Mathématiques du cycle de service PWM : tension moyenne et tension efficace expliquées

Pourquoi les calculs PWM sont plus importants que vous ne le pensez

La modulation de largeur d'impulsion est omniprésente. Moteurs, variateurs LED, régulateurs de commutation, amplificateurs audio : si vous faites quoi que ce soit avec l'électronique de puissance, vous êtes probablement confronté à un signal PWM à un moment ou à un autre. Les calculs semblent triviaux jusqu'à ce que vous ayez besoin de bien faire les choses.

Voici le truc : la plupart des ingénieurs peuvent visualiser un rapport cyclique à partir d'une trace d'oscilloscope. Mais lorsque vous concevez un circuit à partir de zéro, vous devez travailler à rebours. Vous savez que vous voulez une moyenne de 3,3 V pour une alimentation de 5 V. Quel cycle de service cela nécessite-t-il ? Et quelle est la tension efficace que voit réellement votre charge ? Cette deuxième question fait constamment sursauter les gens.

Les relations fondamentales

Déterminons les fondamentaux. Un signal PWM a une durée de fonctionnement $t_{on}$ et une période $T$. Le cycle d'utilisation $ D$est simplement :

Exprimé en pourcentage, vous multipliez par 100. La fréquence est l'inverse de la période :

Les temps morts tombent naturellement :

Tension moyenne

Pour un signal qui commute entre 0 V et une certaine tension d'alimentation $V_s$, la tension moyenne (DC) est la suivante :

C'est ce que vous donnerait un simple filtre RC si la fréquence de coupure est bien inférieure à la fréquence PWM. C'est également ce qui détermine le courant moyen à travers une charge inductive telle que l'enroulement d'un moteur.

Tension RMS — Là où cela devient intéressant

La tension RMS d'une forme d'onde PWM n'est pas la même que la tension moyenne. Pour un signal qui vaut $V_s$ ou 0 :

Pourquoi la racine carrée ? Parce que le RMS est défini comme la racine carrée de la moyenne de la tension au carré. Pendant $t_{on}$, la tension au carré est $ V_s^2$. Pendant le $ t_{off}$, c'est zéro. Faites la moyenne des valeurs au carré sur une période complète, prenez la racine carrée et vous obtenez $ V_s \\sqrt{D}$.

Cette distinction est extrêmement importante pour les calculs de puissance. Si vous pilotez un chauffage résistif avec PWM, la puissance délivrée dépend de la tension efficace et non de la tension moyenne. Un cycle de service de 50 % avec une alimentation 12 V vous donne une moyenne de 6 V mais environ 8,49 V RMS. La puissance d'une résistance de 10 Ω serait de $V_{RMS}^2 / R = 7.2$ W, et non les 3,6 W que vous obtiendriez en utilisant naïvement la tension moyenne.

Exemple fonctionnel : circuit de gradation LED

Passons en revue un scénario réel. Vous concevez un pilote de rétroéclairage LED pour un panneau d'affichage. La chaîne de LED a une tension directe de 28 V et passe d'un rail de 32 V à un circuit de limitation de courant. Vous souhaitez réduire la luminosité des LED à 40 % en utilisant le PWM à 1 kHz.

Donné :

• Tension d'alimentation :$V_s = 32$ V
• Luminosité cible : 40 % (ce qui signifie 40 % de courant moyen, donc 40 % de cycle de service)
• Fréquence PWM :$f = 1000$ Hz

Étape 1 : Trouvez la période Étape 2 : Calculez le respect des délais à partir du cycle de service Étape 3 : temps morts Étape 4 : tension moyenne Étape 5 : tension RMS

Maintenant, pour les LED en particulier, la perception de la luminosité est à peu près proportionnelle au courant moyen. C'est donc le calcul de la tension moyenne qui vous intéresse pour le contrôle de la gradation. Mais si vous calculez la dissipation de puissance dans un élément résistif du même circuit, par exemple une résistance de détection de courant, vous auriez besoin de la valeur RMS.

Vous pouvez vérifier ces calculs rapidement en saisissant les chiffres dans le ouvrez le calculateur de cycle d'utilisation PWM.

Quand la moyenne par rapport au RMS compte vraiment

La distinction moyenne/RMS n'est pas académique. Voici trois cas où se tromper pose de réels problèmes :

Éléments chauffants résistifs. La puissance de sortie d'un appareil de chauffage contrôlé par PWM dépend de la tension efficace au carré divisée par la résistance. Utilisez une tension moyenne et vous sous-estimerez la puissance d'un facteur $1/\\sqrt{D}$. À un cycle d'utilisation de 25 %, c'est un facteur d'erreur de 2. Calculs du couple moteur. Le couple du moteur à courant continu est proportionnel au courant moyen, qui provient de la tension moyenne divisée par la résistance de l'enroulement (en ignorant les champs électromagnétiques arrière pendant un moment). Mais les pertes I²R dans les enroulements dépendent du courant RMS. Un moteur fonctionnant à un cycle de service de 50 % présente des pertes de cuivre plus élevées que ne le suggère le courant moyen. Courant nominal d'ondulation du capacitateur. Le courant efficace traversant un condensateur de filtre dans un circuit PWM détermine son degré de chauffe. Les condensateurs électrolytiques ont des limites de courant d'ondulation et leur dépassement réduit considérablement leur durée de vie. Vous avez besoin de la valeur RMS ici, pas de la moyenne.

Erreurs et pièges courants

Direction confuse du cycle de service

Cela semble stupide mais cela arrive tout le temps. Le cycle de fonctionnement à 100 % est-il complètement activé ou complètement désactivé ? Dans la plupart des conventions, 100 % signifie que le rendement est élevé pendant toute la période, c'est-à-dire complètement activé. Mais certains contrôleurs de moteur et pilotes de LED inversent cela, en particulier s'ils utilisent une commutation côté bas avec une logique active-basse. Consultez toujours la fiche technique ou le schéma.

Oublier le temps mort

Dans les circuits en pont en H et en demi-pont, un temps mort intentionnel s'insère entre la mise hors tension d'un interrupteur et l'activation de l'autre. Cela empêche le courant traversant mais réduit également la plage de cycle de service effectif. Si votre contrôleur insère 500 ns de temps mort à chaque transition à 100 kHz (période de 10 μs), vous avez perdu 10 % de votre plage de rapport cyclique.

En supposant une perception linéaire de la luminosité

Si vous réduisez l'intensité des LED pour une visualisation humaine, la luminosité perçue suit approximativement une courbe logarithmique. Un cycle de service de 50 % ne ressemble pas à une luminosité de 50 %, mais bien plus lumineux que cela. Vous avez besoin d'une correction gamma pour cartographier votre cycle d'utilisation. Il ne s'agit pas d'une erreur mathématique PWM en soi, mais c'est là que les mathématiques rencontrent la réalité.

Ignorer les périodes de hausse et de baisse

Les formules supposent une commutation instantanée. Les véritables MOSFET et pilotes de grille ont des temps de montée et de descente limités. Aux basses fréquences, cela est négligeable. À 500 kHz avec des transitions de 50 ns, ces bords absorbent 5 % de votre période. Le rapport cyclique effectif et le rapport cyclique calculé commencent à diverger, et votre tension moyenne ne sera pas exactement celle à laquelle vous vous attendiez.

Utiliser la mauvaise tension pour le calcul

La tension d'alimentation dans la formule est la tension que la charge voit réellement pendant le temps de fonctionnement. Si vous avez une alimentation de 12 V mais qu'il y a une chute de 0,5 V sur votre MOSFET et de 0,3 V sur la résistance de détection de courant, la tension d'alimentation effective est de 11,2 V. Les petites erreurs s'aggravent lorsque vous essayez d'atteindre une tension précise.

Considérations relatives à la sélection des fréquences

Le calculateur vous donne la fréquence à partir de la période, mais le choix de la bonne fréquence PWM implique d'abord des compromis.

Pour les moteurs, vous devez généralement vous situer au-dessus de la plage sonore (au moins 20 kHz) pour éviter les gémissements. Mais des fréquences plus élevées signifient plus de pertes de commutation dans vos MOSFET et plus de pertes de cœur dans tous les inducteurs. La plupart des contrôleurs de moteur se situent entre 20 kHz et 50 kHz.

Pour la gradation des LED, vous pouvez souvent vous en tirer avec des fréquences beaucoup plus basses si le scintillement n'est pas visible. Mais les capteurs des appareils photo captent le scintillement que les humains ne voient pas. Tout ce qui est destiné à être photographié ou filmé nécessite donc au moins quelques kHz.

Les régulateurs de commutation ont leurs propres contraintes en fonction de la taille de l'inducteur et des exigences de réponse transitoire. Un convertisseur Buck fonctionnant à 500 kHz nécessite une bobine d'induction beaucoup plus petite qu'un convertisseur fonctionnant à 50 kHz, mais les pertes du contrôleur et du FET augmentent.

Au-delà des formes d'onde idéales

Tout ce qui précède suppose une impulsion rectangulaire propre. La réalité est encore plus confuse. L'inductance parasite provoque des bourdonnements sur les bords. La récupération inverse dans les diodes corporelles crée des pointes de courant. Les filtres EMI ajoutent leurs propres effets en fonction de la fréquence.

Pour la plupart des calculs de rapport cyclique et de tension moyenne, vous pouvez ignorer ces effets secondaires. Mais si vous effectuez un travail de précision, par exemple si vous étalonnez un DAC basé sur PWM ou si vous mesurez l'efficacité à la troisième décimale près, vous devrez en tenir compte. Un oscilloscope doté de fonctions mathématiques peut calculer la moyenne réelle et les valeurs RMS de votre forme d'onde réelle, ce qui correspond toujours à la vérité fondamentale.

Essayez-le

Si vous travaillez sur une conception PWM et que vous souhaitez vérifier rapidement votre cycle de service, votre tension moyenne et vos calculs RMS, ouvrez le calculateur de cycle de service PWM. Indiquez votre heure et vos règles, et toutes les valeurs dérivées vous seront fournies instantanément. C'est particulièrement pratique lorsque vous effectuez des itérations sur des valeurs temporelles et que vous ne voulez pas continuer à saisir des chiffres dans une calculatrice ou une feuille de calcul.