Johnson Noise: Das thermische Geräusch, dem Sie sich nicht entziehen können

Was ist Johnson Noise?

Johnson-Geräusch — auch Johnson-Nyquist-Rauschen oder thermisches Rauschen genannt — ist das zufällige elektrische Geräusch, das durch die thermische Bewegung von Ladungsträgern (Elektronen) in einem Widerstand oder Leiter erzeugt wird. Es handelt sich nicht um einen Konstruktionsfehler oder einen Herstellungsfehler. Es ist grundlegende Physik. Jeder Widerstand strahlt bei jeder Temperatur über dem absoluten Nullpunkt Geräusche aus. Zeitraum.

Das Geräusch entsteht, weil Elektronen aufgrund der Wärmeenergie ständig herumwackeln. Diese zufällige Bewegung erzeugt zufällige Stromschwankungen, die sich als Spannungsrauschen am Widerstand bemerkbar machen. Je heißer der Widerstand, desto heftiger das Wackeln und desto mehr Geräusche entstehen.

Warum sollte es dich interessieren? Weil das Johnson-Rauschen das Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) Ihres Verstärkers, Empfängers, Sensorinterfaces oder Messkreises stark beeinträchtigt. Sie können es nicht wegentwerfen. Man kann es nur verstehen, berücksichtigen und manchmal umgehen, indem man es abkühlt, filtert oder einen Mittelwert bildet.

Die Formel

Die spektrale Leistungsdichte des Johnson-Rauschens wird durch die Nyquist-Formel angegeben:

wo:

• $S_v$ ist die spektrale Leistungsdichte von Spannung, Rauschen und Leistung in V²/Hz
• $k_B$ ist die Boltzmann-Konstante: $1.38 \times 10^{-23}$ J/K
• $T$ ist die absolute Temperatur in Kelvin
• $R$ ist der Widerstand in Ohm

Das ist die Schlüsselgleichung. Merken Sie es sich oder setzen Sie ein Lesezeichen. Alles andere folgt daraus.

Beachten Sie, was fehlt: Frequenz. Das Johnson-Rauschen ist weiß — es hat dieselbe Leistungsdichte bei 1 Hz und 1 GHz (innerhalb der Grenzen der Rayleigh-Jeans-Näherung, die für HF und Audio gilt). Das ist sowohl gut als auch schlecht. Gut, weil es vorhersehbar ist. Schlecht, weil Sie es nicht wegfiltern können, ohne auch Ihr Signal zu filtern.

Von der Spektraldichte zur RMS-Spannung

Die Spektraldichte gibt das Rauschen pro Bandbreiteneinheit an. Um die tatsächliche Effektivspannung zu ermitteln, die Sie messen würden, müssen Sie Folgendes über Ihre Messbandbreite hinweg integrieren $B$:

Dies ist das Formular, das Sie in der Praxis am häufigsten verwenden werden. Es zeigt, dass die Rauschspannung mit der Quadratwurzel aus Bandbreite, Widerstand und Temperatur skaliert.

Ein funktionierendes Beispiel: Eingang für den Audiovorverstärker

Lassen Sie uns einen Mikrofonvorverstärker entwerfen und herausfinden, mit welchem Johnson-Geräusch wir es zu tun haben.

Ihr Mikrofon hat eine Ausgangsimpedanz von 2 kΩ. Ihr Vorverstärker hat eine Eingangsimpedanz von 10 kΩ (die Quelle sieht eine parallele Kombination aus der Mikrofonimpedanz und der Eingangsimpedanz des Vorverstärkers, aber konzentrieren wir uns vorerst auf die Vorverstärker-Eingangsstufe). Der Vorverstärker arbeitet bei Raumtemperatur (T = 293 K). Ihre Audiobandbreite beträgt 20 Hz bis 20 kHz, also $B = 19,980$ Hz ≈ 20 kHz.

Berechnen Sie zunächst die Johnson-Rauschspannung anhand des 10 kΩ -Eingangswiderstands:

Fügen Sie nun die Impedanz der Mikrofonquelle hinzu. Die Mikrofonausgangsimpedanz von 2 kΩ erzeugt auch Johnson-Geräusche:

Diese addieren die Quadratur (sie sind unkorreliert), sodass das gesamte eingangsbezogene Rauschen wie folgt ist:

Wenn Ihr Vorverstärker nun eine Verstärkung von 40 dB (100 V/V) hat, ist das Ausgangsrauschen:

Für ein typisches Leitungspegelsignal von 1 V ist Ihr SNR:

Das ist nicht schlecht für Audio, aber es ist auch nicht großartig. Wenn der Operationsverstärker Ihres Vorverstärkers sein eigenes Geräusch verursacht (normalerweise 10—20 nV/√Hz), ), müssten Sie das ebenfalls berücksichtigen. Verwenden Sie den Johnson-Nyquist Thermal Noise Calculator, um Ihre eigenen Werte einzugeben und zu sehen, womit Sie arbeiten.

Warum Temperatur wichtig ist

Beachten Sie, dass das Johnson-Geräusch linear mit der absoluten Temperatur skaliert. Bei Raumtemperatur (293 K) entsteht ein gewisses Grundrauschen. Senken Sie die Temperatur auf 77 K (flüssiger Stickstoff), und Sie reduzieren den Lärm um den Faktor $\sqrt{293/77} \approx 1.95$ — fast 6 dB leiser.

Aus diesem Grund werden in der Radioastronomie und bei einigen Satellitenempfängern kryogene Verstärker eingesetzt. Die Geräuschreduzierung ist real und signifikant. Aber es ist teuer und für die meisten Anwendungen unpraktisch.

Für alltägliche Schaltungen gilt die praktische Erkenntnis: Johnson-Lärm bei Raumtemperatur ist das, was es ist. Sie hängen damit fest, es sei denn, Sie sind bereit, Ihre Hardware zu kühlen.

Bandbreite ist auch wichtig

Beachten Sie die Quadratwurzelabhängigkeit von der Bandbreite. Wenn Sie Ihre Messbandbreite verdoppeln, steigt das Rauschen um $\sqrt{2} \approx 1.41$ (etwa 1,5 dB). Wenn Sie es halbieren, sinkt das Geräusch um den gleichen Faktor.

Aus diesem Grund sind Schmalbandfilter bei der Messung und beim Empfängerdesign so nützlich. Ein Filter mit einer Bandbreite von 1 kHz für ein Sensorsignal weist viel weniger Johnson-Rauschen auf als ein 1-MHz-Filter, der denselben Widerstand misst. Der Nachteil besteht darin, dass Sie Signalinhalte außerhalb dieser Bandbreite verlieren.

Häufige Fehler und Fallstricke

Fehler 1: Johnson-Rauschen in niederohmigen Schaltkreisen ignorieren. Einige Ingenieure glauben, dass Johnson-Rauschen nur in hochohmigen Schaltungen eine Rolle spielt. Falsch. Ein 50 Ω -Widerstand erzeugt bei Raumtemperatur etwa 0,9 nV/√Hz. Das ist absolut gesehen winzig, aber wenn Sie ihn mit einer 60-dB-Verstärkungsstufe verstärken, werden am Ausgang 0,9 nV × 1000 = 0,9 μV/√Hz . In einem Breitbandsystem (sagen wir 1 GHz) sind das 28,5 μV RMS. Nicht zu vernachlässigen. Fehler 2: Vergessen, Rauschquellen in Quadratur hinzuzufügen. Wenn Sie mehrere Widerstände oder Rauschquellen in Ihrem Schaltkreis haben, addieren sie sich nicht linear, sondern in Quadratur, weil sie unkorreliert sind. Das Gesamtrauschen entspricht $\sqrt{V_1^2 + V_2^2 + V_3^2 + \ldots}$, nicht $V_1 + V_2 + V_3 + \ldots$. Das ist eine riesige Fehlerquelle bei Handberechnungen. Fehler 3: Verwenden Sie die falsche Bandbreite. Verwenden Sie bei der Berechnung des Johnson-Rauschens die tatsächliche Bandbreite, auf die Ihre Schaltung reagiert. Wenn Sie einen 1-MHz-Filter haben, aber nur ein 10-kHz-Signal betrachten, verwenden Sie 10 kHz, nicht 1 MHz. Die Bandbreite wird durch Ihren Filter festgelegt, nicht durch die Frequenz des Eingangssignals. Fehler 4: Verwechseln Sie die spektrale Rauschdichte mit dem Gesamtrauschen. Die Formel $S_v = 4 k_B T R$ gibt die Rauschleistung pro Hz an. Um das Gesamtrauschen zu ermitteln, müssen Sie es mit der Bandbreite multiplizieren. Ein häufiger Fehler besteht darin, die Spektraldichte so anzugeben, als ob es sich um die gesamte Rauschspannung handelt. Dadurch wird das Rauschen in Breitbandsystemen um Größenordnungen unterschätzt. Fehler 5: Es wird angenommen, dass Johnson-Rauschen die einzige Rauschquelle ist. In echten Schaltungen treten außerdem Flackerrauschen (1/f-Rauschen), Schussrauschen und Quantisierungsrauschen (in digitalen Systemen) auf. Johnson-Rauschen ist bei Widerstandselementen häufig die dominierende Geräuschquelle, aber es ist nicht immer das größte Problem. In einem ADC kann das Quantisierungsrauschen dominieren. Bei einer Photodiode kann das Schussrauschen größer sein. Schauen Sie immer in den technischen Daten nach und machen Sie ein Geräuschbudget.

Praktische Auswirkungen auf das Design

Beim HF- und Analogdesign bestimmt das Johnson-Rauschen die Grundrauschzahl Ihres Systems. Die Rauschzahl Ihres Verstärkers kann niemals niedriger sein als das durch den Quellwiderstand selbst erzeugte Rauschen. Wenn es sich bei Ihrer Quelle um eine 50 Ω -Antenne bei Raumtemperatur handelt, erzeugt diese etwa 0,9 nV/√Hz. Ihr Vorverstärker-Rauschwert dadurch, wie nahe er an diesen Wert kommen kann.

In Sensorkreisen begrenzt das Johnson-Rauschen, das von der Ausgangsimpedanz des Sensors und der Eingangsimpedanz Ihres Signalkonditionierungskreises herrührt, direkt Ihre Messauflösung. Wenn Sie versuchen, ein 10-mV-Signal mit einem 100 kΩ Impedanzsensor bei Raumtemperatur zu messen, beträgt das Johnson-Rauschen etwa 40,5 nV/√Hz. Bei einer Bandbreite von 10 kHz sind das 1,28 μV RMS — etwa 0,01% Ihres Signals. Das ist wahrscheinlich okay. Aber wenn Ihre Bandbreite 1 MHz beträgt, steigt das Rauschen auf 12,8 μV, und Sie haben eine Dezimalstelle an Genauigkeit verloren.

In ADC-Anwendungen kann Johnson-Rauschen aus dem Eingangsnetzwerk das SNR verschlechtern. Mit dem ADC SNR and ENOB Calculatorkönnen Sie das Johnson-Rauschen neben dem Quantisierungsrauschen berücksichtigen, um das reale SNR Ihres Datenerfassungssystems zu sehen.

Wann sollte man sich Sorgen machen, wann sollte man ignorieren

Wenn Ihr Signal im Millivolt-Bereich oder höher liegt und Ihre Impedanzen unter 1 kΩ, Johnson liegen, ist Rauschen wahrscheinlich nicht Ihr größtes Problem. Es ist wahrscheinlicher, dass das Operationsverstärkerrauschen, das digitale Rauschen oder die EMI Ihres Schaltkreises dominieren.

Wenn Ihr Signal im Mikrovolt-Bereich liegt, Ihre Impedanzen sehr hoch sind (Megohm) oder Ihre Bandbreite sehr groß ist, wird das Johnson-Rauschen zu einer echten Einschränkung. Dann müssen Sie optimieren: niedrigere Impedanzen, eine schmalere Bandbreite, Operationsverstärker mit geringerem Rauschen oder manchmal auch kryogene Kühlung.

Versuch es

Nehmen Sie Ihre Schaltungstopologie, nehmen Sie Ihre Komponentenwerte und geben Sie sie in den Johnson-Nyquist Thermal Noise Calculatorein. Geben Sie Ihren Widerstand, Ihre Temperatur und Ihre Bandbreite ein. Sehen Sie, mit welcher Rauschspannung Sie es tatsächlich zu tun haben. Vergleichen Sie es dann mit Ihrem Signalpegel und der Rauschspezifikation Ihres Operationsverstärkers. Das ist Ihr Lärmbudget.

Johnson-Geräusch ist nicht optional — es ist Physik. Aber wenn Sie es verstehen, können Sie darauf aufbauen, es in Ihren Spezifikationen berücksichtigen und böse Überraschungen im Labor vermeiden.