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Convertisseur de nombres complexes polaires Rectangular ↔

Convertissez des nombres complexes entre la forme rectangulaire (a + jb) et la forme polaire (rθ). Quadrant correct via atan2, avec des degrés, des radians et un angle enroulé de 0 à 360°. Pour l'impédance, les paramètres S et l'arithmétique du phaseur.

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Formule

r=a2+b2,θ=atan2⁡(b, a)a=rcos⁡θ,b=rsin⁡θr = \sqrt{a^{2} + b^{2}},\quad \theta = \operatorname{atan2}(b,\,a) \qquad a = r\cos\theta,\quad b = r\sin\theta

Référence: Standard complex-plane identities; Touchstone MA/RI conventions

a— Partie réelle (résistance R pour l'impédance)
b— Partie imaginaire (réactance X pour impédance)
r— Magnitude/module
θ— Angle de phase/argument (° or rad)

Comment ça marche

Chaque quantité complexe en électronique, qu'il s'agisse d'une impédance, d'un paramètre S, d'une tension de phaseur, possède deux descriptions équivalentes. La forme rectangulaire a+jba + jb nomme le point par ses coordonnées dans le plan complexe. La forme polaire r  angle  thetar \ angle \ theta lui donne le nom de distance par rapport à l'origine et d'angle par rapport à l'axe réel positif. Les deux contiennent des informations identiques ; celle que vous voulez dépend de l'opération. L'addition et la soustraction sont triviales sous forme rectangulaire car les composants s'additionnent indépendamment. La multiplication, la division et l'élévation à une puissance sont triviales sous forme polaire car les grandeurs se multiplient et les angles s'additionnent.

La conversion hors forme rectangulaire est $r = \ sqrt {a^2 + b^2} $ et $ \ theta = \ operatorname {atan2} (b, a) $. La magnitude est juste la distance de Pythagore et n'est jamais controversée. L'angle est l'endroit où se produisent presque toutes les erreurs de cette conversion, car l'expression naïve $ \ theta = \ arctan (b/a) $ est fausse pour la moitié du plan. Une arctangente à argument unique renvoie des valeurs comprises uniquement entre −90°-90° et +90°+90°, et le ratio b/ab/a supprime les signes individuels : −3−j4-3 - j4 et 3+j43 + j4 produisent le même ratio et donc la même réponse, même s'ils pointent dans des directions opposées. La forme à deux arguments atan2 prend bb et aa séparément, inspecte les deux signes et renvoie le vrai angle sur la plage complète de −180°-180° à +180°+180°.

La conversion inverse est la définition des coordonnées polaires : a=r  cos  thetaa = r \ cos \ theta et b=r  sin  thetab = r \ sin \ theta. Il n'y a aucune ambiguïté, mais il a une convention à respecter : l'amplitude est considérée comme non négative. Un rr négatif décrit le même vecteur que $|r| \ angle (\ theta + 180°) $, et bien que l'arithmétique fonctionne toujours, la plupart des instruments et des formats de fichiers supposent r  ge0r \ ge 0 et l'interpréteront mal.

Dans le domaine des RF, les enjeux pratiques sont concrets. Une impédance Z=R+jXZ = R + jX sous forme polaire est ∣Z∣  angle  theta|Z| \ angle \ theta, où $ \ theta > 0$ signifie inductif et $ \ theta < 0$ signifie capacitif. Un coefficient de réflexion enregistré au format Touchstone MA est la magnitude et les degrés ; au format RI, il s'agit de la paire rectangulaire. Une erreur de quadrant fait basculer une charge inductive en une charge capacitive, ce qui envoie un réseau correspondant exactement dans la mauvaise direction.

Exemple Résolu

Étant donné : z=3+j4z = 3 + j4, et séparément 5  angle53.13°5 \ angle 53.13° Étape 1 : Magnitude à partir de la paire rectangulaire r=  sqrta2+b2=  sqrt32+42=  sqrt9+16=  sqrt25=5r = \ sqrt {a^2 + b^2} = \ sqrt {3^2 + 4^2} = \ sqrt {9 + 16} = \ sqrt {25} = 5 Étape 2 : Angle avec atan2

$ \ theta = \ operatorname {atan2} (4, 3) = 0.9272952180016122$ rad

Conversion en degrés : 0,9272952180016122 \ times \ frac {180} {\ pi} = 53.13010235415598°$

aa et bb sont tous deux positifs, donc le point se trouve dans le quadrant I et la forme 00—360°360° a la même valeur, 53.13010235415598°$. Étape 3 : Reculer dans l'autre sens a=r  cos  the^ta=5  fois  cos(53,13010235415598°)=3a = r \ cos \ thêta = 5 \ fois \ cos (53,13010235415598°) = 3 b=r  sin  theta=5  times  sin(53,13010235415598°)=4b = r \ sin \ theta = 5 \ times \ sin (53,13010235415598°) = 4

L'aller-retour permet de récupérer exactement la paire d'origine, ce qui vaut la peine d'être effectué chaque fois que vous soupçonnez un problème de quadrant.

Étape 4 : Pourquoi le quadrant est important

Prenez plutôt z=−3−j4z = -3 - j4. Le ratio b/a=−4/−3=1,333b/a = -4/-3 = 1,333 est identique au ratio pour 3+j43 + j4, donc $ \ arctan (b/a) $ renvoie 53,13°$ pour les deux, pointant vers le quadrant I alors que le vecteur se trouve réellement dans le quadrant III. atan2 voit que les deux arguments sont négatifs et renvoie −126.86989764584402°-126.86989764584402°, soit de manière équivalente 233,130102354402°233,130102354402° 15598°$ sous la forme 00—360°360°.

Résultat : 3+j4=5  angle53.1301°3 + j4 = 5 \ angle 53.1301°, et −3−j4=5  angle−126.8699°-3 - j4 = 5 \ angle -126.8699° — même amplitude, direction opposée.

Conseils Pratiques

  • ✓Utilisez la forme polaire pour la multiplication en cascade (transformations d'impédance, paramètres S chaînés) et la forme rectangulaire pour tout ce qui est additif (impédances en série, phaseurs superposés). La conversion au bon moment supprime la majeure partie de l'arithmétique
  • ✓Pour une impédance, lisez d'abord le signe de l'angle : positif est inductif, négatif est capacitif, zéro est purement résistif. Il vous indique dans quelle direction vous déplacer avant de calculer quoi que ce soit
  • ✓Lorsque vous lisez des fichiers Touchstone, confirmez la ligne de format : MA correspond à la magnitude et aux degrés, DB à la magnitude en dB et degrés, RI à la paire rectangulaire. Confondre DB et MA donne une amplitude erronée d'un logarithme
  • ✓Aller-retour pour toute conversion suspecte : convertissez au format polaire, convertissez directement en arrière et comparez avec l'original. Une erreur de quadrant apparaît immédiatement sous la forme d'un retournement de signe
  • ✓Gardez une précision totale sur l'angle lors de l'enchaînement des conversions. Arrondir 53,13010235 degrés à 53,1 introduit une erreur de magnitude de 0,02 % après seulement quelques multiplications en cascade

Erreurs Fréquentes

  • ✗En utilisant arctan (b/a) au lieu de atan2 (b, a), le quadrant II est réduit au quadrant IV et le quadrant III au quadrant I, ce qui produit une erreur silencieuse de 180 degrés qui inverse une impédance inductive en une impédance capacitive
  • ✗Mélanger les degrés et les radians dans le même calcul : les fonctions des bibliothèques trigonométriques prennent presque toujours des radians. Une valeur en degrés doit donc être multipliée par pi/180 avant d'atteindre cos ou sin
  • ✗En supposant la plage d'angles sans vérifier, atan2 renvoie -180 à +180 degrés, tandis que de nombreux lecteurs VNA et Touchstone présentent une valeur de 0 à 360 degrés ; les deux diffèrent d'exactement 360 degrés pour les angles négatifs et leur comparaison directe donne un faux décalage
  • ✗Entrée d'une amplitude négative sous forme polaire : r est défini comme non négatif, et une valeur négative fait pivoter silencieusement le vecteur de 180 degrés par rapport à ce que les outils en aval attendent
  • ✗Calcul de la moyenne des angles par rapport à un point d'enroulement : la moyenne de 179 degrés et -179 degrés est de 0 degré en arithmétique mais de 180 degrés en réalité ; déroulez la phase avant tout calcul de moyenne ou interpolation

Foire Aux Questions

arctan prend un argument, le ratio b/a, et ne peut renvoyer qu'un angle compris entre -90 et +90 degrés. atan2 prend b et a comme arguments séparés, afin de pouvoir voir leurs signes individuels et renvoyer l'angle correct n'importe où dans la plage complète de -180 à +180 degrés. Puisque le rapport b/a est identique pour un point et son opposé, arctan ne peut pas les distinguer et atan2 le peut.
Traitez la résistance comme la partie réelle et la réactance comme la partie imaginaire. Pour Z = 50 - j25 ohms, la magnitude est sqrt (50^2 + 25^2) = 55,90 ohms et l'angle est atan2 (-25, 50) = -26,57 degrés. L'angle négatif confirme que la charge est capacitive.
Parce qu'il utilise un arctan à argument unique sur le ratio. Dans les deux cas, b/a = 1,333, le ratio à lui seul ne peut donc pas les différencier. Les bonnes réponses sont respectivement +53,13 degrés et -126,87 degrés, soit la même magnitude de 5, dans des directions opposées dans le plan.
Utilisez -180 à 180 pour tout ce dont le signe a une signification, comme la phase d'impédance, car le signe distingue immédiatement l'inductif du capacitif. Utilisez 0 à 360 pour faire correspondre l'affichage d'un instrument ou un format de fichier qui utilise cette convention. Ce calculateur affiche les deux pour que vous n'ayez jamais à additionner ou à soustraire 360 manuellement.
Sous forme polaire, les magnitudes se multiplient et les angles s'additionnent : (r1 angle t1) fois (r2 angle t2) est égal à (r1 r2) angle (t1 + t2). Dans une forme rectangulaire, la même opération nécessite quatre multiplications et deux ajouts avec une manipulation minutieuse des signes. Pour les réseaux en cascade, où vous pouvez multiplier une douzaine de termes, la forme polaire est nettement moins sujette aux erreurs.
Non défini : un vecteur de longueur nulle ne pointe nulle part. atan2 (0, 0) renvoie 0 par convention afin que le code ne se bloque pas, et cette calculatrice vous avertit lorsque vous atteignez cette case afin que le résultat ne soit pas confondu avec une mesure réelle.

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