Wilkinson-Leistungsteiler-Rechner — gleiche und ungleiche Aufteilung

Entwerfen Sie einen zweiarmigen Wilkinson-Leistungsteiler für jedes Leistungsverhältnis: die Impedanzen der Viertelwellenarme, den Entkopplungswiderstand, die Ausgangsabschlüsse und ihre Anpasstransformatoren sowie die physikalische Viertelwellenlänge, wobei jede Leitung gegen den Impedanzbereich geprüft wird, den Ihr Fertigungsprozess herstellen kann.

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Formel

K^2 = \frac{P_3}{P_2},\quad Z_{03} = Z_0\sqrt{\frac{1+K^2}{K^3}},\quad Z_{02} = K^2 Z_{03},\quad R = Z_0\left(K + \frac{1}{K}\right),\quad R_2 = Z_0 K,\quad R_3 = \frac{Z_0}{K}

Referenz: Pozar, Microwave Engineering, 4th ed. (2012), §7.3, Eqs. (7.37a)–(7.37c)

Z_0— Systemimpedanz (Ω)

K^2— Leistungsverhältnis P₃/P₂

Z_{02}, Z_{03}— Impedanzen der Viertelwellenarme zu Tor 2 und 3 (Ω)

R— Entkopplungswiderstand zwischen den Armenden (Ω)

R_2, R_3— Impedanzen, mit denen die Arme abgeschlossen sind (Ω)

Z_{T2}, Z_{T3}— Ausgangstransformatoren zurück auf Z₀: √(Z₀R₂), √(Z₀R₃) (Ω)

Wie es funktioniert

Ein Wilkinson-Leistungsteiler teilt ein Signal auf zwei Ausgänge auf, wobei alle Tore angepasst bleiben und die beiden Ausgänge gegeneinander isoliert sind. Er besteht aus zwei Viertelwellenleitungen, die von einem gemeinsamen Eingang ausgehen, mit einem Widerstand zwischen ihren fernen Enden. Bei gleicher Aufteilung hat jede Leitung $\sqrt{2}\,Z_0$ und der Widerstand $2Z_0$ : 70,71 Ω und 100 Ω in einem 50-Ω-System. Jede Leitung transformiert ihren 50-Ω-Ausgang am Eingang auf 100 Ω, und die beiden 100 Ω parallel ergeben 50 Ω. Eine Welle, die an einem Ausgang ankommt, erreicht den anderen auf zwei Wegen, über den Widerstand und zurück über beide Leitungen, und die beiden heben sich auf, sodass keine Leistung zwischen den Ausgängen übertritt.

Ungleiche Aufteilung

Für ein Leistungsverhältnis $K^2 = P_3/P_2$ lauten die Entwurfsgleichungen (Pozar, Microwave Engineering, 4. Aufl., Gleichungen 7.37a bis 7.37c):

Z_{03} = Z_0\sqrt{\frac{1+K^2}{K^3}}, \qquad Z_{02} = K^2 Z_{03}, \qquad R = Z_0\left(K + \frac{1}{K}\right)

Die Arme werden dann nicht mit $Z_0$ , sondern mit $R_2 = Z_0 K$ und $R_3 = Z_0/K$ abgeschlossen, und jeder Ausgang wird wieder auf $Z_0$ gebracht, und zwar durch einen weiteren Viertelwellentransformator mit $\sqrt{Z_0 R_2} = Z_0\sqrt{K}$ bzw. $\sqrt{Z_0 R_3} = Z_0/\sqrt{K}$ . Bei $K = 1$ geht alles in die gleiche Aufteilung über. Ersetzt man das Verhältnis durch seinen Kehrwert, werden die beiden Arme und die beiden Abschlüsse vertauscht, und der Widerstand bleibt gleich.

Leitungslänge

Jede Leitung ist bei der Mittenfrequenz eine Viertelwellenlänge lang:

\ell = \frac{\lambda}{4} = \frac{c}{4 f_0\sqrt{\varepsilon_{eff}}}

In Mikrostreifentechnik hat jede Impedanz ihre eigene Leiterbreite und damit ihre eigene effektive Permittivität. Der Rechner verwendet für alle Leitungen den einen Wert, den Sie eingeben; ermitteln Sie daher beim Layout der Leitungen das $\varepsilon_{eff}$ jeder Breite mit dem Mikrostreifen-Rechner.

Gültigkeit

Die Gleichungen setzen ideale TEM-Leitungen voraus, die genau eine Viertelwelle lang sind, sowie einen Widerstand ohne parasitäre Elemente an den Armenden. Ein einzelner Abschnitt ist nur bei der Mittenfrequenz angepasst und isoliert. Die praktische Grenze sind die Leitungsimpedanzen selbst: Eine ungleiche Aufteilung treibt die Impedanz des einen Arms nach oben und die des anderen nach unten, und eine Leitung, die schmaler oder breiter ist, als Ihr Fertigungsprozess sie herstellen kann, lässt sich nicht bauen. Der Rechner prüft die beiden Arme und die beiden Ausgangstransformatoren gegen den von Ihnen eingegebenen Bereich, standardmäßig 20 bis 150 Ω, und markiert jede Leitung außerhalb dieses Bereichs, zeigt ihren Wert aber trotzdem an. Pozars Beispiel 8.6 nimmt 20 Ω und 120 Ω als die praktischen Grenzen eines Mikrostreifenprozesses an.

Rechenbeispiel

Problem: Ein 2,4-GHz-Speisenetzwerk in Mikrostreifentechnik auf FR-4 muss in einem 50-Ω-System doppelt so viel Leistung an die eine Antenne liefern wie an die andere, P₃/P₂ = 1/2. Auf der Leiterplatte lassen sich Leitungen von 20 bis 120 Ω herstellen, und die effektive Permittivität beträgt etwa 3,3.

Schritt 1 — Verhältnis: K² = 0,5, K = 0,7071

Schritt 2 — Armimpedanzen (Pozar, Gleichungen 7.37a und 7.37b): Z₀₃ = 50 × √((1 + 0,5) / 0,7071³) = 102,99 Ω Z₀₂ = 0,5 × 102,99 = 51,49 Ω

Schritt 3 — Entkopplungswiderstand: R = 50 × (0,7071 + 1/0,7071) = 106,07 Ω

Schritt 4 — Armabschlüsse: R₂ = 50 × 0,7071 = 35,36 Ω R₃ = 50 / 0,7071 = 70,71 Ω

Schritt 5 — Ausgangstransformatoren zurück auf 50 Ω: Z_T2 = √(50 × 35,36) = 42,04 Ω Z_T3 = √(50 × 70,71) = 59,46 Ω

Schritt 6 — Leistung an jedem Ausgang: Tor 2: −10 log₁₀(1 + 0,5) = −1,76 dB (zwei Drittel der Eingangsleistung) Tor 3: 10 log₁₀(0,5 / 1,5) = −4,77 dB (ein Drittel)

Schritt 7 — Leitungslänge: λ/4 = 299792458 / (4 × 2,4e9 × √3,3) = 17,19 mm

Alle vier Leitungen liegen zwischen 20 und 120 Ω, der Teiler lässt sich also bauen. Der nächstgelegene E96-Widerstand zu 106,07 Ω ist 107 Ω. Wird stattdessen P₃/P₂ = 1/8 verlangt, bräuchte der Arm zu Tor 3 252,27 Ω, und der Rechner markiert ihn als außerhalb der 120 Ω, die sich auf der Leiterplatte herstellen lassen.

Praktische Tipps

✓Verwenden Sie einen kleinen Dünnschichtwiderstand, 0402 oder 0603, direkt zwischen den Armenden; bei Gigahertz-Frequenzen ist sein Padabstand wichtiger als seine Toleranz.
✓Als Teiler setzt der Widerstand nur die von den Ausgängen zurückreflektierte Leistung in Wärme um; als Kombinierer nimmt er jeden ungleichen oder phasenverschobenen Anteil der Eingangssignale auf, dimensionieren Sie ihn daher für den ungünstigsten Fall.
✓Prüfen Sie die Armimpedanzen gegen Ihren Fertigungsprozess, bevor Sie sich auf ein Teilungsverhältnis festlegen: Ungleiche Aufteilungen treiben einen Arm schnell nach oben, auf 252 Ω bei P₃/P₂ = 1/8 in einem 50-Ω-System.
✓Wandeln Sie jede Impedanz mit dem Mikrostreifen-Rechner in eine Leiterbreite um und berechnen Sie dann die Viertelwellenlänge jeder Leitung aus der effektiven Permittivität genau dieser Breite neu.

Häufige Fehler

✗Die Arme eines ungleichen Teilers direkt mit 50 Ω abschließen. Die Arme sind für R₂ = Z₀K und R₃ = Z₀/K ausgelegt; ohne die Ausgangstransformatoren sind beide Ausgänge fehlangepasst, und die Aufteilung weicht vom gewünschten Verhältnis ab.
✗Allen Viertelwellenleitungen dieselbe physikalische Länge geben. Jede Impedanz hat ihre eigene Leiterbreite und effektive Permittivität, daher hat jede Leitung ihre eigene Länge für eine Viertelwelle.
✗Den Entkopplungswiderstand am Ende langer Leiterbahnen platzieren. Die Isolation hängt davon ab, dass der Widerstand direkt zwischen den Armenden sitzt; zusätzliche Leiterbahn dazwischen fügt Phase hinzu und verschlechtert die Isolation bei höheren Frequenzen.
✗Einen einstufigen Teiler weit entfernt von seiner Mittenfrequenz betreiben. Anpassung und Isolation sind nur bei der Entwurfsfrequenz exakt; ein breiteres Band erfordert mehrere gestufte Abschnitte mit jeweils eigenem Widerstand.

Häufig gestellte Fragen

Was bewirkt der Entkopplungswiderstand in einem Wilkinson-Teiler?

Er isoliert die beiden Ausgänge gegeneinander. Leistung, die von einem Ausgang zum anderen läuft, kommt auf zwei Wegen an, über den Widerstand und über beide Viertelwellenleitungen, und die beiden heben sich am anderen Ausgang auf. Bei angepassten Lasten fließt kein Strom durch den Widerstand, und der Teiler ist verlustfrei; er setzt nur Leistung in Wärme um, die von einem fehlangepassten Ausgang reflektiert wird.

Warum haben die Leitungen in einem 50-Ω-Wilkinson-Teiler 70,7 Ω?

Jede Viertelwellenleitung transformiert ihren 50-Ω-Ausgang am Eingang auf Z² / 50. Damit die beiden parallelen Arme 50 Ω ergeben, muss jeder 100 Ω darstellen, also Z² = 50 × 100 und Z = 70,7 Ω, das √2-Fache von 50 Ω.

Wie entwerfe ich einen ungleichen Wilkinson-Teiler?

Setzen Sie K² gleich dem Leistungsverhältnis P₃/P₂. Der Arm zu Tor 3 hat Z₀√((1 + K²)/K³), der Arm zu Tor 2 das K²-Fache davon, und der Widerstand ist Z₀(K + 1/K). Die Arme enden in Z₀K und Z₀/K, daher braucht jeder Ausgang einen Viertelwellentransformator zurück auf Z₀. Der Rechner liefert alle diese Werte.

Kann ein Wilkinson-Teiler als Kombinierer verwendet werden?

Ja. Werden die beiden Ausgänge mit gleichen, gleichphasigen Signalen gespeist, fasst er sie verlustfrei am gemeinsamen Tor zusammen. Jeder Unterschied zwischen den Eingangssignalen, in Amplitude oder Phase, wird im Entkopplungswiderstand in Wärme umgesetzt, weshalb dessen Belastbarkeit beim Einsatz als Kombinierer wichtig ist.

Was begrenzt das Leistungsverhältnis, das ein Wilkinson-Teiler erreichen kann?

Die Leitungsimpedanzen. Je weiter sich das Verhältnis von 1 entfernt, desto höher wird die Impedanz des einen Arms und desto niedriger die des anderen: Bei P₃/P₂ = 1/8 in 50 Ω haben die Arme 252 Ω und 32 Ω. Ein Mikrostreifenprozess kann Leitungen nur in einem begrenzten Bereich herstellen, daher werden sehr ungleiche Aufteilungen auf andere Weise aufgebaut, zum Beispiel mit einem Koppler aus gekoppelten Leitungen.

Methodik & Referenzen

Referenzen

Microwave Engineering, 4th ed. — David M. Pozar (2012), §7.3, pp. 328–333 — the Wilkinson divider, Example 7.2, and the unequal-split design Eqs. (7.37a)–(7.37c)
An N-Way Hybrid Power Divider — E. J. Wilkinson, IRE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. MTT-8, pp. 116–118, January 1960

The equal split reproduces Pozar's Example 7.2 (70.7 Ω and 100 Ω); the unequal equations reduce to it at K = 1, and exchanging P₃/P₂ for its reciprocal swaps the two arms and the two terminations while leaving R unchanged.

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