Calculateur de diviseur de puissance Wilkinson — répartition égale et inégale

Concevez un diviseur de puissance Wilkinson à deux voies pour tout rapport de puissance : les impédances des bras quart d'onde, la résistance d'isolation, les terminaisons de sortie et leurs transformateurs d'adaptation, et la longueur physique du quart d'onde, chaque ligne étant comparée à la plage d'impédances que votre procédé sait fabriquer.

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Formule

K^2 = \frac{P_3}{P_2},\quad Z_{03} = Z_0\sqrt{\frac{1+K^2}{K^3}},\quad Z_{02} = K^2 Z_{03},\quad R = Z_0\left(K + \frac{1}{K}\right),\quad R_2 = Z_0 K,\quad R_3 = \frac{Z_0}{K}

Référence: Pozar, Microwave Engineering, 4th ed. (2012), §7.3, Eqs. (7.37a)–(7.37c)

Z_0— Impédance du système (Ω)

K^2— Rapport de puissance P₃/P₂

Z_{02}, Z_{03}— Impédances des bras quart d'onde vers les accès 2 et 3 (Ω)

R— Résistance d'isolation entre les extrémités des bras (Ω)

R_2, R_3— Impédances de terminaison des bras (Ω)

Z_{T2}, Z_{T3}— Transformateurs de sortie ramenant à Z₀ : √(Z₀R₂), √(Z₀R₃) (Ω)

Comment ça marche

Un diviseur de puissance de Wilkinson répartit un signal entre deux sorties tout en gardant chaque accès adapté et les deux sorties isolées l'une de l'autre. Il est formé de deux lignes quart d'onde partant d'une entrée commune, avec une résistance reliant leurs extrémités opposées. Pour une division égale, chaque ligne a une impédance de $\sqrt{2}\,Z_0$ et la résistance vaut $2Z_0$ : 70,71 Ω et 100 Ω dans un système 50 Ω. Chaque ligne transforme sa sortie de 50 Ω en 100 Ω à l'entrée, et les deux 100 Ω en parallèle présentent 50 Ω. Une onde arrivant sur une sortie atteint l'autre par deux chemins, à travers la résistance et en revenant par les deux lignes, et les deux contributions s'annulent, si bien qu'aucune puissance ne passe d'une sortie à l'autre.

Division inégale

Pour un rapport de puissance $K^2 = P_3/P_2$ , les équations de conception sont (Pozar, Microwave Engineering, 4e éd., équations 7.37a à 7.37c) :

Z_{03} = Z_0\sqrt{\frac{1+K^2}{K^3}}, \qquad Z_{02} = K^2 Z_{03}, \qquad R = Z_0\left(K + \frac{1}{K}\right)

Les bras sont alors terminés non pas sur $Z_0$ mais sur $R_2 = Z_0 K$ et $R_3 = Z_0/K$ , et chaque sortie est ramenée à $Z_0$ par un transformateur quart d'onde supplémentaire de $\sqrt{Z_0 R_2} = Z_0\sqrt{K}$ et $\sqrt{Z_0 R_3} = Z_0/\sqrt{K}$ . Pour $K = 1$ , tout se ramène à la division égale. Remplacer le rapport par son inverse permute les deux bras et les deux terminaisons, et la résistance reste la même.

Longueur des lignes

Chaque ligne mesure un quart de longueur d'onde à la fréquence centrale :

\ell = \frac{\lambda}{4} = \frac{c}{4 f_0\sqrt{\varepsilon_{eff}}}

En microruban, chaque impédance a sa propre largeur et donc sa propre permittivité effective. Le calculateur applique à toutes les lignes la valeur unique que vous saisissez ; déterminez donc la $\varepsilon_{eff}$ de chaque largeur avec le calculateur de microruban au moment de tracer les lignes.

Validité

Les équations supposent des lignes TEM idéales mesurant exactement un quart d'onde et une résistance sans éléments parasites aux extrémités des bras. Une section unique n'est adaptée et isolée qu'à la fréquence centrale. La limite pratique tient aux impédances des lignes elles-mêmes : une division inégale fait monter l'impédance d'un bras et descendre celle de l'autre, et une ligne plus étroite ou plus large que ce que votre procédé sait réaliser ne peut pas être fabriquée. Le calculateur compare les deux bras et les deux transformateurs de sortie à la plage que vous saisissez, de 20 à 150 Ω par défaut, et signale toute ligne hors de cette plage tout en affichant sa valeur. L'exemple 8.6 de Pozar retient 20 Ω et 120 Ω comme les extrêmes pratiques d'un procédé microruban.

Exemple Résolu

Problème : un réseau d'alimentation à 2,4 GHz en microruban sur FR-4 doit envoyer deux fois plus de puissance à une antenne qu'à l'autre, P₃/P₂ = 1/2, dans un système 50 Ω. La carte permet de réaliser des lignes de 20 à 120 Ω, et la permittivité effective est d'environ 3,3.

Étape 1 - Rapport : K² = 0,5, K = 0,7071

Étape 2 - Impédances des bras (équations 7.37a et 7.37b de Pozar) : Z₀₃ = 50 × √((1 + 0,5) / 0,7071³) = 102,99 Ω Z₀₂ = 0,5 × 102,99 = 51,49 Ω

Étape 3 - Résistance d'isolation : R = 50 × (0,7071 + 1/0,7071) = 106,07 Ω

Étape 4 - Terminaisons des bras : R₂ = 50 × 0,7071 = 35,36 Ω R₃ = 50 / 0,7071 = 70,71 Ω

Étape 5 - Transformateurs de sortie ramenant à 50 Ω : Z_T2 = √(50 × 35,36) = 42,04 Ω Z_T3 = √(50 × 70,71) = 59,46 Ω

Étape 6 - Puissance sur chaque sortie : Accès 2 : −10 log₁₀(1 + 0,5) = −1,76 dB (les deux tiers de l'entrée) Accès 3 : 10 log₁₀(0,5 / 1,5) = −4,77 dB (un tiers)

Étape 7 - Longueur de ligne : λ/4 = 299792458 / (4 × 2,4e9 × √3,3) = 17,19 mm

Les quatre lignes sont comprises entre 20 et 120 Ω : le diviseur est donc réalisable. La résistance E96 la plus proche de 106,07 Ω est 107 Ω. Si l'on demande plutôt P₃/P₂ = 1/8, le bras de l'accès 3 exigerait 252,27 Ω, et le calculateur le signale comme dépassant les 120 Ω que la carte permet de réaliser.

Conseils Pratiques

✓Utilisez une petite résistance à couche mince, 0402 ou 0603, placée directement entre les extrémités des bras ; aux fréquences de l'ordre du gigahertz, l'espacement de ses pastilles compte davantage que sa tolérance.
✓En diviseur, la résistance ne dissipe que la puissance réfléchie par les sorties ; en combineur, elle absorbe toute la part des entrées qui est déséquilibrée ou déphasée : dimensionnez-la donc pour le cas le plus défavorable.
✓Vérifiez les impédances des bras par rapport à votre procédé avant de fixer un rapport de division : une division inégale fait vite monter l'impédance d'un bras, jusqu'à 252 Ω pour P₃/P₂ = 1/8 dans un système 50 Ω.
✓Convertissez chaque impédance en largeur avec le calculateur de microruban, puis recalculez la longueur quart d'onde de chaque ligne à partir de la permittivité effective propre à cette largeur.

Erreurs Fréquentes

✗Terminer directement sur 50 Ω les bras d'un diviseur inégal. Les bras sont conçus pour R₂ = Z₀K et R₃ = Z₀/K ; sans les transformateurs de sortie, les deux sorties sont désadaptées et la répartition s'écarte du rapport demandé.
✗Donner la même longueur physique à toutes les lignes quart d'onde. Chaque impédance a sa propre largeur et sa propre permittivité effective, donc chaque ligne a sa propre longueur pour un quart d'onde.
✗Placer la résistance d'isolation au bout de longues pistes. L'isolation repose sur une résistance placée directement entre les extrémités des bras ; une piste supplémentaire entre elles ajoute de la phase et dégrade l'isolation aux fréquences élevées.
✗Utiliser un diviseur à une seule section loin de sa fréquence centrale. L'adaptation et l'isolation ne sont exactes qu'à la fréquence de conception ; une bande plus large exige plusieurs sections étagées, chacune avec sa propre résistance.

Foire Aux Questions

À quoi sert la résistance d'isolation d'un diviseur de Wilkinson ?

Elle isole les deux sorties l'une de l'autre. La puissance qui va d'une sortie à l'autre arrive par deux chemins, à travers la résistance et à travers les deux lignes quart d'onde, et les deux s'annulent sur l'autre sortie. Avec des charges adaptées, aucun courant ne circule dans la résistance et le diviseur est sans pertes ; elle ne dissipe que la puissance réfléchie par une sortie désadaptée.

Pourquoi les lignes font-elles 70,7 Ω dans un diviseur de Wilkinson 50 Ω ?

Chaque ligne quart d'onde transforme sa sortie de 50 Ω en Z² / 50 à l'entrée. Pour que les deux bras en parallèle présentent 50 Ω, chacun doit présenter 100 Ω ; donc Z² = 50 × 100 et Z = 70,7 Ω, soit √2 fois 50 Ω.

Comment concevoir un diviseur de Wilkinson inégal ?

Prenez K² égal au rapport de puissance P₃/P₂. Le bras vers l'accès 3 vaut Z₀√((1 + K²)/K³), le bras vers l'accès 2 vaut K² fois cette valeur, et la résistance vaut Z₀(K + 1/K). Les bras se terminent sur Z₀K et Z₀/K, donc chaque sortie a besoin d'un transformateur quart d'onde pour revenir à Z₀. Le calculateur les donne tous.

Un diviseur de Wilkinson peut-il servir de combineur ?

Oui. Attaqué par ses deux sorties avec des signaux égaux et en phase, il les combine sans pertes sur l'accès commun. Toute différence entre les entrées, en amplitude ou en phase, est dissipée dans la résistance d'isolation ; c'est pourquoi la puissance admissible de la résistance compte quand on l'utilise en combineur.

Qu'est-ce qui limite le rapport de puissance réalisable avec un diviseur de Wilkinson ?

Les impédances des lignes. À mesure que le rapport s'éloigne de 1, l'impédance d'un bras monte et celle de l'autre descend : pour P₃/P₂ = 1/8 en 50 Ω, les bras font 252 Ω et 32 Ω. Un procédé microruban ne peut réaliser des lignes que dans une plage limitée ; les divisions très inégales se réalisent donc autrement, par exemple avec un coupleur à lignes couplées.

Méthodologie et références

Références

Microwave Engineering, 4th ed. — David M. Pozar (2012), §7.3, pp. 328–333 — the Wilkinson divider, Example 7.2, and the unequal-split design Eqs. (7.37a)–(7.37c)
An N-Way Hybrid Power Divider — E. J. Wilkinson, IRE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. MTT-8, pp. 116–118, January 1960

The equal split reproduces Pozar's Example 7.2 (70.7 Ω and 100 Ω); the unequal equations reduce to it at K = 1, and exchanging P₃/P₂ for its reciprocal swaps the two arms and the two terminations while leaving R unchanged.

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