Calculadora de divisor de potencia Wilkinson: división igual y desigual

Diseñe un divisor de potencia Wilkinson de dos salidas para cualquier relación de potencia: las impedancias de los brazos de cuarto de onda, la resistencia de aislamiento, las terminaciones de salida y sus transformadores de adaptación, y la longitud física de cuarto de onda, con cada línea comprobada frente al rango de impedancias que su proceso puede fabricar.

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Referencia de Fórmula

K^2 = \frac{P_3}{P_2},\quad Z_{03} = Z_0\sqrt{\frac{1+K^2}{K^3}},\quad Z_{02} = K^2 Z_{03},\quad R = Z_0\left(K + \frac{1}{K}\right),\quad R_2 = Z_0 K,\quad R_3 = \frac{Z_0}{K}

Ref: Pozar, Microwave Engineering, 4th ed. (2012), §7.3, Eqs. (7.37a)–(7.37c)

Z_0— Impedancia del sistema (Ω)

K^2— Relación de potencias P₃/P₂

Z_{02}, Z_{03}— Impedancias de los brazos de cuarto de onda hacia los puertos 2 y 3 (Ω)

R— Resistencia de aislamiento entre los extremos de los brazos (Ω)

R_2, R_3— Impedancias en las que terminan los brazos (Ω)

Z_{T2}, Z_{T3}— Transformadores de salida para volver a Z₀: √(Z₀R₂), √(Z₀R₃) (Ω)

Fórmula

K^2 = \frac{P_3}{P_2},\quad Z_{03} = Z_0\sqrt{\frac{1+K^2}{K^3}},\quad Z_{02} = K^2 Z_{03},\quad R = Z_0\left(K + \frac{1}{K}\right),\quad R_2 = Z_0 K,\quad R_3 = \frac{Z_0}{K}

Referencia: Pozar, Microwave Engineering, 4th ed. (2012), §7.3, Eqs. (7.37a)–(7.37c)

Z_0— Impedancia del sistema (Ω)

K^2— Relación de potencias P₃/P₂

Z_{02}, Z_{03}— Impedancias de los brazos de cuarto de onda hacia los puertos 2 y 3 (Ω)

R— Resistencia de aislamiento entre los extremos de los brazos (Ω)

R_2, R_3— Impedancias en las que terminan los brazos (Ω)

Z_{T2}, Z_{T3}— Transformadores de salida para volver a Z₀: √(Z₀R₂), √(Z₀R₃) (Ω)

Cómo Funciona

Un divisor de potencia Wilkinson reparte una señal entre dos salidas manteniendo todos los puertos adaptados y las dos salidas aisladas entre sí. Está formado por dos líneas de cuarto de onda que parten de una entrada común, con una resistencia conectada entre sus extremos lejanos. En la división a partes iguales, cada línea es de $\sqrt{2}\,Z_0$ y la resistencia es de $2Z_0$ : 70,71 Ω y 100 Ω en un sistema de 50 Ω. Cada línea transforma su salida de 50 Ω en 100 Ω en la entrada, y las dos de 100 Ω en paralelo presentan 50 Ω. Una onda que llega a una salida alcanza la otra por dos caminos, a través de la resistencia y de vuelta a través de ambas líneas, y las dos contribuciones se cancelan, de modo que no pasa potencia de una salida a la otra.

División desigual

Para una relación de potencias $K^2 = P_3/P_2$ , las ecuaciones de diseño son (Pozar, Microwave Engineering, 4.ª ed., ecuaciones 7.37a a 7.37c):

Z_{03} = Z_0\sqrt{\frac{1+K^2}{K^3}}, \qquad Z_{02} = K^2 Z_{03}, \qquad R = Z_0\left(K + \frac{1}{K}\right)

Los brazos no terminan entonces en $Z_0$ , sino en $R_2 = Z_0 K$ y $R_3 = Z_0/K$ , y cada salida se devuelve a $Z_0$ mediante otro transformador de cuarto de onda, de $\sqrt{Z_0 R_2} = Z_0\sqrt{K}$ y $\sqrt{Z_0 R_3} = Z_0/\sqrt{K}$ . Con $K = 1$ , todo se reduce a la división a partes iguales. Sustituir la relación por su inversa intercambia los dos brazos y las dos terminaciones, y la resistencia no cambia.

Longitud de las líneas

Cada línea mide un cuarto de longitud de onda a la frecuencia central:

\ell = \frac{\lambda}{4} = \frac{c}{4 f_0\sqrt{\varepsilon_{eff}}}

En microstrip, cada impedancia tiene su propio ancho y, por tanto, su propia permitividad efectiva. La calculadora usa para todas las líneas el único valor que usted introduce, así que obtenga el $\varepsilon_{eff}$ de cada ancho con la calculadora de microstrip cuando trace las líneas.

Validez

Las ecuaciones suponen líneas TEM ideales de exactamente un cuarto de onda y una resistencia sin parásitos en los extremos de los brazos. Una sola sección solo está adaptada y aislada a la frecuencia central. El límite práctico son las propias impedancias de las líneas: una división desigual hace subir la impedancia de un brazo y bajar la del otro, y una línea más estrecha o más ancha de lo que permite su proceso de fabricación no se puede construir. La calculadora comprueba los dos brazos y los dos transformadores de salida frente al rango que usted introduce, de 20 a 150 Ω por defecto, y señala cualquier línea que quede fuera de él sin dejar de mostrar su valor. El ejemplo 8.6 de Pozar toma 20 Ω y 120 Ω como los extremos prácticos de un proceso de microstrip.

Ejemplo Resuelto

Problema: Una red de alimentación de 2,4 GHz en microstrip sobre FR-4 debe enviar a una antena el doble de potencia que a la otra, P₃/P₂ = 1/2, en un sistema de 50 Ω. La placa permite fabricar líneas de 20 a 120 Ω, y la permitividad efectiva es de aproximadamente 3,3.

Paso 1 - Relación: K² = 0.5, K = 0.7071

Paso 2 - Impedancias de los brazos (ecuaciones 7.37a y 7.37b de Pozar): Z₀₃ = 50 × √((1 + 0.5) / 0.7071³) = 102.99 Ω Z₀₂ = 0.5 × 102.99 = 51.49 Ω

Paso 3 - Resistencia de aislamiento: R = 50 × (0.7071 + 1/0.7071) = 106.07 Ω

Paso 4 - Terminaciones de los brazos: R₂ = 50 × 0.7071 = 35.36 Ω R₃ = 50 / 0.7071 = 70.71 Ω

Paso 5 - Transformadores de salida para volver a 50 Ω: Z_T2 = √(50 × 35.36) = 42.04 Ω Z_T3 = √(50 × 70.71) = 59.46 Ω

Paso 6 - Potencia en cada salida: Puerto 2: −10 log₁₀(1 + 0.5) = −1.76 dB (dos tercios de la entrada) Puerto 3: 10 log₁₀(0.5 / 1.5) = −4.77 dB (un tercio)

Paso 7 - Longitud de las líneas: λ/4 = 299792458 / (4 × 2.4e9 × √3.3) = 17.19 mm

Las cuatro líneas quedan entre 20 y 120 Ω, así que el divisor se puede construir. La resistencia E96 más cercana a 106,07 Ω es la de 107 Ω. Si en cambio se pide P₃/P₂ = 1/8, el brazo del puerto 3 necesitaría 252,27 Ω, y la calculadora lo señala por quedar fuera de los 120 Ω que puede fabricar la placa.

Consejos Prácticos

✓Use una resistencia pequeña de película delgada, 0402 o 0603, colocada directamente entre los extremos de los brazos; a frecuencias de gigahercios, la separación entre sus pads importa más que su tolerancia.
✓Como divisor, la resistencia solo disipa la potencia reflejada desde las salidas; como combinador, absorbe toda la parte de las entradas que sea desigual o esté desfasada, así que elija su potencia nominal para el peor caso.
✓Compruebe las impedancias de los brazos frente a su proceso de fabricación antes de decidir la relación de división: las divisiones desiguales hacen subir rápidamente la impedancia de un brazo, hasta 252 Ω con P₃/P₂ = 1/8 en un sistema de 50 Ω.
✓Convierta cada impedancia en un ancho con la calculadora de microstrip y después vuelva a calcular la longitud de cuarto de onda de cada línea a partir de la permitividad efectiva de ese ancho.

Errores Comunes

✗Terminar los brazos de un divisor desigual directamente en 50 Ω. Los brazos están diseñados para R₂ = Z₀K y R₃ = Z₀/K; sin los transformadores de salida, ambas salidas quedan desadaptadas y el reparto se aleja de la relación pedida.
✗Dar a todas las líneas de cuarto de onda la misma longitud física. Cada impedancia tiene su propio ancho y su propia permitividad efectiva, por lo que cada línea tiene su propia longitud de cuarto de onda.
✗Colocar la resistencia de aislamiento al final de pistas largas. El aislamiento depende de que la resistencia esté conectada directamente entre los extremos de los brazos; una pista adicional entre ellos añade fase y degrada el aislamiento a frecuencias más altas.
✗Usar un divisor de una sola sección lejos de su frecuencia central. La adaptación y el aislamiento solo son exactos a la frecuencia de diseño; una banda más ancha necesita varias secciones escalonadas, cada una con su propia resistencia.

Preguntas Frecuentes

¿Qué hace la resistencia de aislamiento en un divisor Wilkinson?

Aísla las dos salidas entre sí. La potencia que viaja de una salida a la otra llega por dos caminos, a través de la resistencia y a través de ambas líneas de cuarto de onda, y las dos contribuciones se cancelan en la otra salida. Con cargas adaptadas no circula corriente por la resistencia y el divisor no tiene pérdidas; solo disipa la potencia reflejada por una salida desadaptada.

¿Por qué las líneas son de 70,7 Ω en un divisor Wilkinson de 50 Ω?

Cada línea de cuarto de onda transforma su salida de 50 Ω en Z² / 50 en la entrada. Para que los dos brazos en paralelo presenten 50 Ω, cada uno debe presentar 100 Ω, así que Z² = 50 × 100 y Z = 70,7 Ω, que es √2 veces 50 Ω.

¿Cómo se diseña un divisor Wilkinson desigual?

Iguale K² a la relación de potencias P₃/P₂. El brazo hacia el puerto 3 es Z₀√((1 + K²)/K³), el brazo hacia el puerto 2 es K² veces ese valor y la resistencia es Z₀(K + 1/K). Los brazos terminan en Z₀K y Z₀/K, así que cada salida necesita un transformador de cuarto de onda para volver a Z₀. La calculadora los da todos.

¿Se puede usar un divisor Wilkinson como combinador?

Sí. Alimentado desde las dos salidas con señales iguales y en fase, las combina en el puerto común sin pérdidas. Cualquier diferencia entre las entradas, en amplitud o en fase, se disipa en la resistencia de aislamiento, y por eso la potencia nominal de la resistencia importa cuando se usa como combinador.

¿Qué limita la relación de potencias que puede alcanzar un divisor Wilkinson?

Las impedancias de las líneas. A medida que la relación se aleja de 1, la impedancia de un brazo sube y la del otro baja: con P₃/P₂ = 1/8 en 50 Ω, los brazos son de 252 Ω y 32 Ω. Un proceso de microstrip solo puede fabricar líneas dentro de un rango limitado, así que las divisiones muy desiguales se construyen de otra forma, por ejemplo con un acoplador de líneas acopladas.

Metodología y referencias

Referencias

Microwave Engineering, 4th ed. — David M. Pozar (2012), §7.3, pp. 328–333 — the Wilkinson divider, Example 7.2, and the unequal-split design Eqs. (7.37a)–(7.37c)
An N-Way Hybrid Power Divider — E. J. Wilkinson, IRE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. MTT-8, pp. 116–118, January 1960

The equal split reproduces Pozar's Example 7.2 (70.7 Ω and 100 Ω); the unequal equations reduce to it at K = 1, and exchanging P₃/P₂ for its reciprocal swaps the two arms and the two terminations while leaving R unchanged.

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