Calculadora de divisor de potência Wilkinson — divisão igual e desigual

Projete um divisor de potência Wilkinson de duas saídas para qualquer razão de potência: as impedâncias dos braços de quarto de onda, o resistor de isolamento, as terminações de saída e seus transformadores de casamento, e o comprimento físico de quarto de onda, com cada linha verificada contra a faixa de impedâncias que seu processo consegue fabricar.

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Referência da Fórmula

K^2 = \frac{P_3}{P_2},\quad Z_{03} = Z_0\sqrt{\frac{1+K^2}{K^3}},\quad Z_{02} = K^2 Z_{03},\quad R = Z_0\left(K + \frac{1}{K}\right),\quad R_2 = Z_0 K,\quad R_3 = \frac{Z_0}{K}

Ref: Pozar, Microwave Engineering, 4th ed. (2012), §7.3, Eqs. (7.37a)–(7.37c)

Z_0— Impedância do sistema (Ω)

K^2— Razão de potência P₃/P₂

Z_{02}, Z_{03}— Impedâncias dos braços de quarto de onda para as portas 2 e 3 (Ω)

R— Resistor de isolamento entre as extremidades dos braços (Ω)

R_2, R_3— Impedâncias em que os braços são terminados (Ω)

Z_{T2}, Z_{T3}— Transformadores de saída de volta a Z₀: √(Z₀R₂), √(Z₀R₃) (Ω)

Fórmula

K^2 = \frac{P_3}{P_2},\quad Z_{03} = Z_0\sqrt{\frac{1+K^2}{K^3}},\quad Z_{02} = K^2 Z_{03},\quad R = Z_0\left(K + \frac{1}{K}\right),\quad R_2 = Z_0 K,\quad R_3 = \frac{Z_0}{K}

Referência: Pozar, Microwave Engineering, 4th ed. (2012), §7.3, Eqs. (7.37a)–(7.37c)

Z_0— Impedância do sistema (Ω)

K^2— Razão de potência P₃/P₂

Z_{02}, Z_{03}— Impedâncias dos braços de quarto de onda para as portas 2 e 3 (Ω)

R— Resistor de isolamento entre as extremidades dos braços (Ω)

R_2, R_3— Impedâncias em que os braços são terminados (Ω)

Z_{T2}, Z_{T3}— Transformadores de saída de volta a Z₀: √(Z₀R₂), √(Z₀R₃) (Ω)

Como Funciona

Um divisor de potência Wilkinson divide um sinal entre duas saídas, mantendo todas as portas casadas e as duas saídas isoladas entre si. Ele consiste em duas linhas de quarto de onda que partem de uma entrada comum, com um resistor ligado entre suas extremidades opostas. Na divisão igual, cada linha é $\sqrt{2}\,Z_0$ e o resistor é $2Z_0$ : 70,71 Ω e 100 Ω em um sistema de 50 Ω. Cada linha transforma sua saída de 50 Ω em 100 Ω na entrada, e as duas de 100 Ω em paralelo apresentam 50 Ω. Uma onda que chega a uma saída alcança a outra por dois caminhos, através do resistor e de volta pelas duas linhas, e os dois se cancelam, de modo que nenhuma potência passa de uma saída para a outra.

Divisão desigual

Para uma razão de potência $K^2 = P_3/P_2$ , as equações de projeto são (Pozar, Microwave Engineering, 4ª ed., equações 7.37a a 7.37c):

Z_{03} = Z_0\sqrt{\frac{1+K^2}{K^3}}, \qquad Z_{02} = K^2 Z_{03}, \qquad R = Z_0\left(K + \frac{1}{K}\right)

Os braços são então terminados não em $Z_0$ , mas em $R_2 = Z_0 K$ e $R_3 = Z_0/K$ , e cada saída é levada de volta a $Z_0$ por mais um transformador de quarto de onda, de $\sqrt{Z_0 R_2} = Z_0\sqrt{K}$ e $\sqrt{Z_0 R_3} = Z_0/\sqrt{K}$ . Com $K = 1$ , tudo se reduz à divisão igual. Substituir a razão pela sua recíproca troca os dois braços e as duas terminações, e o resistor permanece o mesmo.

Comprimento da linha

Cada linha tem um quarto de comprimento de onda na frequência central:

\ell = \frac{\lambda}{4} = \frac{c}{4 f_0\sqrt{\varepsilon_{eff}}}

Em microfita, cada impedância tem sua própria largura e, portanto, sua própria permissividade efetiva. A calculadora usa para todas as linhas o único valor que você insere; por isso, ao desenhar as linhas no layout, determine o $\varepsilon_{eff}$ de cada largura com a calculadora de microfita.

Validade

As equações pressupõem linhas TEM ideais com exatamente um quarto de onda de comprimento e um resistor sem efeitos parasitas nas extremidades dos braços. Uma única seção é casada e isolada apenas na frequência central. O limite prático são as próprias impedâncias das linhas: uma divisão desigual eleva a impedância de um braço e reduz a do outro, e uma linha mais estreita ou mais larga do que seu processo consegue fabricar não pode ser construída. A calculadora compara os dois braços e os dois transformadores de saída com a faixa que você insere, de 20 a 150 Ω por padrão, e sinaliza qualquer linha fora dela, mostrando ainda assim o seu valor. O Exemplo 8.6 de Pozar adota 20 Ω e 120 Ω como os extremos práticos de um processo de microfita.

Exemplo Resolvido

Problema: Uma rede de alimentação de 2,4 GHz em microfita sobre FR-4 deve enviar a uma antena o dobro da potência que envia à outra, P₃/P₂ = 1/2, em um sistema de 50 Ω. A placa consegue fabricar linhas de 20 a 120 Ω, e a permissividade efetiva é de cerca de 3,3.

Etapa 1 - Razão: K² = 0,5, K = 0,7071

Etapa 2 - Impedâncias dos braços (equações 7.37a e 7.37b de Pozar): Z₀₃ = 50 × √((1 + 0,5) / 0,7071³) = 102,99 Ω Z₀₂ = 0,5 × 102,99 = 51,49 Ω

Etapa 3 - Resistor de isolamento: R = 50 × (0,7071 + 1/0,7071) = 106,07 Ω

Etapa 4 - Terminações dos braços: R₂ = 50 × 0,7071 = 35,36 Ω R₃ = 50 / 0,7071 = 70,71 Ω

Etapa 5 - Transformadores de saída de volta a 50 Ω: Z_T2 = √(50 × 35,36) = 42,04 Ω Z_T3 = √(50 × 70,71) = 59,46 Ω

Etapa 6 - Potência em cada saída: Porta 2: −10 log₁₀(1 + 0,5) = −1,76 dB (dois terços da entrada) Porta 3: 10 log₁₀(0,5 / 1,5) = −4,77 dB (um terço)

Etapa 7 - Comprimento da linha: λ/4 = 299792458 / (4 × 2,4e9 × √3,3) = 17,19 mm

As quatro linhas ficam entre 20 e 120 Ω, portanto o divisor pode ser construído. O resistor E96 mais próximo de 106,07 Ω é 107 Ω. Pedindo-se P₃/P₂ = 1/8, o braço da porta 3 precisaria de 252,27 Ω, e a calculadora o sinaliza como fora dos 120 Ω que a placa consegue fabricar.

Dicas Práticas

✓Use um resistor pequeno de filme fino, 0402 ou 0603, colocado diretamente entre as extremidades dos braços; em frequências de gigahertz, o espaçamento entre seus pads importa mais do que sua tolerância.
✓Como divisor, o resistor dissipa apenas a potência refletida de volta pelas saídas; como combinador, ele absorve qualquer parcela das entradas que seja desigual ou fora de fase, então dimensione sua potência para o pior caso.
✓Verifique as impedâncias dos braços em relação ao seu processo antes de se comprometer com uma razão de divisão: divisões desiguais elevam rapidamente a impedância de um braço, até 252 Ω com P₃/P₂ = 1/8 em um sistema de 50 Ω.
✓Converta cada impedância em uma largura com a calculadora de microfita e, em seguida, recalcule o comprimento de quarto de onda de cada linha a partir da permissividade efetiva dessa largura.

Erros Comuns

✗Terminar os braços de um divisor desigual diretamente em 50 Ω. Os braços são projetados para R₂ = Z₀K e R₃ = Z₀/K; sem os transformadores de saída, as duas saídas ficam descasadas e a divisão se afasta da razão pedida.
✗Dar o mesmo comprimento físico a todas as linhas de quarto de onda. Cada impedância tem sua própria largura e permissividade efetiva, então cada linha tem seu próprio comprimento de quarto de onda.
✗Colocar o resistor de isolamento no fim de trilhas longas. O isolamento depende de o resistor estar ligado diretamente entre as extremidades dos braços; trilha extra entre eles acrescenta fase e degrada o isolamento em frequências mais altas.
✗Usar um divisor de seção única longe de sua frequência central. O casamento e o isolamento são exatos apenas na frequência de projeto; uma banda mais larga exige várias seções em degraus, cada uma com seu próprio resistor.

Perguntas Frequentes

O que faz o resistor de isolamento em um divisor Wilkinson?

Ele isola as duas saídas uma da outra. A potência que vai de uma saída para a outra chega por dois caminhos, através do resistor e através das duas linhas de quarto de onda, e os dois se cancelam na saída oposta. Com cargas casadas, nenhuma corrente flui no resistor e o divisor não tem perdas; ele só dissipa a potência refletida por uma saída descasada.

Por que as linhas têm 70,7 Ω em um divisor Wilkinson de 50 Ω?

Cada linha de quarto de onda transforma sua saída de 50 Ω em Z² / 50 na entrada. Para que os dois braços em paralelo apresentem 50 Ω, cada um deve apresentar 100 Ω, então Z² = 50 × 100 e Z = 70,7 Ω, que é √2 vezes 50 Ω.

Como projetar um divisor Wilkinson desigual?

Defina K² como a razão de potência P₃/P₂. O braço para a porta 3 é Z₀√((1 + K²)/K³), o braço para a porta 2 é K² vezes esse valor, e o resistor é Z₀(K + 1/K). Os braços terminam em Z₀K e Z₀/K, então cada saída precisa de um transformador de quarto de onda de volta a Z₀. A calculadora fornece todos esses valores.

Um divisor Wilkinson pode ser usado como combinador?

Sim. Alimentado pelas duas saídas com sinais iguais e em fase, ele os combina na porta comum sem perdas. Qualquer diferença entre as entradas, em amplitude ou fase, é dissipada no resistor de isolamento, e é por isso que a potência nominal do resistor importa no uso como combinador.

O que limita a razão de potência que um divisor Wilkinson pode alcançar?

As impedâncias das linhas. À medida que a razão se afasta de 1, a impedância de um braço sobe e a do outro desce: com P₃/P₂ = 1/8 em 50 Ω, os braços têm 252 Ω e 32 Ω. Um processo de microfita só consegue fabricar linhas dentro de uma faixa limitada, então divisões muito desiguais são construídas de outra forma, por exemplo com um acoplador de linhas acopladas.

Metodologia e referências

Referências

Microwave Engineering, 4th ed. — David M. Pozar (2012), §7.3, pp. 328–333 — the Wilkinson divider, Example 7.2, and the unequal-split design Eqs. (7.37a)–(7.37c)
An N-Way Hybrid Power Divider — E. J. Wilkinson, IRE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. MTT-8, pp. 116–118, January 1960

The equal split reproduces Pozar's Example 7.2 (70.7 Ω and 100 Ω); the unequal equations reduce to it at K = 1, and exchanging P₃/P₂ for its reciprocal swaps the two arms and the two terminations while leaving R unchanged.

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