Cómo leer un diagrama de Smith: una guía práctica para ingenieros de RF

Por qué el gráfico de Smith sigue siendo importante

Cada pocos años, alguien declara obsoleta la Carta de Smith. Los analizadores de redes trazan los gráficos por usted, las herramientas de simulación se encargan de los cálculos, así que, ¿por qué preocuparse por aprender a leer uno? Porque entender lo que realmente muestra el gráfico es la diferencia entre hacer clic a ciegas en «optimizar» en el simulador y saber por qué la red correspondiente no funciona a las 2 de la mañana, cuando el prototipo tiene que entregarse mañana.

La tabla de Smith es una representación gráfica de una impedancia compleja y, una vez que hayas interiorizado su funcionamiento, podrás diseñar redes compatibles, diagnosticar problemas en las líneas de transmisión y evaluar el rendimiento de los filtros de un vistazo. Es la visualización con mayor densidad de información de la ingeniería de RF.

Si desea realizar un seguimiento interactivo, abra la calculadora Smith Chart y trace los valores de impedancia a medida que avanzamos en cada ejemplo.

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Lo básico: lo que estás viendo

La tabla de Smith mapea todas las impedancias complejas posibles en un círculo unitario. Lo hace a través de un mapeo conforme: la transformación bilineal entre la impedancia y el coeficiente de reflexión:

donde $Z_L$ es la impedancia de carga y $Z_0$ es la impedancia característica de su sistema (normalmente 50 $\Omega$). El coeficiente de reflexión $\Gamma$ es un número complejo con una magnitud entre 0 y 1 y un ángulo de $-180^\circ$ a $+180^\circ$. Eso se corresponde perfectamente con un círculo unitario.

Los puntos de referencia clave:

• Centro del gráfico = $Z_0$ (coincidencia perfecta, $\Gamma = 0$). Aquí es donde quieres terminar.
• Borde derecho = circuito abierto ($Z = \infty$, $\Gamma = +1$)
• Borde izquierdo = cortocircuito ($Z = 0$, $\Gamma = -1$)
• Mitad superior = impedancias inductivas (reactancia positiva)
• Mitad inferior = impedancias capacitivas (reactancia negativa)

Todas las impedancias del gráfico están normalizadas a $Z_0$. Así que cuando ves el punto $r = 1, x = 0$, es $50 + j0\,\Omega$ en un sistema de 50 $\Omega$. El punto $r = 2, x = 1$ significa $100 + j50\,\Omega$.

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Leyendo los círculos de resistencia constante

Todos los círculos que pasan por el borde derecho del gráfico son círculos de resistencia constante. Cada punto de un círculo dado tiene la misma parte real de impedancia.

• El círculo $r = 0$ es todo el límite exterior del gráfico (reactancia pura)
• El círculo $r = 1$ pasa por el centro
• El círculo $r = 2$ es más pequeño y está desplazado hacia la derecha
• Al igual que en $r \to \infty$, los círculos se contraen hasta un punto en el borde derecho

Si tienes una impedancia normalizada de $z = 1 + j1.5$ (que es de $50 + j75\,\Omega$ en un sistema de 50 $\Omega$), encuentras el círculo de $r = 1$ y lo sigues hacia arriba hasta llegar al arco de $x = 1.5$.

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Leyendo los arcos de reactancia constante

Los arcos que se curvan desde el borde derecho del gráfico representan una reactancia constante. Los arcos de reactancia positiva se curvan hacia arriba (inductivos), los negativos se curvan hacia abajo (capacitivos).

• La línea $x = 0$ es el diámetro horizontal: resistencia pura, sin componente reactivo
• El $x = +1$ se curva hacia arriba desde el borde derecho: inductivo
• $x = -1$ se curva hacia abajo: capacitivo
• Los arcos $x = \pm \infty$ se contraen hacia el borde derecho (circuito abierto)

La combinación de un círculo de resistencia y un arco de reactancia arroja exactamente un punto en el gráfico, que corresponde exactamente a un valor de impedancia.

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# La superposición de admisión

Voltea la tabla 180 grados y obtendrás la tabla de admitancia, donde cada punto representa $Y = G + jB$ (conductancia más susceptancia). Lo bueno es que agregar un elemento de derivación es fácil en la tabla de admitancias (se mueve a lo largo de un círculo de conductancia constante), mientras que agregar un elemento en serie es fácil en la tabla de impedancias.

En la práctica, la mayoría de los ingenieros utilizan una tabla combinada de impedancia y admitancia en la que ambos conjuntos de círculos se superponen. La impedancia de cualquier punto se puede leer en un conjunto de círculos y la admitancia en el conjunto girado. Esto es fundamental para diseñar redes coincidentes con elementos en serie y en derivación.

La conversión entre los dos es sencilla. Si $z = r + jx$ es la impedancia normalizada, la admitancia normalizada es:

Gráficamente, basta con girar el punto 180 grados alrededor del centro del gráfico.

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Círculos VSWR

Dibuja un círculo centrado en el centro del gráfico que pase por tu punto de impedancia. El radio de ese círculo es igual a $|\Gamma|$ y el círculo representa un contorno de VSWR constante. Todos los puntos de ese círculo tienen el mismo VSWR, la misma pérdida de retorno y la misma pérdida por desajuste.

El VSWR se relaciona con la magnitud del coeficiente de reflexión de la siguiente manera:

Por lo tanto, si tu punto se sitúa en $|\Gamma| = 0.33$, estás en el círculo VSWR = 2.0, lo que corresponde a una pérdida de retorno de aproximadamente 9,5 dB. Puedes comprobarlo al instante con la calculadora VSWR/Return Loss.

La intersección de este círculo con el eje horizontal indica los extremos de impedancia a lo largo de una línea de transmisión, es decir, la impedancia máxima y mínima que verías a medida que avanzas por la línea.

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Ejemplo resuelto: coincidencia de redes L

Hagamos coincidir una carga de $Z_L = 25 - j30\,\Omega$ con 50 $\Omega$ a 1 GHz.

Paso 1: Normalizar y graficar. $z_L = (25 - j30)/50 = 0.5 - j0.6$. Grafique esto en la mitad inferior del gráfico (región capacitiva). Paso 2: Elija una topología adecuada. Usaremos un inductor en serie seguido de un condensador en derivación. Paso 3: Añadir inductancia en serie. Un inductor en serie aumenta la reactancia (se mueve en el sentido de las agujas del reloj a lo largo del círculo de resistencia constante). Tenemos que movernos desde el círculo de los $z = 0.5 - j0.6$ a lo largo del círculo de los $r = 0.5$ hacia arriba hasta que lleguemos al círculo de los $g = 1$ (conductancia constante = 1 en la tabla de admitancias). Esto ocurre aproximadamente a los $z = 0.5 + j0.48$.

El cambio de reactancia en serie requerido es $\Delta x = 0.48 - (-0.6) = 1.08$ (normalizado), es decir, $X_L = 1.08 \times 50 = 54\,\Omega$.

A 1 GHz: $L = X_L / (2\pi f) = 54 / (2\pi \times 10^9) \approx 8.6$ nH.

Paso 4: Añada la capacitancia de derivación. Cambie a admitancia. En $z = 0.5 + j0.48$, la admisión es $y \approx 1.0 - j0.96$. Necesitamos añadir una susceptancia en derivación de $+j0.96$ para llegar a $y = 1 + j0$ (el centro). $B_C = 0.96 / 50 = 0.0192$ S, entonces $C = B_C / (2\pi f) = 0.0192 / (2\pi \times 10^9) \approx 3.1$ pF. Resultado: Un inductor de serie de 8,6 nH seguido de un condensador en derivación de 3,1 pF hace coincidir los $25 - j30\,\Omega$ con 50 $\Omega$ a 1 GHz.

Puede trazar y verificar toda esta ruta en la calculadora Smith Chart para confirmar la transformación de la impedancia.

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Efectos de línea de transmisión

Al moverse a lo largo de una línea de transmisión, el punto de impedancia gira en el sentido de las agujas del reloj alrededor de la tabla de Smith. La distancia que recorres en grados eléctricos corresponde al ángulo de rotación: 180 grados de longitud eléctrica (media longitud de onda) te llevan de vuelta al mismo punto.

Por eso funciona un transformador de un cuarto de onda: te hace girar exactamente 90 grados alrededor de la tabla. Si comienzas con una impedancia real en el eje horizontal, una línea de impedancia de un cuarto de onda $Z_T = \sqrt{Z_0 \times Z_L}$ te transforma en el centro.

Por ejemplo, hacer coincidir 100 $\Omega$ con 50 $\Omega$ requiere una sección de un cuarto de onda con $Z_T = \sqrt{50 \times 100} \approx 70.7\,\Omega$. En el gráfico, verías que tu punto situado en $r = 2$ (a la derecha del centro en el eje horizontal) gira 90 grados en el sentido de las agujas del reloj para aterrizar en $r = 0.5$ y, a continuación, la impedancia característica de la sección de un cuarto de onda lo asigna al centro. Un transformador balun puede gestionar relaciones de impedancia similares cuando también necesitas convertir topologías balanceadas y no balanceadas.

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Errores comunes que se deben evitar

Olvidarse de normalizar. Todas las impedancias de la tabla de Smith se normalizan a $Z_0$. Si graficas los ohmios brutos sin dividirlos por 50, la red correspondiente se equivocará según el factor de normalización. Es confuso en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido antihorario. Avanzar hacia el generador (alejándose de la carga a lo largo de una línea de transmisión) es en el sentido de las agujas del reloj. La inductancia en serie también se suma en el sentido de las agujas del reloj a lo largo de un círculo de resistencia. La adición de capacitancia en serie es en sentido contrario a las agujas del reloj. Pon esto al revés y añadirás el componente incorrecto. Ignorando la dependencia de la frecuencia. Una gráfica de Smith es válida para una frecuencia. Su impedancia perfectamente ajustada a 2,4 GHz puede tener un aspecto terrible a 2,5 GHz. Comprueba siempre el ancho de banda barriendo la frecuencia y comprobando qué tan lejos se mueve el punto de impedancia desde el centro a través de la banda de interés. Usar una orientación gráfica incorrecta para los elementos de derivación. Los elementos de la serie son fáciles de ver en la tabla de impedancias. Los elementos de derivación aparecen fácilmente en la tabla de admisiones. Intentar agregar un condensador de derivación directamente en la tabla de impedancias es un ejercicio frustrante: cambie primero a la admitancia.

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Resumen

El diagrama de Smith codifica la impedancia compleja, el coeficiente de reflexión, el VSWR y la pérdida de retorno en una única visualización compacta. Leerlo con fluidez requiere práctica, pero la recompensa es enorme:

1. Localiza tu impedancia usando círculos de resistencia y arcos de reactancia
2. Comprueba la calidad del partido según lo cerca que estés del centro
3. Diseñe redes correspondientes moviéndose a lo largo de círculos (elementos de serie en la tabla de impedancias, elementos de derivación en la tabla de admitancias)
4. Evalúe el ancho de banda barriendo la frecuencia y observando cómo el punto de impedancia traza una trayectoria

Una vez que adquieras esta intuición, recurrirás a la tabla de Smith de forma instintiva cada vez que estés solucionando un problema de impedancia. Abre la calculadora Smith Chart y comienza a trazar; no hay nada mejor que la práctica.