Rechteckiger ↔ Umrechner für komplexe polare Zahlen

Jede komplexe Größe in der Elektronik — eine Impedanz, ein S-Parameter, eine Zeigerspannung — hat zwei äquivalente Beschreibungen. Die rechteckige Form $a + jb$ benennt den Punkt anhand seiner Koordinaten in der komplexen Ebene. Die Polarform $r\angle\theta$ benennt ihn nach Abstand vom Ursprung und Winkel von der positiven reellen Achse. Die beiden enthalten identische Informationen; welche Sie benötigen, hängt von der Operation ab. Addition und Subtraktion sind in rechteckiger Form trivial, da sich die Komponenten unabhängig voneinander addieren. Multiplikation, Division und Potenzierung sind in polarer Form trivial, da sich Größen multiplizieren und Winkel addieren.

Die Umrechnung aus einer rechteckigen Form erfolgt nach $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ und $\theta = \operatorname{atan2}(b, a)$. Die Größenordnung entspricht nur der pythagoreischen Entfernung und ist nie umstritten. In diesem Winkel steckt fast jeder Fehler bei dieser Umrechnung, weil der naive Ausdruck $\theta = \arctan(b/a)$ für die halbe Ebene falsch ist. Eine Arktangente mit einem Argument gibt nur Werte in $-90°$ bis $+90°$ zurück, und das Verhältnis $b/a$ verwirft die einzelnen Zeichen: $-3 - j4$ und $3 + j4$ ergeben dasselbe Verhältnis und daher dieselbe Antwort, obwohl sie in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Die aus zwei Argumenten bestehende Form atan2 nimmt $b$ und $a$ getrennt, untersucht beide Zeichen und gibt den wahren Winkel über den gesamten Bereich von $-180°$ bis $+180°$ zurück.

Die umgekehrte Konvertierung ist die Definition von Polarkoordinaten: $a = r\cos\theta$ und $b = r\sin\theta$. Es gibt keine Mehrdeutigkeit, aber es gibt eine Konvention, die es zu respektieren gilt — die Größe wird als nicht negativ angesehen. Ein negativer $r$ beschreibt denselben Vektor wie $|r|\angle(\theta + 180°)$, und obwohl die Arithmetik immer noch funktioniert, gehen die meisten Instrumente und Dateiformate von $r \ge 0$ aus und interpretieren ihn falsch.

Bei der HF-Arbeit geht es in der Praxis um konkrete Herausforderungen. Eine Impedanz $Z = R + jX$ in polarer Form ist $|Z|\angle\theta$, wobei $\theta > 0$ induktiv und $\theta < 0$ kapazitiv bedeutet. Ein im Touchstone-MA-Format gespeicherter Reflexionskoeffizient besteht aus Magnitude und Grad; im RI-Format ist es das rechteckige Paar. Wenn Sie den Quadranten falsch eingeben, wird eine induktive Last in eine kapazitive Last umgewandelt, wodurch ein passendes Netzwerk in genau die falsche Richtung gesendet wird.