Johnson Noise : le bruit thermique auquel vous ne pouvez échapper

Qu'est-ce que Johnson Noise ?

Le bruit de Johnson, également appelé bruit de Johnson-Nyquist ou bruit thermique, est le bruit électrique aléatoire généré par le mouvement thermique des porteurs de charge (électrons) dans une résistance ou un conducteur. Il ne s'agit pas d'un défaut de conception ou de fabrication. C'est de la physique fondamentale. Toute résistance à une température supérieure au zéro absolu émet du bruit. Période.

Le bruit existe parce que les électrons se balancent constamment à cause de l'énergie thermique. Ce mouvement aléatoire crée des fluctuations de courant aléatoires, qui se traduisent par un bruit de tension aux bornes de la résistance. Plus la résistance est chaude, plus le tremblement est violent et plus il y a de bruit.

Pourquoi devrais-tu t'en soucier ? Parce que le bruit Johnson conditionne le rapport signal/bruit (SNR) de votre amplificateur, récepteur, interface de capteur ou circuit de mesure. Vous ne pouvez pas le concevoir de manière désordonnée. Vous ne pouvez le comprendre, en tenir compte et parfois le contourner qu'en le refroidissant, en filtrant ou en faisant la moyenne.

La formule

La densité spectrale de puissance du bruit de Johnson est donnée par la formule de Nyquist :

où :

• $S_v$ est la densité spectrale de tension, de bruit, de puissance, en V²/Hz
• $k_B$ est la constante de Boltzmann : $1.38 \times 10^{-23}$ J/K
• $T$ est la température absolue en Kelvin
• $R$ est la résistance en ohms

C'est l'équation clé. Mémorisez-le ou ajoutez-le à vos favoris. Tout le reste en découle.

Remarquez ce qui manque : la fréquence. Le bruit de Johnson est blanc : il a la même densité de puissance à 1 Hz et 1 GHz (dans les limites de l'approximation de Rayleigh-Jeans, qui s'applique à la RF et à l'audio). C'est à la fois une bonne chose et une mauvaise chose. C'est bien parce que c'est prévisible. C'est dommage car vous ne pouvez pas le filtrer sans filtrer également votre signal.

De la densité spectrale à la tension efficace

La densité spectrale vous indique le bruit par unité de bande passante. Pour obtenir la tension efficace réelle que vous souhaitez mesurer, vous devez intégrer sur votre bande passante de mesure $B$ :

C'est le formulaire que vous utiliserez le plus souvent dans la pratique. Il montre que la tension sonore évolue avec la racine carrée de la bande passante, de la résistance et de la température.

Un exemple concret : entrée de préampli audio

Concevons un préamplificateur de microphone et déterminons à quel bruit Johnson nous avons affaire.

Votre microphone a une impédance de sortie de 2 kΩ. Votre préampli a une impédance d'entrée de 10 kΩ (la source voit une combinaison parallèle de l'impédance du micro et de l'impédance d'entrée du préampli, mais concentrons-nous sur l'étage d'entrée du préampli pour le moment). Le préampli fonctionne à température ambiante (T = 293 K). Votre bande passante audio est comprise entre 20 Hz et 20 kHz, donc $B = 19,980$ Hz ≈ 20 kHz.

Tout d'abord, calculez la tension de bruit de Johnson à partir de la résistance d'entrée 10 kΩ 4 :

Ajoutez maintenant l'impédance de la source du microphone. L'impédance de sortie du micro de 2 kΩ génère également du bruit Johnson :

Ceux-ci s'ajoutent en quadrature (ils ne sont pas corrélés), de sorte que le bruit total référencé en entrée est le suivant :

Maintenant, si votre préampli a un gain de 40 dB (100 V/V), le bruit de sortie est le suivant :

Pour un signal de niveau ligne typique de 1 V, votre SNR est le suivant :

Ce n'est pas mal pour l'audio, mais ce n'est pas génial non plus. Si l'amplificateur opérationnel de votre préampli ajoute son propre bruit (généralement 10—20 nV/√Hz), ), vous devrez également en tenir compte. Utilisez le Calculateur de bruit thermique Johnson-Nyquistpour saisir vos propres valeurs et voir avec quoi vous travaillez.

Pourquoi la température est importante

Notez que le bruit de Johnson évolue de façon linéaire avec la température absolue. À température ambiante (293 K), vous obtenez un certain niveau de bruit. Abaissez la température à 77 K (azote liquide) et vous réduisez le bruit d'un facteur $\sqrt{293/77} \approx 1.95$, soit près de 6 dB de plus.

C'est pourquoi les amplificateurs cryogéniques sont utilisés en radioastronomie et dans certains récepteurs de satellites. La réduction du bruit est réelle et significative. Mais c'est coûteux et peu pratique pour la plupart des applications.

Pour les circuits de tous les jours, le point pratique à retenir est le suivant : le bruit de Johnson à température ambiante est ce qu'il est. Vous êtes bloqué à moins que vous ne soyez prêt à refroidir votre matériel.

La bande passante est également importante

Notez la dépendance de la racine carrée à l'égard de la bande passante. Doublez votre bande passante de mesure et le bruit augmente de $\sqrt{2} \approx 1.41$ (environ 1,5 dB). Réduisez-le de moitié et le bruit diminuera d'autant.

C'est pourquoi les filtres à bande étroite sont si utiles pour la mesure et la conception des récepteurs. Un filtre de bande passante de 1 kHz sur le signal d'un capteur produira beaucoup moins de bruit de Johnson qu'un filtre de 1 MHz mesurant la même résistance. Le compromis est que vous perdez le contenu du signal en dehors de cette bande passante.

Erreurs et pièges courants

Erreur 1 : Ignorer le bruit de Johnson dans les circuits à faible impédance. Certains ingénieurs pensent que le bruit de Johnson n'est important que dans les circuits à haute impédance. Faux. Une résistance de 50 Ω à température ambiante génère environ 0,9 nV/√Hz. C' est minuscule en termes absolus, mais si vous l'amplifiez avec un étage de gain de 60 dB, elle devient 0,9 nV × 1000 = 0,9 μV/√Hz à la sortie. Dans un système à large bande (disons, 1 GHz), c'est 28,5 μV RMS. Ce n'est pas négligeable. Erreur 2 : oublier d'ajouter des sources de bruit en quadrature. Si vous avez plusieurs résistances ou sources de bruit dans votre circuit, elles ne s'additionnent pas de manière linéaire, elles s'ajoutent en quadrature car elles ne sont pas corrélées. Le bruit total est de $\sqrt{V_1^2 + V_2^2 + V_3^2 + \ldots}$, et non de $V_1 + V_2 + V_3 + \ldots$. Il s'agit d'une énorme source d'erreur dans les calculs manuels. Erreur 3 : utilisation de la mauvaise bande passante. Lorsque vous calculez le bruit de Johnson, utilisez la bande passante réelle à laquelle répond votre circuit. Si vous avez un filtre de 1 MHz mais que vous ne regardez qu'un signal de 10 kHz, utilisez 10 kHz et non 1 MHz. La bande passante est définie par votre filtre, et non par la fréquence du signal d'entrée. Erreur 4 : confondre la densité spectrale du bruit avec le bruit total. La formule $S_v = 4 k_B T R$ vous donne la puissance du bruit par Hz. Pour obtenir le bruit total, vous devez multiplier par la bande passante. Une erreur courante consiste à citer la densité spectrale comme s'il s'agissait de la tension de bruit totale, ce qui sous-estime le bruit de plusieurs ordres de grandeur dans les systèmes à large bande. Erreur 5 : en supposant que le bruit de Johnson est la seule source de bruit. Dans les circuits réels, vous avez également un bruit de scintillement (bruit 1/f), un bruit de projection et un bruit de quantification (dans les systèmes numériques). Le bruit de Johnson est souvent la principale source de bruit dans les éléments résistifs, mais ce n'est pas toujours le plus gros problème. Dans un ADC, le bruit de quantification peut dominer. Dans une photodiode, le bruit de déclenchement peut être plus important. Vérifiez toujours les fiches techniques et établissez un budget sonore.

Implications pratiques en matière de conception

En conception RF et analogique, le bruit Johnson définit le facteur de bruit plancher de votre système. Le facteur de bruit de votre amplificateur ne peut jamais être inférieur au bruit généré par la résistance de la source elle-même. Si votre source est une antenne 50 Ω à température ambiante, elle génère environ 0,9 nV/√Hz. Le bruit de votre préampli est limité par la proximité de ce chiffre.

Dans les circuits de capteurs, le bruit de Johnson provenant de l'impédance de sortie du capteur et de l'impédance d'entrée de votre circuit de conditionnement du signal limite directement la résolution de la mesure. Si vous essayez de mesurer un signal de 10 mV avec un capteur d'impédance de 100 kΩ à température ambiante, le bruit de Johnson est d'environ 40,5 nV/√Hz. Sur une bande passante de 10 kHz, soit 1,28 μV rms, soit environ 0,01 % de votre signal. C'est probablement bien. Mais si votre bande passante est de 1 MHz, le bruit grimpe à 12,8 μV, et vous perdez une décimale de précision.

Dans les applications ADC, le bruit Johnson émis par le réseau d'entrée peut dégrader le SNR. Le Calculateur ADC SNR et ENOBvous permet de prendre en compte le bruit de Johnson en plus du bruit de quantification pour voir le SNR réel de votre système d'acquisition de données.

Quand s'inquiéter, quand ignorer

Si votre signal est de l'ordre du millivolt ou plus et que vos impédances sont inférieures à 1 kΩ, Le bruit de Johnson n'est probablement pas votre plus gros problème. Le bruit de l'amplificateur opérationnel, le bruit numérique ou les interférences électromagnétiques de votre circuit sont plus susceptibles de dominer.

Si votre signal est de l'ordre du microvolt, si vos impédances sont très élevées (mégohms) ou si votre bande passante est très large, le bruit de Johnson devient une véritable contrainte. C'est à ce moment-là que vous devez optimiser : des impédances plus faibles, une bande passante plus étroite, des amplificateurs opérationnels à faible bruit ou parfois un refroidissement cryogénique.

Essayez-le

Prenez la topologie de votre circuit, saisissez les valeurs de vos composants et branchez-les au Calculateur de bruit thermique Johnson-Nyquist. Entrez votre résistance, votre température et votre bande passante. Déterminez à quelle tension sonore vous êtes réellement confrontée. Comparez-le ensuite au niveau de votre signal et aux spécifications de bruit de votre amplificateur opérationnel. C'est votre budget sonore.

Le bruit de Johnson n'est pas facultatif, c'est de la physique. Mais le comprendre signifie que vous pouvez concevoir en fonction de celui-ci, en tenir compte dans vos spécifications et éviter les mauvaises surprises en laboratoire.