequenzauswahl

Der Rechner gibt Ihnen die Frequenz aus der Periode an, aber die Wahl der richtigen PWM-Frequenz erfordert in erster Linie Kompromisse.

Bei Motorantrieben sollten Sie in der Regel über dem hörbaren Bereich liegen — mindestens 20 kHz —, um ein Gejammer zu vermeiden. Höhere Frequenzen bedeuten jedoch mehr Schaltverluste in Ihren MOSFETs und mehr Kernverluste in allen Induktoren. Die meisten Motorsteuerungen pendeln sich irgendwo zwischen 20 kHz und 50 kHz ein.

Beim Dimmen von LEDs können Sie oft mit viel niedrigeren Frequenzen auskommen, wenn kein Flimmern sichtbar ist. Kamerasensoren nehmen jedoch Flimmern auf, das Menschen nicht sehen. Daher benötigt alles, was fotografiert oder gefilmt werden soll, mindestens einige kHz.

Schaltregler haben ihre eigenen Beschränkungen, die von der Größe der Induktoren und den Anforderungen an das Einschwingverhalten abhängen. Ein Abwärtswandler, der mit 500 kHz läuft, benötigt eine viel kleinere Induktivität als ein Abwärtswandler, der Controller und der FET nehmen jedoch zu.

Jenseits idealer Wellenformen

Alles oben Gesagte geht von einem sauberen rechteckigen Impuls aus. Die Realität ist chaotischer. Die parasitäre Induktivität verursacht ein Klingeln an den Rändern. Die umgekehrte Erholung der Körperdioden erzeugt Stromspitzen. EMI-Filter fügen ihre eigenen frequenzabhängigen Effekte hinzu.

Bei den meisten Berechnungen des Arbeitszyklus und der Durchschnittsspannung können Sie diese Effekte zweiter Ordnung ignorieren. Wenn Sie jedoch Präzisionsarbeiten durchführen — beispielsweise einen PWM-basierten DAC kalibrieren oder die Effizienz auf drei Dezimalstellen messen —, müssen Sie diese berücksichtigen. Ein Oszilloskop mit mathematischen Funktionen kann die tatsächlichen Durchschnitts- und RMS-Werte Ihrer realen Wellenform berechnen, was immer die Grundwahrheit ist.

Versuch es

Wenn Sie gerade ein PWM-Design durcharbeiten und schnell Ihren Arbeitszyklus, Ihre Durchschnittsspannung und Ihre RMS-Berechnungen überprüfen möchten, öffnen Sie den PWM-Arbeitszyklusrechner. Geben Sie Ihre Einschaltzeit und Ihren Zeitraum ein, und alle abgeleiteten Werte werden Ihnen sofort angezeigt. Dies ist besonders praktisch, wenn Sie anhand von Zeitwerten iterieren und nicht ständig Zahlen in einen Taschenrechner oder eine Tabelle eingeben möchten.