Filtros Butterworth x Chebyshev x Bessel

Escolhendo um tipo de filtro

Três aproximações de filtro aparecem em todos os lugares no design analógico. Qual deles você escolhe realmente se resume ao que é mais importante para seu aplicativo:

Já vi muitos engenheiros optarem por Butterworth para tudo, o que, honestamente, funciona bem na maioria das vezes. Mas entender as vantagens e desvantagens significa que você pode reduzir os componentes ou obter um melhor desempenho quando necessário.

Butterworth: O padrão seguro

O filtro Butterworth oferece uma banda passante totalmente plana — sem nenhuma ondulação. Sua resposta de magnitude é a seguinte:

Na frequência de corte, você sempre obtém exatamente −3 dB, independentemente da ordem escolhida. A distribuição é de 20n dB/década, onde n é sua ordem de filtro. Simples, previsível e simplesmente funciona.

Um Butterworth de 4ª pedida** construído com dois estágios Sallen-Key em cascata oferece um roll-off de 80 dB/década. Isso geralmente é suficiente para o anti-aliasing do ADC, e é por isso que você vê essa configuração constantemente nos sistemas de aquisição de dados. Dois pacotes de amplificadores operacionais duplos, um punhado de resistores e tampas e pronto.

A banda passante maximamente plana do Butterworth significa que seu sinal permanece intacto até você atingir a frequência de canto. Não há variações estranhas de ganho com que se preocupar. A resposta de fase não é perfeitamente linear, mas é decente o suficiente para que a maioria dos aplicativos não se importe. Se você não tiver certeza de qual filtro usar, comece aqui.

Chebyshev: inclinação máxima

É aqui que as coisas ficam interessantes. Os filtros Chebyshev Tipo I trocam a planicidade da banda passante por uma rolagem muito mais acentuada. Você permite deliberadamente alguma ondulação na banda passante — normalmente especificada como 0,5 dB ou 1 dB — e, em troca, obtém uma rejeição de banda de parada significativamente melhor.

Quando você especifica uma ondulação de 0,5 dB, isso significa que seu ganho de banda passante varia em ± 0,25 dB em relação ao valor nominal. Parece ruim, certo? Mas veja o que você recebe em troca:

• Um Chebyshev de 4ª ordem com ondulação de 1 dB atinge a mesma atenuação de banda de parada que um Butterworth de 6ª ordem
• São 2 amplificadores operacionais a menos, 4 resistores a menos, 4 capacitores a menos

Em trabalhos de RF ou cruzamentos de áudio em que você precisa de um corte na parede de tijolos e pode tolerar alguma ondulação de banda passante, Chebyshev geralmente é a escolha certa. A economia de componentes por si só pode justificar a escolha nos projetos de produção.

O problema — e é real — é que Chebyshev tem uma terrível variação de atraso de grupo. A resposta de fase é bastante não linear, o que absolutamente destrói a fidelidade do pulso. Se você estiver filtrando sinais de dados onde o tempo é importante, fique longe de Chebyshev. Eu depurei sistemas em que alguém usou Chebyshev em um caminho de sinal digital e me perguntei por que seu diagrama ocular parecia lixo. Não seja essa pessoa.

Bessel: Para pulse Fidelity

Os filtros Bessel são otimizados para algo completamente diferente: atraso máximo de grupo plano. Todas as frequências dentro da banda passante são atrasadas essencialmente na mesma quantidade, o que significa que a forma do pulso permanece intacta. Isso é muito importante para:

• Estágios de entrada do osciloscópio (você deseja ver a forma de onda real, não uma versão manchada)
• Reconstrução do sinal digital (seus bits precisam chegar com o tempo adequado)
• Receptores QAM em que a sincronização dos símbolos é absolutamente crítica

No entanto, a compensação é muito severa. Bessel rola lentamente — dolorosamente lentamente em comparação com os outros tipos. Um Bessel de 4ª ordem atinge apenas cerca de -10 dB com o dobro da frequência de corte. Compare isso com −24 dB para Butterworth ou −32 dB para um Chebyshev de 1 dB no mesmo ponto. Freqüentemente, você precisa ir a pedidos mais altos para obter uma rejeição adequada, o que significa mais estágios e mais componentes.

Mas quando você precisa de uma fase linear — realmente precisa dela, não apenas “seria bom” — Bessel é sua única escolha. Eu o usei em equipamentos de teste e sistemas de medição de pulso, onde preservar a forma do sinal não era negociável. O lento lançamento é apenas o preço que você paga.

Design prático: topologia Sallen-Key

Para filtros ativos de até cerca de 1 MHz, a topologia Sallen-Key é praticamente o componente básico padrão de 2ª ordem. É simples, bem compreendido e tolerante a componentes:

     R1      R2
In ──┤├──┬──┤├──┬──── Out
         │       │
        C1      C2
         │       │
        GND    (feedback)

Para cada estágio, você escolhe um fator Q e $\omega_0$ das tabelas de projeto do filtro, que são normalizadas para $\omega_c = 1$ rad/s e, em seguida, dimensiona tudo para sua frequência de corte real. Um Butterworth de 4ª ordem, por exemplo, se decompõe em dois estágios de 2ª ordem com Q = 0,5412 e Q = 1,3066. Você os coloca em cascata e pronto.

A chave Sallen-Key de componentes iguais** é ainda mais simples e facilita muito a seleção de componentes:

• Defina R1 = R2 = R, C1 = C2 = C
• Então $\omega_0 = 1/(RC)$ e $Q = 1/(3 - A_v)$, onde $A_v$ é o ganho do amplificador operacional
• Para $Q = 0.707$ (Butterworth padrão de 2ª ordem): $A_v = 1.586$

A maioria dos engenheiros usa projetos de componentes iguais, a menos que tenham um motivo específico para não usá-los. Menos valores exclusivos de componentes significam inventário mais simples e fornecimento mais fácil. Você pode atingir o Q necessário ajustando o ganho do amplificador operacional com um divisor de resistor de feedback.

Seleção de amplificadores operacionais

Aqui está algo que as pessoas geralmente erram: o produto de ganho de largura de banda (GBW) do amplificador operacional precisa ser muito maior do que a frequência de operação do filtro. A regra geral é:

Para um filtro Chebyshev de 10 kHz com Q = 2, você precisa de GBW > 4 MHz no mínimo. Um LM324 com seu GBW de 1 MHz terá dificuldades — você verá erros de ganho e mudanças de fase que não solicitou. Um TL072 (4 MHz) ou OPA2134 (8 MHz) funciona corretamente.

O termo Q² é o assassino. Os estágios High-Q precisam de amplificadores operacionais muito rápidos. É por isso que às vezes você vê pessoas dividindo um filtro de alta ordem em vários estágios de Q inferior, mesmo quando isso significa mais componentes — isso relaxa os requisitos do amplificador operacional e geralmente oferece um melhor desempenho geral porque você não está levando os amplificadores ao limite.

O ruído e a compensação também são importantes, obviamente. Para trabalhos de precisão, você deseja amplificadores operacionais de baixo ruído, como o OPA2134 ou o AD8066. Para coisas de uso geral em que você está apenas tentando manter os aliases fora do seu ADC, um TL072 é bom e custa uma fração do valor.

Exemplo resolvido: filtro anti-aliasing de baixa passagem de 1 kHz

Vamos criar algo real. Digamos que você precise filtrar um sinal antes da amostragem com um ADC de 8 kHz. Você quer mais de 60 dB de atenuação a 4 kHz (metade da taxa de amostragem, a frequência de Nyquist) para evitar o aliasing.

Objetivo: Filtre o sinal antes da amostragem ADC de 8 kHz. Precisa de atenuação de >60 dB a 4 kHz.

1. Obrigatório: 60 dB a 4/1 = 4 × a frequência de corte
2. Pedido: $60 / (20 \log_{10} 4) = 60/12$, portanto, 5º pedido no mínimo. Vamos usar a 6ª ordem para nos dar alguma margem — componentes reais têm tolerâncias e você não quer ficar no limite.
3. Tipo: Butterworth faz sentido aqui. A linearidade de fase não é crítica para alimentar um ADC (o ADC em si não é linear de qualquer maneira), e queremos uma banda passante plana para evitar mexer com a amplitude do sinal.
4. Topologia: Três estágios de Sallen-Key em cascata, cada um de 2ª ordem
5. Valores dos componentes: Começando com R = 10 kΩ (um bom valor padrão que não é muito alto para ruído nem muito baixo para dirigir), obtemos C = 1/ (2π × 1000 × 10000) = 15,9 nF. Você pode usar capacitores de 15 nF com um pequeno aparador para ajustá-los ou apenas usar 16 nF e aceitar que seu corte será um pouco menor que 1 kHz — provavelmente bom, dada a margem que incorporamos.

Na prática, eu provavelmente usaria 16 nF porque cortar filtros na produção é irritante e a mudança de frequência é insignificante para essa aplicação. Se você realmente precisa de exatamente 1 kHz, use limites de tolerância de 5% e meça-os, ou use 15 nF e adicione 1 nF em paralelo.

Crie seus coeficientes de filtro e obtenha valores de componentes instantaneamente com a Calculadora do Designer de Filtros, que suporta as respostas de Butterworth, Chebyshev e Bessel da ordem 1 a 10. Ele fornecerá os fatores Q para cada estágio e o ajudará a escolher os valores reais dos componentes que estão realmente disponíveis nos distribuidores.

As tolerâncias dos componentes são importantes

Depois de projetar seu filtro, a próxima pergunta é: ele realmente funcionará quando construído com componentes reais? Os capacitores e indutores de cerâmica padrão vêm em compartimentos de tolerância de 5% ou 10%, e essas variações podem afetar significativamente o desempenho do filtro, especialmente para projetos de Chebyshev com seus postes estreitos.

Execute seu projeto por meio da Ferramenta RF Filter Monte Carlo para ver como as tolerâncias dos componentes afetam o rendimento. Ele simula milhares de construções com valores de componentes aleatórios e informa qual porcentagem realmente atenderá às especificações de banda passante e banda de parada. Para um filtro anti-alias Chebyshev de 5ª ordem de 0,5 dB a 100 MHz, comparado com 1 dB de nivelamento de banda passante e 40 dB de rejeição a 200 MHz, 5% das peças fornecem 99,5% de rendimento, mas 10% das peças apenas 83,5% — e 52,5% se essas peças estiverem espalhadas uniformemente em sua faixa de tolerância. Vale a pena conhecer isso antes que suas placas de produção parem de corresponder à sua simulação.