Sichtlinien-Rechner — Funkhorizont und Erdwölbung

Funkhorizont jeder Antenne, maximale Sichtlinienentfernung zwischen zwei Masten, Erdwölbung und Radius der ersten Fresnelzone an jedem Punkt der Strecke sowie die Freiheit, die die Verbindung dort braucht, über einer glatten Erde mit dem k-Faktor Ihrer Wahl.

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Formel

d_{los} = \sqrt{2kR}\left(\sqrt{h_1} + \sqrt{h_2}\right),\quad b = \frac{d_1 d_2}{2kR},\quad r_1 = \sqrt{\frac{\lambda d_1 d_2}{d}},\quad h_{req} = b + p\,r_1

Referenz: ITU-R P.526-15, Eqs. (2), (21) and (22); ITU-R P.530-17, §2.2.2; ITU-R P.834-9, §2

h_1, h_2— Antennenhöhen über dem Bezugsniveau (m)

kR— Effektiver Erdradius, R = 6371 km (m)

d_1, d_2— Entfernungen vom Punkt zu jeder Antenne (m)

b— Erdwölbung am Punkt (m)

r_1— Radius der ersten Fresnelzone am Punkt (m)

p— Geforderter Anteil der ersten Fresnelzone

Wie es funktioniert

Zwei Antennen können sich nur so lange sehen, bis die Erdoberfläche im Weg ist. Ein Radiostrahl bewegt sich nicht ganz geradlinig: Der Brechungsindex der Atmosphäre sinkt mit der Höhe, wodurch die Strahlen sanft zurück zum Boden gelenkt werden. Die übliche Methode, dem Rechnung zu tragen, besteht darin, den Strahl gerade zu halten und stattdessen die Erde zu vergrößern, und zwar auf einen effektiven Radius $a_e = kR$ mit $R = 6371$ km. Für die Standardatmosphäre $k = 4/3$ (ITU-R P.834-9); $k = 1$ ist der geometrische Fall ohne Brechung, und $k$ unter 1, Subrefraktion, lässt die Erde gekrümmter aussehen.

Funkhorizont und Entfernung zur Sichtlinie

Eine Antenne in der Höhe $h$ sieht die glatte Erde bis zu ihrem Funkhorizont, und zwei Antennen sehen sich gegenseitig, solange der Weg kürzer ist als die Summe ihrer Horizonte (ITU-R P.526-15, Gleichung 21):

d_h = \sqrt{2 a_e h}, \qquad d_{los} = \sqrt{2 a_e}\left(\sqrt{h_1} + \sqrt{h_2}\right)

Eine 10-m-Antenne hat bei $k = 4/3$ einen Funkhorizont von 13,03 km; 30-m- und 10-m-Antennen sehen sich gegenseitig auf 35,61 km hinaus.

Erdwölbung

Die Sichtlinie allein reicht nicht aus: Der Strahl braucht auch Platz um ihn herum. An einem Punkt $d_1$ von einem Ende und $d_2$ vom anderen Ende auf einer Bahn der Länge $d$ erhebt sich die Erde durch die Erdwölbung über die gerade Sehne zwischen den Antennenstandorten, und die erste Fresnel-Zone hat ihren Radius (ITU-R P.526-15, Gleichung 2):

b = \frac{d_1 d_2}{2 a_e}, \qquad r_1 = \sqrt{\frac{\lambda d_1 d_2}{d}}

In der Mitte eines 50 km langen Weges ist die Erdwölbung bei $k = 4/3$ 36,79 m hoch.

Freiheit

Ein Strahl, der jedes Hindernis um 60% der ersten Fresnel-Zone überwindet, breitet sich im Wesentlichen wie im freien Raum aus. ITU-R P.530-17, Abschnitt 2.2.2, verlangt 1,0 F1 über dem höchsten Hindernis beim Median- $k$ (standardmäßig 4/3) und 0,0 bis 0,6 F1 beim niedrigen $k$ -Wert, der 99,9% des schlechtesten Monats überschritten wird. Der Rechner gibt die Freiheit an, die ein gerader Strahl über einem flachen Datum an dem ausgewählten Punkt benötigt, $b + p\,r_1$ , die Höhe des Strahls über der dortigen glatten Erde (ITU-R P.526-15, Gleichung 22), und das höchste Hindernis, das die Bahn an diesem Punkt toleriert:

h = \frac{h_1 d_2 + h_2 d_1}{d} - b, \qquad h_{obs} = h - p\,r_1

Gültigkeit

Die Erde ist eine glatte Kugel mit einem $k$ entlang des gesamten Pfades; Gelände, Gebäude, Vegetation und Ducting sind nicht modelliert. Bei der Geometrie handelt es sich um die in P.526-15 verwendete Kleinwinkelform, die für Pfade gilt, die nicht weiter als 5° von der Horizontalen abweichen (Abschnitt 4.4). Ab 10 MHz gilt die Methode der sphärischen Erde (Abschnitt 3.2). Außerhalb von beiden werden die Ergebnisse mit einer Warnung angezeigt. Ein Punkt hinter einem der beiden Enden des Pfades ist ein Fehler.

Rechenbeispiel

Problem: Eine 6-GHz-Punkt-zu-Punkt-Verbindung verläuft 30 km zwischen einem 40 m und einem 30 m langen Mast über offenes, ebenes Gelände. Räumt sie die Erde in der Mitte des Pfades ab, und wie hoch ist ein Hindernis, das sie dort aushält?

Schritt 1 — Effektiver Erdradius bei k = 4/3: a_e = 4/3 × 6371 km = 8494,7 km

Schritt 2 — Sichtlinie: d_h1 = √(2 × 8494667 × 40) = 26,07 km d_h2 = √(2 × 8494667 × 30) = 22,58 km d_los = 48.64 km, der 30 km lange Weg liegt also in Sichtweite.

Schritt 3 — Erdwölbung in der Mitte des Pfades: b = 15000 × 15000/(2 × 8494667) = 13,24 m

Schritt 4 — Erste Fresnel-Zone: λ = 299792458 / 6e9 = 0,04997 m r_1 = √(0.04997 × 15000 × 15000 / 30000) = 19,36 m

Schritt 5 — Erforderlicher Abstand für 0.6 F1: b + 0,6 r_1 = 13.24 + 11.62 = 24.86 m

Schritt 6 — Was der Strahl eigentlich hat: h = (40 + 30)/2 − 13,24 = 21,76 m über der glatten Erde Höchstes Hindernis in der Mitte des Pfades: 21,76 − 11,62 = 10,14 m

Schritt 7 — Die Prüfungen nach ITU-R P.530-17: Bei k = 4/3 mit 1,0 F1 sinkt die Hindernishöhe auf 2,40 m. Bei k = 2/3 und 0,3 F1 verdoppelt sich die Erdwölbung auf 26,49 m und die zulässige Hindernishöhe beträgt 2,71 m.

Nach dem glatten Erdmodell allein besteht Sichtfreiheit, aber die strengere der beiden P.530-Bedingungen lässt in der Mitte des Pfades nur 2,4 m für Bäume oder Gebäude übrig, sodass die Masten höher aufgestellt werden müssen, wenn dort etwas steht.

Praktische Tipps

✓Beurteilen Sie den Abstand am höchsten Hindernis, nicht nur in der Mitte des Pfades. Die Erdwölbung ist in der Mitte des Pfades am größten, aber das Hindernis kann sich auch an einer anderen Stelle befinden.
✓Führen Sie denselben Pfad bei k = 4/3 mit 1,0 F1 und bei einem niedrigen k mit 0,3 F1 aus, wie es bei ITU-R P.530 der Fall ist, und entwerfen Sie für den anspruchsvolleren der beiden.
✓Das Anheben der unteren Antenne ist günstiger als das Anheben beider: Die Strahlhöhe an einem Punkt wird zur näheren Antenne hin gewichtet.
✓Nur für die Fresnel-Zone bei jeder Frequenz gibt der Fresnel-Zonenrechner den Radius und die 60-%-Freiheit direkt an.

Häufige Fehler

✗Nur die geometrische Sichtlinie wird überprüft. Ein Pfad innerhalb des Funkhorizonts kann immer noch viele Dezibel durch Beugung verlieren, wenn die Erde oder ein Hindernis in die erste Fresnel-Zone eindringt.
✗Nur mit k = 4/3 rechnen. Bei subrefraktiven Bedingungen sinkt k für einen kleinen Prozentsatz der Zeit auf 2/3 oder weniger, wodurch sich die Erdwölbung verdoppelt; ITU-R P.530 plant die Freiheit sowohl am Median als auch am niedrigen k-Wert.
✗Die Wölbung zu den Hindernishöhen addieren und sie dann auch vom Strahl subtrahieren. Die Wölbung wird nur einmal gezählt: Erhöhen Sie entweder das Geländeprofil um sie, oder senken Sie den Strahl um sie ab.
✗Höhen über dem Meeresspiegel für eine Antenne und über dem Boden für die andere mischen. Beide Höhen und alle Hindernishöhen müssen anhand desselben Datums gemessen werden.

Häufig gestellte Fragen

Wie weit ist der Funkhorizont?

Die Quadratwurzel aus dem Doppelten des effektiven Erdradius mal der Antennenhöhe. Beim Standardwert k von 4/3 hat eine 10-m-Antenne einen Funkhorizont von etwa 13 km; der visuelle, geometrische Horizont, bei dem k gleich 1 ist, beträgt bei gleicher Höhe etwa 11,3 km.

Was ist Erdwölbung?

Die Höhe, um die sich die gekrümmte Erde über einer geraden Linie erhebt, die zwischen zwei Punkten auf ihrer Oberfläche gezogen wird. An einem Punkt d1 von einem Ende und d2 vom anderen Ende ist sie d1 mal d2 geteilt durch den doppelten effektiven Erdradius, sodass sie in der Mitte der Bahn am größten ist.

Welchen K-Faktor sollte ich verwenden?

4/3 für die Standardatmosphäre, die ITU-R P.834 als Medianwert angibt. Für die Planungsfreigabe prüft ITU-R P.530 außerdem gegen den niedrigeren k-Wert, der 99,9 Prozent des schlechtesten Monats überschritten wird und sich für die jeweilige Pfadlänge aus Abbildung 2 ablesen lässt; dieser Wert liegt unter 1 und ist auf kurzen Pfaden am niedrigsten.

Wie viel Fresnel-Zonen-Freiraum benötigt ein Link?

Mindestens 60 Prozent der ersten Fresnelzone für die Ausbreitung im Wesentlichen im Freiraum. ITU-R P.530 verlangt je nach Klima und Art des Hindernisses die gesamte erste Zone über dem höchsten Hindernis beim Median-k und zwischen streifendem Einfall und 60 Prozent beim niedrigen k.

Verwendet dieser Rechner Geländedaten?

Nein. Es geht von einer glatten, kugelförmigen Erde aus. Geben Sie die Hindernishöhen anhand des höchsten Hindernisausgangs an dem Punkt ein, den Sie überprüfen, oder verwenden Sie ein Geländeprofilwerkzeug, um eine vollständige Pfadstudie durchzuführen.

Methodik & Referenzen

Referenzen

Propagation by diffraction — Recommendation ITU-R P.526-15 (10/2019), §2.1 Eq. (2), §3.2 Eqs. (21)–(22), §4.4 — Fresnel radius, line-of-sight distance, ray clearance, a_e = k × 6371 km
Propagation data and prediction methods required for the design of terrestrial line-of-sight systems — Recommendation ITU-R P.530-17 (12/2017), §2.2.2 — planning criteria for path clearance
Effects of tropospheric refraction on radiowave propagation — Recommendation ITU-R P.834-9 (12/2017), §2 — effective Earth radius, k = 4/3

The horizon, line-of-sight and bulge figures are P.526-15's own equations; as k grows the bulge falls to zero and the clearance reduces to the flat-Earth chord.

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