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Smith Chart Calculator

Interactive Smith Chart for impedance matching and RF network analysis. Enter load impedance to visualize reflection coefficient, VSWR circle, and normalized impedance.

Interactive Smith ChartZ = 50+0j Ω  |  Z₀ = 50 Ω

Presets

Inputs

Positive = inductive, negative = capacitive

Results

Reflection Coefficient |Γ|(|Γ|)
0.0000
Angle ∠Γ(∠Γ)
0.00 °
VSWR(VSWR)
1.000 :1
Return Loss(RL)
∞ dB
Mismatch Loss(ML)
0.000 dB
Normalized Impedance r(r)
1.0000
Normalized Impedance x(x)
0.0000
Γ = 0.0000 + 0.0000j  |  z = 1.0000 + 0.0000j

Smith Chart

SCOCZ₀0.5121.00+0.00jReal(Γ)Imag(Γ)+j−j
Load ZVSWR circleGrid (r, x)

Formule

Γ=ZL−Z0ZL+Z0,VSWR=1+∣Γ∣1−∣Γ∣\Gamma = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}, \quad \text{VSWR} = \frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}

Référence: Pozar, Microwave Engineering 4th Ed., Chapter 2

Γ— Complex reflection coefficient
Z— Load impedance R + jX (Ω)
Z₀— Reference (characteristic) impedance (Ω)
|Γ|— Magnitude of reflection coefficient (0 = matched, 1 = total reflection)
VSWR— Voltage Standing Wave Ratio = (1+|Γ|)/(1−|Γ|) (:1)
RL— Return Loss = −20 log₁₀|Γ| (dB)

Comment ça marche

Le diagramme de Smith est un outil graphique inventé par Phillip H. Smith aux Bell Labs en 1939. Il permet de visualiser simultanément une impédance et un coefficient de réflexion complexes sur un seul diagramme normalisé, ce qui le rend indispensable pour l'analyse des lignes de transmission, l'adaptation d'impédance et la conception d'amplificateurs RF. Le graphique est tracé dans le plan du coefficient de réflexion complexe (γ), où l'axe horizontal représente la partie réelle de γ et l'axe vertical représente la partie imaginaire. Le cercle limite extérieur a un rayon de |GG| = 1, ce qui représente la réflexion totale (circuit ouvert, court-circuit ou charges purement réactives). Le centre du graphique correspond à γ = 0, condition d'adaptation parfaite de l'impédance. Deux familles de cercles orthogonaux sont superposées au plan γ : 1. Cercles à résistance constante : chaque cercle de cette famille représente toutes les impédances ayant la même résistance normalisée r = R/Z. Le centre du cercle pour r est situé à (r/ (r+1), 0) dans le plan γ et son rayon 1/ (r+1). Tous les cercles sont tangents au bord droit de la carte (γ = +1, circuit ouvert). Le cercle r = 1 passe par le centre du graphique. 2. Arcs à réactance constante : chaque arc représente toutes les impédances ayant la même réactance normalisée x = X/Z. L'arc pour x a son centre en (1, 1/x) dans le plan γ et son rayon |1/x|. Les arcs de la moitié supérieure du graphique correspondent à une réactance inductive (positive) ; les arcs de la moitié inférieure correspondent à une réactance capacitive (négative). Pour utiliser le graphique, normalisez l'impédance de charge : z = Z/Z= r + jx. Localisez le point à l'intersection du cercle en R et de l'arc en X pour trouver γ graphiquement. L'amplitude |GG| est égale à la distance entre le centre de la carte et ce point, et le VSWR est égal à (1 + |GG|)/(1 − |GG|). Le fait de se déplacer le long d'une ligne de transmission sans perte déplace le point d'impédance le long d'un cercle constant-|γ | (Constant-VSWR), dans le sens des aiguilles d'une montre en direction du générateur, effectuant un tour complet par demi-longueur d'onde.

Exemple Résolu

Problème : Trouvez le coefficient de réflexion, VSWR, et la perte de retour pour une charge Z = 25 + j30 Ω connectée à une ligne de transmission de 50 Ω. Suggérez une simple correspondance d'impédance du réseau L. Étape 1 — Normaliser l'impédance : z = Z/Z = (25 + j30) /50 = 0,5 + j0,6 Étape 2 — Calculez le coefficient de réflexion : G = (z − 1)/(z + 1) Numérateur : (0,5 − 1) + j0,6 = −0,5 + j0,6 Dénominateur : (0,5 + 1) + j0,6 = 1,5 + j0,6 |Dénominateur|² = 1,5² + 0,6² = 2,25 + 0,36 = 2,61 _réel = (−0,5 × 1,5 + 0,6 × 0,6) /2,61 = (−0,75 + 0,36) /2,61 = −0,39/2,61 ≈ -0,1494 _Image = (0,6 × 1,5 − (−0,5) × 0,6) /2,61 = (0,9 + 0,3) /2,61 = 1,2/2,61 ≈ 0,4598 |Γ | = √ (0,1494² + 0,4598²) ≈ √ (0,02232 + 0,21142) ≈ √ 0,23374 ≈ 0,4835 Étape 3 — VSWR : VSWR = (1 + 0,4835)/(1 − 0,4835) = 1,4835/0,5165 ≈ 2,87:1 Étape 4 — Perte liée au retour : RL = −20 log (0,4835) ≈ −20 × (−0,3156) ≈ 6,31 dB Cela indique une correspondance modérément médiocre : environ 23 % de la puissance est réfléchie. Étape 5 — Perte par discordance : ML = −10 log (1 − 0,4835²) = −10 log (1 − 0,2338) = −10 log (0,7662) ≈ 1,16 dB Étape 6 — Stratégie d'appariement du réseau L : La charge z = 0,5 + j0,6 se trouve à l'intérieur du cercle r = 1. Stratégie A (shunt-C puis série-L) : Tout d'abord, ajoutez un condensateur shunt pour annuler la réactance inductive et ramener z à 0,5 + j0. À 1 GHz, C_shunt ≈ (0,6 × 50)/(2π × 1e9 × 50²) — utilisez le diagramme de Smith pour lire la susceptance exacte. Ajoutez ensuite un inducteur en série pour passer de z = 0,5 à z = 1 (le cercle r = 1 coupe l'axe réel uniquement à z=1). Vous pouvez également utiliser un transformateur quart d'onde avec Z_Transformer = √ (50 × 25) = 35,4 Ω pour la partie résistive uniquement (après annulation de la réactance).

Conseils Pratiques

  • ✓Utilisez le cercle VSWR pour faire correspondre la conception du réseau : tracez le cercle en passant par votre point de charge et identifiez l'endroit où il croise le cercle r = 1. Ce point de croisement vous indique exactement la réactance de série à ajouter pour obtenir une correspondance parfaite.
  • ✓Conception du transformateur quart d'onde : si votre charge normalisée est purement résistive (r ≠ 1, x = 0), le point d'impédance se situe sur l'axe réel. Un transformateur quart d'onde d'impédance Z_T = √ (Z× R_load) le fait pivoter exactement de 180° pour atteindre le centre correspondant.
  • ✓Lisez l'admittance à partir du même graphique : faites pivoter n'importe quel point d'impédance de 180° autour du centre de la carte pour obtenir l'admittance normalisée y = 1/z. Cela vous permet de gérer les éléments de shunt sans effectuer de conversion manuelle.
  • ✓Combinez les mouvements en série et en shunt pour les réseaux L : les éléments de la série se déplacent le long de cercles à r constant ; les éléments de shunt se déplacent le long de cercles à g constant (conductance). Une trace du réseau L sur la carte de Smith montre deux segments d'arc perpendiculaires se rencontrant au centre.
  • ✓Vérifiez la stabilité des amplificateurs à transistors : tracez les cercles de stabilité d'entrée et de sortie sur le graphique de Smith pour identifier la région des impédances source/charge qui maintient la stabilité inconditionnelle de l'amplificateur.
  • ✓Utilisez le graphique pour vérifier l'étalonnage du VNA : une valeur courte (γ = −1), une ouverture (γ = +1) et une charge (γ = 0) connues doivent se situer exactement au bord gauche, au bord droit et au centre du graphique de Smith, respectivement. Les écarts indiquent une erreur d'étalonnage.

Erreurs Fréquentes

  • ✗Oublier de normaliser : le diagramme de Smith ne fonctionne qu'avec une impédance normalisée z = Z/Z. Le traçage des valeurs ohmiques brutes produit directement des résultats incorrects. Divisez toujours R et X par Z avant de localiser le point.
  • ✗Confondre moitiés inductive et capacitive : la moitié supérieure du diagramme de Smith (axe imaginaire positif) représente la réactance inductive (positive). La moitié inférieure représente la réactance capacitive (négative). C'est le contraire de certaines conventions classiques relatives aux phaseurs qui tracent les charges inductives en dessous de l'axe.
  • ✗Utilisation d'une impédance de référence incorrecte : si votre système est à 75 Ω (télévision par câble) mais que vous normalisez à 50 Ω, chaque point sera mal localisé. Utilisez toujours l'impédance caractéristique du système Z comme valeur de normalisation.
  • ✗Ignorer la dépendance à la fréquence : un point du graphique de Smith n'est valide qu'à une seule fréquence. L'impédance dépend de la fréquence, de sorte qu'une condition adaptée à 2,4 GHz peut être mal adaptée à 5 GHz. Balayez toujours la fréquence à l'aide d'un VNA pour la caractériser sur une bande.
  • ✗Traiter le mouvement du cercle VSWR comme une distance linéaire : Le déplacement le long du cercle VSWR correspond à la longueur électrique et non à la longueur physique. Un tour complet = λ/2 longueur électrique. La longueur physique dépend du facteur de vitesse du support de la ligne de transmission.
  • ✗Confondre l'admittance et l'impédance de la carte de Smith : la carte de Smith peut être utilisée pour l'admittance (Y = 1/Z) en faisant pivoter la carte de 180°. Les éléments de shunt se déplacent le long de cercles à conductance constante et non de cercles à résistance constante. La combinaison des deux conventions conduit à des conceptions correspondantes incorrectes.

Foire Aux Questions

Le centre du diagramme de Smith correspond à γ = 0, ce qui signifie qu'il n'y a pas d'onde réfléchie et que l'impédance de charge est égale à l'impédance de référence Z. C'est la condition d'une adaptation parfaite de l'impédance. Pour un système de 50 Ω, le centre représente Z = 50 + j0 Ω.
Une ligne de transmission sans perte transforme l'impédance comme suit : Z_in = Z× (Z_L + JZtan (βl))/(Z+ JZ_ltan (βl)). Dans le plan γ, cette transformation est une rotation autour de l'origine d'un angle −2βl. Comme la rotation à rayon constant est un cercle, toute droite sans perte trace un cercle constant-|γ | (constant-VSWR). Un cercle complet correspond à λ/2 de longueur électrique.
Tracez l'impédance de charge normalisée z = r + jx sur le graphique. Si x > 0 (inductif), vous pouvez : (1) ajouter un condensateur en série pour se déplacer dans le sens antihoraire le long du cercle constant r jusqu'à atteindre l'axe réel, puis utiliser un transformateur quart d'onde ; ou (2) utiliser l'approche du réseau L en ajoutant d'abord un élément shunt pour atteindre le cercle r = 1, puis en ajoutant un élément en série pour atteindre le centre. Les valeurs exactes des éléments sont lues à partir des échelles de réactance et de susceptance du graphique.
La perte de retour (RL = −20 log|γ | dB) mesure la puissance réfléchie vers la source par rapport à la puissance incidente. Un nombre plus élevé signifie moins de réflexion (une perte de retour de 20 dB correspond à 1 % de puissance réfléchie). La perte de décalage (ML = −10 log (1−|γ |²) dB) mesure la puissance qui n'atteint pas la charge. Elle est égale à la perte d'insertion causée par le seul décalage d'impédance. À VSWR 2:1, la perte de retour est de 9,54 dB mais la perte de discordance n'est que de 0,51 dB, ce qui signifie que 89 % de la puissance atteint toujours la charge.
Les diagrammes de Smith sont particulièrement utiles lors de la conception de réseaux d'adaptation multi-éléments, de l'analyse des transformations des lignes de transmission ou de l'optimisation simultanée du bruit et du gain sur des amplificateurs à transistors. La nature graphique vous permet de voir les compromis de manière intuitive : par exemple, dans quelle mesure un talon doit déplacer une impédance vers le point de correspondance, ou si une légère variation de la valeur d'un composant améliore significativement la correspondance. Pour les calculs simples à fréquence unique, le calcul numérique est plus rapide ; en termes de compréhension de la conception et d'itération, le diagramme de Smith est inégalé.

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