Matemática do ciclo de trabalho PWM: explicação da média e da tensão RMS

Por que os cálculos do PWM são mais importantes do que você pensa

A modulação por largura de pulso está em toda parte. Acionamentos de motor, dimmers de LED, reguladores de comutação, amplificadores de áudio — se você está fazendo alguma coisa com eletrônica de potência, provavelmente está vendo um sinal PWM em algum momento. A matemática parece trivial até que você realmente precise acertá-la.

O problema é o seguinte: a maioria dos engenheiros pode observar um ciclo de trabalho a partir de um traçado de osciloscópio. Mas quando você está projetando um circuito do zero, você precisa trabalhar de trás para frente. Você sabe que quer uma média de 3,3 V de uma fonte de 5 V. Que ciclo de trabalho isso exige? E qual é a voltagem RMS que sua carga realmente vê? Essa segunda pergunta confunde as pessoas constantemente.

Os principais relacionamentos

Vamos estabelecer os fundamentos. Um sinal PWM tem um tempo de ativação $t_{on}$ e um período $T$. O ciclo de trabalho $ D$é simplesmente:

Expresso como uma porcentagem, você multiplica por 100. A frequência é a recíproca do período:

O tempo livre cai naturalmente:

Tensão média

Para um sinal que alterna entre 0 V e alguma tensão de alimentação $V_s$, a tensão média (DC) é:

Isso é o que um filtro RC simples forneceria se a frequência de corte estivesse bem abaixo da frequência PWM. É também o que determina a corrente média por meio de uma carga indutiva, como o enrolamento de um motor.

Tensão RMS — Onde fica interessante

A tensão RMS para uma forma de onda PWM não é igual à tensão média. Para um sinal que seja $V_s$ ou 0:

Por que a raiz quadrada? Porque RMS é definido como a raiz quadrada da média da tensão quadrada. Durante o $t_{on}$, o quadrado da tensão é $ V_s^2$. Durante o $ t_{off}$, é zero. Calcule a média dos valores quadrados durante um período completo, tire a raiz quadrada e você obterá $ V_s \\sqrt{D}$.

Essa distinção é muito importante para cálculos de potência. Se você estiver dirigindo um aquecedor resistivo com PWM, a potência fornecida depende da tensão RMS, não da tensão média. Um ciclo de trabalho de 50% de uma fonte de 12 V fornece uma média de 6 V, mas cerca de 8,49 V RMS. A potência em um resistor de 10 Ω seria $V_{RMS}^2 / R = 7.2$ W, não os 3,6 W que você obteria usando ingenuamente a tensão média.

Exemplo resolvido: circuito de escurecimento de LED

Vamos analisar um cenário real. Você está projetando um driver de luz de fundo LED para um painel de exibição. A cadeia de LED tem uma tensão direta de 28 V e passa de um trilho de 32 V por meio de um circuito limitador de corrente. Você deseja diminuir o brilho dos LEDs para 40% usando PWM a 1 kHz.

Dado:

• Tensão de alimentação:$V_s = 32$ V
• Brilho alvo: 40% (o que significa 40% de corrente média, portanto, 40% de ciclo de trabalho)
• Frequência PWM:$f = 1000$ Hz

Etapa 1: encontre o periodo Etapa 2: calcule a pontualidade a partir do ciclo de trabalho Etapa 3: tempo livre Etapa 4: tensão média Etapa 5: tensão RMS

Agora, especificamente para LEDs, a percepção de brilho é aproximadamente proporcional à corrente média, então o cálculo da tensão média é o que importa para controlar o escurecimento. Mas se você estivesse calculando a dissipação de energia em um elemento resistivo no mesmo circuito — digamos, um resistor com sensor de corrente — você precisaria do valor RMS.

Você pode verificar esses cálculos rapidamente inserindo os números na abra a Calculadora do Ciclo de Trabalho PWM.

Quando a média versus o RMS realmente importa

A distinção média/RMS não é acadêmica. Aqui estão três casos em que errar causa problemas reais:

Elementos de aquecimento resistivos. A potência de saída de um aquecedor controlado por PWM depende da tensão RMS ao quadrado dividida pela resistência. Use a tensão média e você subestimará a potência por um fator de $1/\\sqrt{D}$. No ciclo de trabalho de 25%, isso é um fator de erro de 2. Cálculos de torque do motor. O torque do motor DC é proporcional à corrente média, que vem da tensão média dividida pela resistência do enrolamento (ignorando o EMF traseiro por um momento). Mas as perdas de I²R nos enrolamentos dependem da corrente RMS. Um motor funcionando em um ciclo de trabalho de 50% tem maiores perdas de cobre do que a corrente média sugere. Classificações de corrente de ondulação do capacitor. A corrente RMS através de um capacitor de filtro em um circuito PWM determina o quanto ele aquece. Os capacitores eletrolíticos têm limites de corrente de ondulação e excedê-los reduz drasticamente sua vida útil. Você precisa do valor RMS aqui, não da média.

Erros e pegadinhas comuns

Direção confusa do ciclo de trabalho

Isso parece estúpido, mas acontece constantemente. O ciclo de trabalho de 100% está totalmente ligado ou totalmente desligado? Na maioria das convenções, 100% significa que a produção é alta durante todo o período — totalmente ativa. Mas alguns controladores de motor e drivers de LED invertem isso, especialmente se estiverem usando comutação de lado baixo com lógica ativa-baixa. Sempre verifique a folha de dados ou o esquema.

Esquecendo o tempo morto

Nos circuitos de ponte H e meia ponte, há um tempo morto intencional inserido entre desligar um interruptor e ligar o outro. Isso evita a corrente de disparo, mas também reduz a faixa efetiva do ciclo de trabalho. Se seu controlador inserir 500 ns de tempo morto em cada transição a 100 kHz (período de 10 μs), você perdeu 10% da faixa de ciclo de trabalho.

Assumindo a percepção de brilho linear

Se você estiver escurecendo os LEDs para visualização humana, o brilho percebido segue aproximadamente uma curva logarítmica. Um ciclo de trabalho de 50% não parece 50% de brilho — parece muito mais brilhante do que isso. Você precisa de correção de gama em seu mapeamento do ciclo de trabalho. Esse não é um erro matemático do PWM em si, mas é onde a matemática encontra a realidade.

Ignorando os tempos de ascensão e queda

As fórmulas pressupõem uma troca instantânea. MOSFETs e drivers de portão reais têm tempos de subida e descida finitos. Em baixas frequências, isso é insignificante. A 500 kHz com transições de 50 ns, essas bordas consomem 5% do seu período. O ciclo de trabalho efetivo e o ciclo de trabalho calculado começam a divergir, e sua tensão média não será exatamente a que você esperava.

Usando a voltagem errada para o cálculo

A tensão de alimentação na fórmula é a tensão que a carga realmente vê durante o tempo de funcionamento. Se você tiver uma fonte de 12 V, mas 0,5 V de queda em seu MOSFET e outros 0,3 V no resistor de detecção de corrente, a tensão de alimentação efetiva é de 11,2 V. Pequenos erros aqui ocorrem quando você está tentando atingir uma voltagem precisa.

Considerações sobre seleção de frequência

A calculadora fornece a frequência do período, mas escolher a frequência PWM correta em primeiro lugar envolve compensações.

Para acionamentos de motor, você geralmente deseja estar acima da faixa audível — pelo menos 20 kHz — para evitar reclamações. Mas frequências mais altas significam mais perdas de comutação em seus MOSFETs e mais perdas de núcleo em qualquer indutor. A maioria dos controladores de motor fica em algum lugar entre 20 kHz e 50 kHz.

Para escurecer o LED, muitas vezes você pode usar frequências muito mais baixas se a cintilação não estiver visível. Mas os sensores da câmera captam tremulações que os humanos não veem, então qualquer coisa destinada a ser fotografada ou filmada precisa de pelo menos alguns kHz.

Os reguladores de comutação têm suas próprias restrições com base no dimensionamento do indutor e nos requisitos de resposta transitória. Um conversor Buck funcionando a 500 kHz precisa de um indutor muito menor do que um funcionando a 50 kHz, mas as perdas do controlador e do FET aumentam.

Além das formas de onda ideais

Tudo acima pressupõe um pulso retangular limpo. A realidade é mais confusa. A indutância parasitária causa zumbido nas bordas. A recuperação reversa nos diodos corporais cria picos de corrente. Os filtros EMI adicionam seus próprios efeitos dependentes da frequência.

Para a maioria dos cálculos do ciclo de trabalho e da tensão média, você pode ignorar esses efeitos de segunda ordem. Mas se você estiver fazendo um trabalho de precisão — digamos, calibrando um DAC baseado em PWM ou medindo a eficiência com três casas decimais — você precisará contabilizá-los. Um osciloscópio com funções matemáticas pode calcular a média real e os valores RMS de sua forma de onda real, o que é sempre a verdade fundamental.

Experimente

Se você estiver trabalhando em um projeto de PWM e quiser verificar rapidamente seus cálculos de ciclo de trabalho, tensão média e RMS, abra a Calculadora de Ciclo de Trabalho PWM. Insira seu horário e período e ele fornecerá todos os valores derivados instantaneamente. É particularmente útil quando você está iterando valores de tempo e não quer continuar digitando números em uma calculadora ou planilha.