¿Cómo se calcula la relación de transmisión a partir del número de dientes?

La relación de transmisión es igual al número de dientes del engranaje impulsado dividido por los dientes del engranaje impulsor (N_driven/N_driver). Una relación superior a 1 significa una reducción de la velocidad y una multiplicación del par; por ejemplo, un engranaje de 48 dientes accionado por un piñón de 12 dientes proporciona una relación de 4:1.

¿Cómo afecta la eficiencia del engranaje a la salida de par?

El par de salida es igual al par de entrada multiplicado por la relación de transmisión multiplicada por la eficiencia (τ_out = τ_in × Gear Ratio × 424). Los engranajes rectos típicos tienen una eficiencia del 94 al 98%, mientras que los engranajes helicoidales pueden tener una eficiencia del 50 al 90%, y las pérdidas se agravan cuando se apilan varias etapas.

¿Cuál es la eficiencia de los diferentes tipos de engranajes?

Los engranajes rectos y los engranajes planetarios suelen funcionar con una eficiencia del 94 al 98% por etapa. Los engranajes helicoidales son significativamente menos eficientes, entre un 50 y un 90%, según el ángulo de avance. Las múltiples etapas agravan estas pérdidas: dos etapas con una eficiencia del 96% producen una eficiencia total del 92,2%.

¿Cómo se calcula la relación de transmisión requerida para una aplicación de motor?

Divida la velocidad de funcionamiento óptima del motor por la velocidad de salida requerida. Por ejemplo, si tu motor funciona mejor a 2400 RPM y necesitas una salida de 48 RPM, necesitas una relación de transmisión de 50:1, que se puede lograr a través de varias etapas, como 10:1 seguidas de 5:1.

Motor Control20 de julio de 20269 min de lectura

Cálculos de la relación de transmisión: dominar la relación entre par y velocidad...

Calcule las relaciones de transmisión, el par de salida y la velocidad de los sistemas de motores. Incluye las pérdidas de eficiencia, los ejemplos prácticos y.

Contenido

Por qué son importantes las relaciones de transmisión en el control del motor
Las relaciones básicas
Un ejemplo de diseño real
Elegir la relación correcta
Eficiencia: el número en el que todos se equivocan
Cajas de engranajes planetarios
Errores y errores comunes
Cuando los ratios altos se vuelven problemáticos
Pruébalo

Por qué son importantes las relaciones de transmisión en el control del motor

Los motores rara vez impulsan las cargas directamente. Un motor de corriente continua pequeño puede girar a 6000 RPM, pero producir solo 0,02 Nm de par, lo que está bien para hacer girar un ventilador, pero inútil para abrir una puerta pesada. Los engranajes permiten cambiar la velocidad por el par (o viceversa), de forma que las características del motor se ajusten a las necesidades reales de la aplicación.

Los cálculos matemáticos no son complicados, pero equivocarse significa que un sistema se detiene bajo carga o uno que se mueve muy despacio cuando no es necesario. Y luego está la eficiencia: los engranajes reales tienen fricción, e ignorarla hace que los motores se sobrecalienten o no puedan entregar el par que se calculó sobre el papel.

Las relaciones básicas

La relación de transmisión es simplemente el número de dientes del engranaje impulsado dividido por los dientes del engranaje impulsor:

\text{Gear Ratio} = \frac{N_{driven}}{N_{driver}}

Una relación superior a 1 significa reducción de velocidad y multiplicación del par. Un engranaje de 48 dientes accionado por un piñón de 12 dientes ofrece una relación de 4:1: la velocidad de salida cae a un cuarto de la velocidad de entrada, pero el par se cuadruplica (menos las pérdidas).

La velocidad de salida es la siguiente:

\\omega_{out} = \frac{\\omega_{in}}{\text{Gear Ratio}}

La multiplicación del par es donde entra en juego la eficiencia ( $\\eta$ ):

\tau_{out} = \tau_{in} \times \text{Gear Ratio} \times \\eta

Ese factor de eficiencia está haciendo un verdadero trabajo. Una etapa típica de engranajes rectos tiene una eficiencia del 94 al 98%. Los engranajes planetarios son similares. ¿engranajes helicoidales? A menudo, entre un 50 y un 90%, según el ángulo de avance. Si se acumulan varias etapas, esas pérdidas se agravan.

Un ejemplo de diseño real

Analicemos un escenario real. Estás diseñando una corredera de cámara motorizada que necesita mover una carga útil de 2 kg a 50 mm/s. La polea motriz tiene un diámetro de 20 mm, por lo que necesitas que el eje de salida gire a:

\\omega_{out} = \frac{v}{r} = \frac{50 \text{ mm/s}}{10 \text{ mm}} = 5 \text{ rad/s} \\approx 48 \text{ RPM}

Su motor es una pequeña unidad de corriente continua con escobillas con una potencia nominal de 3000 RPM sin carga, con una eficiencia máxima de alrededor de 2400 RPM y 0,015 Nm de par a esa velocidad. Necesitas una relación de transmisión de:

\text{Gear Ratio} = \frac{2400}{48} = 50:1

Es una gran reducción. Podrías hacerlo con un tren de engranajes rectos de dos etapas, por ejemplo, una primera etapa de 10:1 (10T a 100T) seguida de una segunda etapa de 5:1 (15T a 75T). Cada etapa, con una eficiencia del 96%, te ofrece:

\\eta_{total} = 0.96 \times 0.96 = 0.922

Ahora pasemos a la torsión. Su motor proporciona 0,015 Nm en la entrada. Después de la caja de cambios:

\tau_{out} = 0.015 \times 50 \times 0.922 = 0.69 \text{ Nm}

¿Es suficiente? La fuerza de fricción a superar es aproximadamente μ × m × g. Con raíles lineales decentes ( $\\mu \\approx 0.01$ ) y una carga útil de 2 kg:

F_{friction} = 0.01 \times 2 \times 9.81 = 0.2 \text{ N}

Par requerido en la polea:

\tau_{required} = F \times r = 0.2 \times 0.01 = 0.002 \text{ Nm}

Tienes 0,69 Nm disponibles, una exageración enorme para un movimiento en estado estacionario. Pero también necesitas acelerar la carga útil. Si quieres alcanzar la velocidad máxima en 0,5 segundos:

a = \frac{50 \text{ mm/s}}{0.5 \text{ s}} = 0.1 \text{ m/s}^2

F_{accel} = m \times a = 2 \times 0.1 = 0.2 \text{ N}

La fuerza total durante la aceleración es de 0,4 N, lo que requiere 0,004 Nm en la polea. Sigue estando dentro de tu presupuesto de 0,69 Nm. El diseño funciona.

Comprobemos la potencia para asegurarnos de que nada es ridículo desde el punto de vista térmico. Potencia de entrada:

P_{in} = \tau_{in} \times \\omega_{in} = 0.015 \times (2400 \times \frac{2\\pi}{60}) = 3.77 \text{ W}

Potencia de salida:

P_{out} = P_{in} \times \\eta = 3.77 \times 0.922 = 3.47 \text{ W}

La caja de cambios disipa alrededor de 0,3 W en forma de calor, lo que no es un problema para esta aplicación.

Abre la calculadora de relaciones de transmisión para calcular tus propios números.

Elegir la relación correcta

La mayoría de los ingenieros eligen una relación de transmisión dividiendo la velocidad nominal de su motor por la velocidad de salida deseada. Eso funciona, pero ignora dónde funciona realmente el motor de manera eficiente.

Los motores de corriente continua con escobillas tienen una eficiencia máxima de entre el 70 y el 80% de la velocidad sin carga. Hacerlos funcionar casi sin parar para obtener un par elevado es un proceso térmicamente brutal: se vierte la mayor parte de la energía eléctrica en forma de calor a las bobinas. Hacerlos funcionar casi sin carga desperdicia la capacidad de torsión del motor.

El punto óptimo: dimensionar la relación de transmisión para que el motor funcione en su región de funcionamiento eficiente durante el uso normal, no solo en los picos de demanda. Si la aplicación tiene una carga variable, inclúyala hacia el extremo más pesado.

En el caso de los motores paso a paso, el cálculo es diferente. Los motores escalonados pierden par rápidamente a medida que aumenta la velocidad debido a que la inductancia limita el tiempo de aumento de la corriente. Una relación de transmisión más alta mantiene al escalador en su región de alto par y baja velocidad, donde es más feliz.

Eficiencia: el número en el que todos se equivocan

Las cifras de eficiencia de las hojas de datos son las mejores cifras. Un engranaje con una eficiencia del 95% lo logra con una carga óptima, una lubricación adecuada y después de la rotura. Durante la operación inicial, con una lubricación marginal o con cargas muy ligeras, la eficiencia real puede caer al 85% o incluso menos.

Los engranajes helicoidales son los peores infractores. Una hoja de datos sobre engranajes helicoidales puede afirmar que tiene una eficiencia del 85%, pero eso es con el ángulo de carga óptimo y con el tornillo helicoidal accionando la rueda. Si intentas hacerlo en sentido contrario (tornillo helicoidal), la eficiencia puede caer por debajo del 50%, o el engranaje se autobloqueará por completo. A veces, esa es una característica. A menudo es una sorpresa.

En el caso de cajas de cambios de etapas múltiples, multiplique la eficiencia:

τ_total = ω 1 × 2 × 3 ×...

¿Tres etapas al 94% cada una? Has bajado un 83% en general. Cuatro etapas te hacen caer al 78%. La potencia que falta se convierte en calor en la caja de cambios, lo que afecta a la viscosidad del lubricante y, además, a la eficiencia. Es un circuito de retroalimentación.

Cajas de engranajes planetarios

Los conjuntos de engranajes planetarios son populares en aplicaciones robóticas y de precisión porque son compactos en relación con su relación y soportan bien un par elevado. Pero no son mágicos. Una caja de cambios planetaria barata de los proveedores extranjeros habituales podría presumir de una eficiencia del 90% por etapa, pero he medido unidades que apenas llegan al 80% cuando son nuevas. Las buenas (Harmonic Drive, Maxon, etc.) realmente cumplen sus especificaciones, pero pagarás por ello.

Errores y errores comunes

He visto a estos ingenieros experimentados tropezar, no solo aficionados.

Haciendo caso omiso de la inercia reflejada. Al reducir la marcha, no solo se multiplica el par, sino que también se multiplica la inercia aparente de la carga tal como la ve el motor. La inercia reflejada aumenta con el cuadrado de la relación de transmisión:

J_reflected = J_load/(relación de transmisión) ²

Una caja de cambios de 50:1 hace que una carga de 1 kg · m² parezca 0,0004 kg · m² para el motor. Por lo general, esto está bien, pero si la inercia del rotor del motor es pequeña (como un motor de corriente continua sin núcleo), la inercia de la carga reflejada puede seguir dominando y afectar al rendimiento de la aceleración.

**Olvídate del contragolpe. Todas las mallas de engranaje tienen algún contragolpe, es decir, una zona muerta en la que la salida no se mueve al invertir la entrada. Los engranajes rectos baratos pueden tener entre 1 y 2° de holgura por etapa. A través de una caja de cambios de 50:1, se obtiene una inclinación de 50-100° en el eje de entrada. Para las aplicaciones de posicionamiento, esto es sumamente importante. Las cajas de engranajes planetarios precargadas o los engranajes divididos antirretroceso resuelven este problema, pero con un coste.

Utilizando una velocidad de motor sin carga. La velocidad nominal de su motor es sin carga. Bajo carga, se ralentiza. Un motor de corriente continua puede tener una potencia nominal de 6000 RPM, pero solo girar a 4500 RPM cuando entrega su par nominal. Si el tamaño de la caja de cambios es de 6000 RPM, la velocidad de salida será un 25% inferior a la esperada. Supervisión térmica. La pérdida de potencia en la caja de cambios tiene que ir a alguna parte. Las cajas de cambios pequeñas en espacios cerrados pueden calentarse sorprendentemente. He visto cómo las carcasas de las cajas de cambios impresas en 3D se ablandan y fallan porque alguien no tuvo en cuenta que los 2 W se disipan en un volumen tan pequeño. El ABS y el PLA comienzan a ablandarse entre 60 y 80 °C. No hace falta mucho. Engranajes de correa y cadena. Las relaciones de las poleas funcionan matemáticamente de la misma manera, pero las características de eficiencia son diferentes. Las correas de distribución suelen tener una eficiencia del 95 al 98% y no necesitan lubricación. Las correas trapezoidales son peores, tal vez entre un 90 y un 95%. Las transmisiones por cadena se encuentran en algún punto intermedio. La calculadora también funciona para estos casos, solo tienes que ajustar el artículo 15 en consecuencia.

Cuando los ratios altos se vuelven problemáticos

Existe la tentación de utilizar relaciones de transmisión muy altas para obtener una multiplicación masiva del par con un motor pequeño. Más allá de los 100:1 en una sola caja de cambios, empezarás a alcanzar límites prácticos.

El contragolpe se acumula. La eficiencia se acumula a la baja. La caja de cambios en sí misma representa una fracción significativa del costo y el peso del sistema. Además, el eje de transmisión se mueve con tanta lentitud que cualquier bucle de control tiene un ancho de banda terrible: el motor podría cambiar de velocidad en 10 ms, pero con una caja de cambios de 200:1 eso se traduce en una respuesta de salida vertiginosa.

Para relaciones altas, considere una etapa de reducción de correa seguida de una etapa de engranaje, o utilice un reductor cicloidal o de ondas de deformación (accionamiento armónico) diseñado para ese propósito. Éstos alcanzan los valores de 100:1 o 160:1 en una sola etapa compacta con una reacción mínima.

Pruébalo

Introduce las especificaciones del motor y el número de dientes de los engranajes en la Calculadora de relaciones de transmisión para ver la velocidad, el par y la potencia de salida. Ajusta la eficiencia según tu tipo de engranaje: 96% para engranajes rectos de calidad, 90% para engranajes planetarios económicos y 70% para engranajes helicoidales. La calculadora se encarga de los cálculos matemáticos para que puedas centrarte en si los números realmente tienen sentido para tu aplicación.