Calculadora de acoplador direcional — impedâncias de modo par e ímpar de linhas acopladas

Projete um acoplador direcional de linhas acopladas de quarto de onda com uma única seção: as impedâncias de modo par e ímpar para o acoplamento desejado, o comprimento acoplado, a perda no caminho direto e o isolamento, com um aviso quando o acoplamento é forte demais para uma única seção acoplada pela borda.

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Fórmula

c = 10^{-C/20},\quad Z_{0e} = Z_0\sqrt{\frac{1+c}{1-c}},\quad Z_{0o} = Z_0\sqrt{\frac{1-c}{1+c}},\quad L = -10\log_{10}\left(1-c^2\right),\quad I = C + D

Referência: Pozar, Microwave Engineering, 4th ed. (2012), §7.1, Eqs. (7.20)–(7.21), and §7.6, Eqs. (7.85)–(7.87)

C— Acoplamento (dB)

c— Fator de acoplamento de tensão na frequência central

Z_0— Impedância do sistema (Ω)

Z_{0e}, Z_{0o}— Impedâncias características de modo par e de modo ímpar (Ω)

L— Perda no caminho direto devida à potência acoplada (dB)

D, I— Diretividade e isolamento (dB)

Como Funciona

Um acoplador direcional de linhas acopladas consiste em duas linhas paralelas, com um quarto de comprimento de onda, próximas o suficiente para que parte de uma onda em uma delas apareça na outra. Uma onda que entra pela porta 1 passa para a porta 2, a porta direta; uma fração se acopla no sentido inverso para a porta 3, a porta acoplada, na mesma extremidade da entrada; e, idealmente, nada chega à porta 4, a porta isolada. A intensidade da interação entre as linhas é descrita por duas impedâncias características do par: a impedância de modo par $Z_{0e}$ , com as duas linhas excitadas em fase, e a impedância de modo ímpar $Z_{0o}$ , com elas excitadas em antifase.

Equações de projeto

Para um acoplamento de $C$ dB, o fator de acoplamento de tensão na frequência central é $c = 10^{-C/20}$ . O acoplador fica casado em todas as portas e perfeitamente isolado quando $Z_{0e}Z_{0o} = Z_0^2$ , o que resulta em (Pozar, Microwave Engineering, 4ª ed., equações 7.87a e 7.87b):

Z_{0e} = Z_0\sqrt{\frac{1+c}{1-c}}, \qquad Z_{0o} = Z_0\sqrt{\frac{1-c}{1+c}}

Um acoplador de 20 dB em 50 Ω precisa de $Z_{0e} = 55.28$ Ω e $Z_{0o} = 45.23$ Ω, o Exemplo 7.7 de Pozar. A seção acoplada tem um quarto de comprimento de onda na frequência central, onde o acoplamento atinge o pico:

\ell = \frac{c_0}{4 f_0\sqrt{\varepsilon_{eff}}}

O caminho direto perde a potência acoplada, $L = -10\log_{10}(1 - c^2)$ dB, e o isolamento é o acoplamento mais a diretividade, $I = C + D$ .

Velocidades de modo iguais

O projeto pressupõe que os modos par e ímpar se propagam com a mesma velocidade, o que vale em stripline e em outras estruturas TEM homogêneas. Em microfita, o modo par mantém mais do seu campo no substrato do que o modo ímpar e, por isso, se propaga mais devagar; os dois modos veem comprimentos elétricos diferentes e a diretividade se degrada. Camadas dielétricas sobrepostas, capacitores de compensação ou uma construção em stripline a restauram.

Validade

A calculadora projeta uma única seção de quarto de onda sem perdas com velocidades de modo iguais, de modo que o acoplamento é exato apenas na frequência central. Um acoplamento forte exige linhas muito próximas: Pozar observa que uma única seção acoplada pela borda é fraca demais para chegar a 3 ou 6 dB, casos em que se usa um acoplador de Lange ou um par acoplado pela face (broadside). Acoplamentos mais fortes do que o limite que você insere, 8 dB por padrão, são mostrados com um aviso.

Exemplo Resolvido

Problema: Um transmissor de 2,45 GHz precisa de um acoplador de 10 dB para amostrar sua saída, construído em stripline de 50 Ω sobre um substrato com εr = 3,0. Espera-se que o layout alcance 25 dB de diretividade.

Etapa 1 - Fator de acoplamento: c = 10^(−10/20) = 0,3162

Etapa 2 - Impedâncias de modo (equações 7.87a e 7.87b de Pozar): Z₀e = 50 × √(1,3162 / 0,6838) = 69,37 Ω Z₀o = 50 × √(0,6838 / 1,3162) = 36,04 Ω Verificação: 69,37 × 36,04 = 2500 = 50²

Etapa 3 - Perda no caminho direto: c² = 0,1, então L = −10 log₁₀(1 − 0,1) = 0,46 dB

Etapa 4 - Isolamento: I = 10 + 25 = 35 dB

Etapa 5 - Comprimento acoplado: ℓ = 299792458 / (4 × 2,45e9 × √3,0) = 17,66 mm

A porta amostrada recebe um décimo da potência, o caminho principal perde 0,46 dB, e o próximo passo é encontrar a largura das fitas e o espaçamento que fornecem 69,37 Ω e 36,04 Ω no empilhamento. Pedindo-se 6 dB, o acoplador precisa de 86,74 Ω e 28,82 Ω, e a calculadora o sinaliza como mais forte do que os 8 dB que uma única seção acoplada pela borda consegue alcançar na prática.

Dicas Práticas

✓Converta as impedâncias de modo par e ímpar em largura de fita e espaçamento com as calculadoras de linhas acopladas pela borda para o seu empilhamento.
✓Para 3 dB, use um acoplador de Lange ou um híbrido branch-line em vez de uma única seção acoplada pela borda.
✓Termine a porta isolada em uma boa carga de 50 Ω; o casamento dela limita a diretividade que você realmente mede.
✓Para uma banda mais larga, coloque em cascata várias seções de quarto de onda com acoplamento gradual, formando um acoplador multisseção.

Erros Comuns

✗Tratar as impedâncias de modo par e ímpar como as impedâncias das duas linhas individuais. Elas descrevem o par acoplado como um todo, uma para cada forma de excitá-lo.
✗Construir em microfita um acoplador projetado para stripline e esperar a mesma diretividade. As velocidades de modo desiguais da microfita fazem vazar potência para a porta isolada.
✗Confundir o acoplamento com a perda na linha principal. Um acoplador de 10 dB retira um décimo da potência do caminho direto, o que lhe custa cerca de 0,46 dB, e não 10 dB.
✗Procurar o sinal acoplado na extremidade oposta da linha acoplada. Um acoplador de linhas acopladas de quarto de onda é um acoplador de onda reversa: a porta acoplada fica na mesma extremidade da entrada.

Perguntas Frequentes

O que são impedâncias de modo par e ímpar?

São as impedâncias características de um par de linhas acopladas para suas duas excitações básicas. No modo par, as duas linhas têm tensões iguais e em fase; no modo ímpar, tensões iguais e opostas. Qualquer sinal no par é uma soma dos dois modos, e o acoplamento de um acoplador é determinado pelo quanto as duas impedâncias diferem entre si.

Por que o produto das impedâncias de modo par e ímpar deve ser igual a Z0 ao quadrado?

Essa condição torna o acoplador casado nas quatro portas e não entrega potência à porta isolada em nenhuma frequência. Pozar a deduz da análise de modos par e ímpar da rede de quatro portas; as equações de projeto de Z0e e Z0o decorrem dela e do fator de acoplamento.

Qual é o comprimento da seção acoplada?

Um quarto de comprimento de onda na frequência central, no meio de propagação da linha: a velocidade da luz dividida por quatro vezes a frequência vezes a raiz quadrada da permissividade efetiva. É aí que o acoplamento atinge seu primeiro máximo.

Qual é a diferença entre acoplamento, diretividade e isolamento?

O acoplamento é a razão entre a potência de entrada e a potência na porta acoplada, em dB. A diretividade é a razão entre a potência na porta acoplada e a potência na porta isolada, uma medida de quão bem o acoplador separa as ondas direta e refletida. O isolamento é a razão entre a potência de entrada e a potência na porta isolada, e é igual ao acoplamento mais a diretividade.

Por que uma única seção de linhas acopladas não consegue formar um acoplador de 3 dB?

Em 3 dB, a impedância de modo ímpar precisa cair para cerca de 20,7 Ω em um sistema de 50 Ω, o que exige as duas linhas tão próximas que o espaçamento não pode ser gravado. Os acopladores de Lange intercalam vários dedos para obter um acoplamento forte, e as linhas acopladas pela face (broadside) empilham as fitas em duas camadas.

Metodologia e referências

Referências

Microwave Engineering, 4th ed. — David M. Pozar (2012), §7.1, Eqs. (7.20)–(7.21), pp. 322–323 — coupling, directivity, isolation; §7.6, Eqs. (7.81)–(7.87) and Example 7.7, pp. 351–355 — coupled-line couplers; §7.7, p. 359 — the limit of edge coupling
A Method of Analysis of Symmetrical Four-Port Networks — J. Reed and G. J. Wheeler, IRE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. MTT-4, pp. 246–252, October 1956 — the even- and odd-mode analysis the coupler design rests on

Reproduces Pozar's Example 7.7 (55.28 Ω and 45.23 Ω at 20 dB); the product Z₀e·Z₀o equals Z₀² for every coupling, and as the coupling weakens both impedances tend to Z₀.

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