Butterworth contre Chebyshev contre Bessel Filters

Choix d'un type de filtre

Trois approximations de filtre apparaissent partout dans la conception analogique. Le choix que vous choisirez dépend vraiment de ce qui compte le plus pour votre candidature :

J'ai vu de nombreux ingénieurs utiliser Butterworth par défaut pour tout, ce qui fonctionne honnêtement bien la plupart du temps. Mais en comprenant les compromis, vous pouvez raser les composants ou obtenir de meilleures performances lorsque cela compte.

Butterworth : La valeur par défaut

Le filtre Butterworth vous offre une bande passante complètement plate, sans aucune ondulation. Sa réponse en amplitude est la suivante :

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À la fréquence de coupure, vous obtenez toujours exactement -3 dB quel que soit l'ordre choisi. Le roll-off est de 20 n dB/décennie, n étant l'ordre de votre filtre. C'est simple, prévisible et ça fonctionne tout simplement.

Un Butterworth de 4e ordre** construit avec deux étages Sallen-Key en cascade vous permet d'obtenir un résultat de 80 dB/décennie. C'est généralement suffisant pour l'anticrénelage ADC, c'est pourquoi cette configuration est constamment présente dans les systèmes d'acquisition de données. Deux boîtiers d'amplificateurs opérationnels, une poignée de résistances et de capuchons, et le tour est joué.

La bande passante extrêmement plate du Butterworth signifie que votre signal reste intact jusqu'à ce que vous atteigniez la fréquence d'angle. Pas de variations de gain étranges à craindre. La réponse de phase n'est pas parfaitement linéaire, mais elle est suffisamment correcte pour que la plupart des applications ne s'en soucient pas. Si vous ne savez pas quel filtre utiliser, commencez ici.

Chebyshev : inclinaison maximale

C'est là que les choses deviennent intéressantes. Les filtres Chebyshev de type I échangent la planéité de la bande passante pour une atténuation beaucoup plus prononcée. Vous autorisez délibérément une certaine ondulation dans la bande passante, généralement spécifiée comme 0,5 dB ou 1 dB, et en retour, vous obtenez un rejet de bande d'arrêt nettement meilleur.

Lorsque vous spécifiez une ondulation de 0,5 dB, cela signifie que le gain de votre bande passante varie de ± 0,25 dB par rapport à la valeur nominale. Ça a l'air nul, non ? Mais regardez ce que vous obtenez en retour :

• Un Chebyshev de 4e ordre avec une ondulation de 1 dB atteint la même atténuation de la bande d'arrêt qu'un Butterworth de 6e ordre
• Cela représente 2 amplificateurs opérationnels de moins, 4 résistances de moins, 4 condensateurs de moins

Pour les travaux RF ou les crossovers audio où vous avez besoin d'une coupure complète et pouvez tolérer une certaine ondulation de la bande passante, Chebyshev est souvent la bonne solution. Les économies de composants peuvent à elles seules justifier le choix des modèles de production.

Le hic, et c'est vrai, c'est que Chebyshev a de terribles variations de retard de groupe. La réponse en phase est assez non linéaire, ce qui détruit totalement la fidélité du pouls. Si vous filtrez des signaux de données là où le timing compte, éloignez-vous de Chebyshev. J'ai débogué des systèmes dans lesquels quelqu'un utilisait Chebyshev sur un chemin de signal numérique et se demandait pourquoi son schéma oculaire ressemblait à de la foutaise. Ne sois pas cette personne.

Bessel : pour Pulse Fidelity

Les filtres de Bessel optimisent pour quelque chose de complètement différent : un délai de groupe plat au maximum. Toutes les fréquences de la bande passante sont retardées essentiellement de la même quantité, ce qui signifie que la forme de votre pouls reste intacte. C'est très important pour :

• Étages d'entrée de l'oscilloscope (vous voulez voir la forme d'onde réelle, pas une version barbouillée)
• Reconstruction du signal numérique (vos bits doivent arriver au bon moment)
• Récepteurs QAM où la synchronisation des symboles est absolument essentielle

Le compromis est cependant assez sévère. Le Bessel roule lentement, très lentement par rapport aux autres types. Un Bessel de 4e ordre n'atteint qu'environ -10 dB à deux fois la fréquence de coupure. Comparez cela à −24 dB pour Butterworth ou à −32 dB pour un Chebyshev de 1 dB au même point. Vous devez souvent passer à des ordres plus élevés pour obtenir un rejet de bande d'arrêt adéquat, ce qui signifie plus d'étapes et plus de composants.

Mais lorsque vous avez besoin d'une phase linéaire, que vous en avez vraiment besoin, et pas seulement « ce serait bien », Bessel est votre seul choix. Je l'ai utilisé dans des équipements de test et des systèmes de mesure du pouls où la préservation de la forme du signal n'était pas négociable. La lenteur est exactement le prix à payer.

Conception pratique : topologie de Sallen-Key

Pour les filtres actifs jusqu'à environ 1 MHz, la topologie de Sallen-Key est à peu près l'élément de base standard du deuxième ordre. C'est simple, bien compris et tolère les composants :

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Pour chaque étape, vous choisissez un facteur Q et ω dans les tableaux de conception des filtres, qui sont normalisés à ω_c = 1 rad/s, puis vous adaptez le tout à votre fréquence de coupure réelle. Un Butterworth de 4e ordre, par exemple, se décompose en deux étapes de 2e ordre avec Q = 0,5412 et Q = 1,3066. Vous les cascadez et vous avez terminé.

La clé Sallen-Key à composants égaux est encore plus simple et facilite grandement la sélection des composants :

• Régler R1 = R2 = R, C1 = C2 = C
• Alors ω = 1/ (RC) et Q = 1/ (3 − A_V) où A_v est le gain de l'ampli opérationnel
• Pour Q = 0,707 (Butterworth standard de 2e ordre) : a_V = 1,586

La plupart des ingénieurs utilisent des conceptions à composants égaux, à moins d'avoir une raison précise de ne pas le faire. Moins de valeurs de composants uniques se traduisent par un inventaire plus simple et un approvisionnement plus facile. Vous pouvez atteindre le Q requis en ajustant le gain de l'amplificateur opérationnel à l'aide d'un diviseur de résistance de rétroaction.

Sélection d'ampli opérationnel

Voici une erreur que les gens se trompent souvent : le produit de gain de bande passante (GBW) de l'amplificateur opérationnel doit être bien supérieur à la fréquence de fonctionnement de votre filtre. La règle générale est la suivante :

Pour un filtre Chebyshev à 10 kHz avec Q = 2, vous devez disposer d'un GBW > 4 MHz minimum. Un LM324 avec sa fréquence GBW de 1 MHz va rencontrer des difficultés : vous verrez des erreurs de gain et des déphasages que vous n'avez pas demandés. Un TL072 (4 MHz) ou un OPA2134 (8 MHz) fonctionne correctement.

Le terme Q² est le tueur. Les étages High-Q ont besoin d'amplificateurs opérationnels très rapides. C'est pourquoi vous voyez parfois des utilisateurs diviser un filtre de haut niveau en plusieurs étages de Q inférieur, même lorsque cela implique plus de composants. Cela assouplit les exigences en matière d'amplificateur opérationnel et vous offre souvent de meilleures performances globales, car vous ne poussez pas les amplificateurs à leurs limites.

Le bruit et le décalage sont également importants, évidemment. Pour un travail de précision, vous avez besoin d'amplificateurs opérationnels à faible bruit comme l'OPA2134 ou l'AD8066. Pour les applications générales où vous essayez simplement de garder les alias hors de votre ADC, un TL072 convient et coûte une fraction du prix.

Exemple fonctionnel : filtre d'anticrénelage passe-bas de 1 kHz

Concevons quelque chose de réel. Supposons que vous deviez filtrer un signal avant de procéder à l'échantillonnage avec un ADC 8 kHz. Vous voulez une atténuation de plus de 60 dB à 4 kHz (la moitié de la fréquence d'échantillonnage, la fréquence de Nyquist) pour éviter le repliement.

Objectif : Filtrer le signal avant l'échantillonnage ADC à 8 kHz. Nécessite une atténuation supérieure à 60 dB à 4 kHz.

1. Obligatoire : 60 dB à 4/1 = 4 fois la fréquence de coupure
2. Commande : 60/(20 × logᵉ (4)) = 60/12 = 5e commande minimum. Utilisons le 6e ordre pour nous donner une certaine marge : les composants réels ont des tolérances et il ne faut pas être à la limite.
3. Type : Butterworth a du sens ici. La linéarité de phase n'est pas essentielle pour alimenter un ADC (l'ADC lui-même n'est pas linéaire en phase de toute façon), et nous voulons une bande passante plate pour éviter de perturber l'amplitude de notre signal.
4. Topologie : Trois étages de Sallen-Key en cascade, chacun d'ordre 2
5. Valeurs des composants : En commençant par R = 10 kΩ (une valeur standard intéressante qui n'est ni trop élevée pour le bruit ni trop faible pour la conduite), nous obtenons C = 1/ (2π × 1000 × 10000) = 15,9 nF. Vous pouvez utiliser des condensateurs de 15 nF avec un petit correcteur pour le régler, ou simplement utiliser 16 nF et accepter que votre coupure soit légèrement inférieure à 1 kHz, ce qui est probablement bien étant donné la marge que nous avons intégrée.

En pratique, j'utiliserais probablement 16 nF car le découpage des filtres en production est ennuyeux et le décalage de fréquence est négligeable pour cette application. Si vous avez vraiment besoin d'exactement 1 kHz, utilisez des limites de tolérance de 5 % et mesurez-les, ou optez pour 15 nF et ajoutez 1 nF en parallèle.

Concevez vos coefficients de filtre et obtenez instantanément les valeurs des composants avec le Filter Designer Calculator, qui prend en charge les réponses Butterworth, Chebyshev et Bessel de l'ordre 1 à 10. Il vous donnera les facteurs Q pour chaque étape et vous aidera à choisir les valeurs réelles des composants qui sont réellement disponibles auprès des distributeurs.

Les tolérances des composants sont importantes

Une fois que vous avez conçu votre filtre, la question suivante est la suivante : fonctionnera-t-il réellement s'il est construit avec de vrais composants ? Les condensateurs et inducteurs céramiques standard sont proposés dans des plages de tolérance de 5 % ou 10 %, et ces variations peuvent avoir un impact significatif sur les performances de votre filtre, en particulier pour les modèles Chebyshev avec leurs emplacements à pôles serrés.

Passez votre conception à l'aide de l' Outil RF Filter Monte Carlo pour voir comment les tolérances des composants affectent le rendement. Il simule des milliers de versions avec des valeurs de composants aléatoires et vous indique quel pourcentage répondra réellement à vos spécifications de bande passante et de bande d'arrêt. Vous constaterez peut-être que les pièces avec une tolérance de 5 % n'offrent qu'un rendement de 60 % sur une conception Chebyshev. Des connaissances qui peuvent vous faire gagner beaucoup de temps lorsque vos cartes de production ne correspondent pas à votre simulation.