Calculs du rapport de transmission : maîtriser la tendance couple/vitesse...

Pourquoi les rapports de transmission sont importants dans la commande du moteur

Les moteurs entraînent rarement des charges directement. Un petit moteur à courant continu peut tourner à 6 000 tr/min mais ne produire que 0,02 Nm de couple, ce qui est parfait pour faire tourner un ventilateur, inutile pour ouvrir une porte lourde. L'engrenage vous permet d'échanger la vitesse contre le couple (ou vice versa), en adaptant les caractéristiques du moteur aux besoins réels de votre application.

Le calcul n'est pas compliqué, mais se tromper signifie soit un système qui se bloque sous charge, soit un système qui se déplace très lentement alors qu'il n'en a pas besoin. Et puis il y a l'efficacité : les vrais engrenages sont soumis à des frottements, et le fait de ne pas en tenir compte entraîne une surchauffe des moteurs ou une incapacité à fournir le couple que vous avez calculé sur papier.

Les relations de base

Le rapport de transmission est simplement le nombre de dents de l'engrenage entraîné divisé par le nombre de dents du pignon d'entraînement :

Un rapport supérieur à 1 signifie une réduction de la vitesse et une multiplication du couple. Un engrenage à 48 dents entraîné par un pignon à 12 dents vous donne un rapport de 4:1 : la vitesse de sortie tombe au quart de la vitesse d'entrée, mais le couple est multiplié par quatre (moins les pertes).

La vitesse de sortie suit directement :

C'est en multipliant le couple que l'efficacité ($\\eta$) entre en jeu :

Ce facteur d'efficacité fonctionne réellement. Un étage à engrenage droit typique a un rendement de 94 à 98 %. Les engrenages planétaires sont similaires. Des engrenages à vis ? Souvent de 50 à 90 % selon l'angle d'avance. Cumulez plusieurs étapes et ces pertes s'aggravent.

Un véritable exemple de design

Examinons un scénario réel. Vous concevez un curseur de caméra motorisé qui doit déplacer une charge utile de 2 kg à 50 mm/s. La poulie d'entraînement a un diamètre de 20 mm. L'arbre de sortie doit donc tourner à la vitesse suivante :

Votre moteur est une petite unité à courant continu à balais nominale à 3 000 tr/min à vide, avec un rendement maximal d'environ 2 400 tr/min et un couple de 0,015 Nm à cette vitesse. Vous avez besoin d'un rapport de transmission de :

C'est une réduction importante. Vous pourriez le faire avec un train à engrenage droit à deux étages, par exemple un premier étage 10:1 (10T à 100T) suivi d'un deuxième étage 5:1 (15T à 75T). Chaque étape à 96 % d'efficacité vous donne :

Passons maintenant au couple. Votre moteur fournit 0,015 Nm à l'entrée. Après la boîte de vitesses :

Est-ce suffisant ? La force de friction à surmonter est d'environ μ × m × g. Avec des rails linéaires décents ($\\mu \\approx 0.01$) et une charge utile de 2 kg :

Couple requis au niveau de la poulie :

Vous disposez de 0,69 Nm, ce qui représente une puissance excessive pour un mouvement en régime permanent. Mais vous devez également accélérer la charge utile. Si vous voulez atteindre la vitesse maximale en 0,5 seconde :

La force totale lors de l'accélération est de 0,4 N, ce qui nécessite 0,004 Nm à la poulie. Toujours dans les limites de votre budget de 0,69 Nm. Le design fonctionne.

Vérifions l'alimentation pour nous assurer que rien n'est thermiquement ridicule. Puissance d'entrée :

Puissance de sortie :

La boîte de vitesses dissipe environ 0,3 W sous forme de chaleur, ce qui n'est pas un problème pour cette application.

Ouvrez le calculateur de rapport de transmission pour parcourir vos propres chiffres.

Choisir le bon ratio

La plupart des ingénieurs choisissent un rapport de transmission en divisant la vitesse nominale de leur moteur par la vitesse de sortie souhaitée. Cela fonctionne, mais cela ne tient pas compte des endroits où votre moteur fonctionne réellement efficacement.

Les moteurs à courant continu à balais ont un rendement maximal à environ 70 à 80 % de la vitesse à vide. Les faire fonctionner près du décrochage pour obtenir un couple élevé est une opération thermiquement brutale : vous déversez la majeure partie de votre énergie électrique sous forme de chaleur dans les enroulements. Les faire fonctionner presque à vide entraîne une perte de couple du moteur.

Le point idéal : dimensionnez votre rapport de transmission de manière à ce que le moteur fonctionne dans sa zone de fonctionnement efficace pendant une utilisation normale, et pas seulement en période de pointe. Si votre application a une charge variable, privilégiez l'extrémité la plus lourde.

Pour les moteurs pas à pas, le calcul est différent. Les steppers perdent rapidement du couple à mesure que la vitesse augmente en raison de l'inductance qui limite le temps de montée du courant. Un rapport de transmission plus élevé permet au stepper de rester dans la zone à couple élevé et à basse vitesse, là où il est le plus heureux.

Efficacité : le chiffre que tout le monde se trompe

Les chiffres d'efficacité des fiches techniques sont les meilleurs chiffres. Un engrenage évalué à 95 % d'efficacité atteint cet objectif sous une charge optimale, une lubrification adéquate et après le rodage. Lors de la mise en service initiale, avec une lubrification marginale ou à des charges très légères, le rendement réel peut chuter à 85 % ou moins.

Les engrenages à vis sans fin sont les pires contrevenants. Une fiche technique d'un engrenage à vis sans fin peut indiquer une efficacité de 85 %, mais c'est à l'angle de charge optimal et avec la vis sans fin qui entraîne la roue. Essayez de le rétropropulser (vis sans fin) et l'efficacité peut chuter en dessous de 50 %, ou le rapport devient complètement autobloquant. Parfois, c'est une fonctionnalité. C'est souvent une surprise.

Pour les boîtes de vitesses à plusieurs étages, multipliez les rendements :

total = 1 × 2 × 3 ×...

Trois étapes à 94 % chacune ? Vous êtes descendu à 83 % dans l'ensemble. Quatre étapes vous ramènent à 78 %. Cette puissance manquante se transforme en chaleur dans votre boîte de vitesses, ce qui affecte la viscosité du lubrifiant, ce qui affecte encore davantage l'efficacité. C'est une boucle de feedback.

Réducteurs planétaires

Les engrenages planétaires sont populaires dans les applications de robotique et de précision car ils sont compacts pour leur rapport et supportent bien les couples élevés. Mais ils ne sont pas magiques. Un réducteur planétaire bon marché provenant des fournisseurs étrangers habituels peut revendiquer un rendement de 90 % par étage, mais j'ai mesuré des unités qui atteignaient à peine 80 % lorsqu'elles étaient neuves. Les meilleurs modèles (Harmonic Drive, Maxon, etc.) répondent à leurs spécifications, mais vous devrez payer pour cela.

Erreurs et pièges courants

Je les ai vus faire trébucher des ingénieurs expérimentés, pas seulement des amateurs.

Ignorer l'inertie reflétée. Lorsque vous réduisez la vitesse, vous ne multipliez pas simplement le couple, vous multipliez également l'inertie apparente de la charge vue par le moteur. L'inertie réfléchie varie en fonction du carré du rapport d'engrenage :

J_Reflected = J_load/(rapport de transmission) ²

Avec une boîte de vitesses 50:1, une charge de 1 kg · m² correspond à 0,0004 kg · m² pour le moteur. En général, cela convient, mais si l'inertie du rotor de votre moteur est faible (comme dans le cas d'un moteur à courant continu sans noyau), l'inertie de la charge réfléchie peut toujours dominer et affecter les performances d'accélération.

Oublier le contrecoup. Chaque maillage d'engrenage comporte un contrecoup : une zone morte où la sortie ne bouge pas lorsque vous inversez l'entrée. Les engrenages droits bon marché peuvent avoir 1 à 2° de jeu arrière par étage. Grâce à une boîte de vitesses 50:1, cela représente une pente de 50 à 100° à l'arbre d'entrée. Pour les applications de positionnement, cela est extrêmement important. Les réducteurs planétaires préchargés ou les engrenages divisés anti-contrecoup résolvent ce problème, moyennant un coût. Utilisation de la vitesse du moteur à vide. La vitesse nominale de votre moteur est à vide. Sous charge, il ralentit. Un moteur à courant continu peut être évalué à 6 000 tr/min mais ne tourner qu'à 4 500 tr/min lorsqu'il fournit son couple nominal. Si vous avez dimensionné votre boîte de vitesses pour 6 000 tr/min, votre vitesse de sortie sera inférieure de 25 % à celle prévue. Supervision thermique. La puissance perdue dans la boîte de vitesses doit aller quelque part. Les petites boîtes de vitesses situées dans des espaces clos peuvent devenir étonnamment chaudes. J'ai vu des carters de boîte de vitesses imprimés en 3D se ramollir et tomber en panne parce que quelqu'un n'a pas tenu compte de la dissipation des 2 W dans un volume infime. L'ABS et le PLA commencent à se ramollir aux alentours de 60 à 80 °C. Il n'en faut pas beaucoup. Engrenage par courroie et chaîne. Les rapports de poulie fonctionnent mathématiquement de la même manière, mais leurs caractéristiques d'efficacité diffèrent. Les courroies de distribution sont généralement efficaces de 95 à 98 % et n'ont pas besoin de lubrification. Les courroies trapézoïdales sont pires, peut-être 90 à 95 %. Les transmissions par chaîne se situent quelque part entre les deux. La calculatrice fonctionne également pour ceux-ci. Ajustez simplement votre $\\eta$ en conséquence.

Quand les ratios élevés deviennent problématiques

Il est tentant d'utiliser des rapports de transmission très élevés pour obtenir une multiplication massive du couple à partir d'un petit moteur. Au-delà d'environ 100:1 dans une seule boîte de vitesses, vous commencez à atteindre des limites pratiques.

Les réactions s'accumulent. L'efficacité s'aggrave à la baisse. La boîte de vitesses elle-même représente une fraction importante du coût et du poids du système. Et l'arbre de sortie se déplace si lentement que toute boucle de régulation a une bande passante terrible. Votre moteur peut changer de vitesse en 10 ms, mais grâce à une boîte de vitesses de 200:1, cela se traduit par une réponse de sortie glaciale.

Pour des rapports élevés, envisagez un étage de réduction par courroie suivi d'un étage d'engrenage, ou utilisez un réducteur cycloïdal ou à ondes de contrainte (entraînement harmonique) conçu à cet effet. Ils atteignent 100:1 ou 160:1 en une seule étape compacte avec un minimum de contrecoup.

Essayez-le

Entrez les spécifications de votre moteur et le nombre de dents de votre engrenage dans le Calculateur de rapport de vitesse pour connaître votre vitesse de sortie, votre couple et votre puissance. Ajustez l'efficacité en fonction de votre type d'engrenage : 96 % pour les engrenages droits de qualité, 90 % pour les engrenages planétaires économiques, 70 % pour les transmissions à vis sans fin. La calculatrice gère les calculs afin que vous puissiez vous concentrer sur la pertinence des chiffres pour votre application.