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Calculadora de constante dielétrica efetiva (Microstrip)

Calcule a constante dielétrica efetiva de microfita ε eff com Hammerstad—Jensen, além da dispersão de Getsinger, velocidade de propagação, atraso em ps/mm e ps/polegada e comprimento de onda guiado.

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Fórmula

εeff=εr+12+εr−12(1+10u)−a(u) b(εr),u=weffh\varepsilon_{\text{eff}} = \frac{\varepsilon_r + 1}{2} + \frac{\varepsilon_r - 1}{2}\left(1 + \frac{10}{u}\right)^{-a(u)\,b(\varepsilon_r)},\qquad u = \frac{w_{\text{eff}}}{h}

Referência: E. Hammerstad & Ø. Jensen, "Accurate Models for Microstrip Computer-Aided Design", IEEE MTT-S 1980; W. J. Getsinger, "Microstrip Dispersion Model", IEEE Trans. MTT-21, 1973

εeff— Constante dielétrica efetiva vista pela onda
εr— Permissividade relativa do substrato
w— Largura do traço (mm)
h— Altura dielétrica até o plano de referência (mm)
t— Espessura do cobre (amplia o traço efetivo) (mm)
q— Fator de preenchimento, (ε eff−1)/(θr−1)
tpd— Atraso de propagação, √ε eff/ c (ps/mm)

Como Funciona

Uma microfita é uma estrutura dielétrica mista. O traço fica no laminado com um plano de referência abaixo dele, mas acima do traço está o ar. As linhas de campo, portanto, se dividem entre dois meios de permissividade diferente, e a onda se propaga como se estivesse viajando em um único meio uniforme de algum valor intermediário $\ varepsilon_ {eff} $, estritamente limitada por 1< varepsiloneff< varepsilonr1 <\ varepsilon_ {eff} <\ varepsilon_r. Cada número que depende da velocidade — atraso de propagação, comprimento de onda guiado, comprimento do talão, comprimento elétrico de uma seção correspondente — depende de $\ varepsilon_ {eff} $ e não do laminado $\ varepsilon_r impresso na folha de dados.

Hammerstad e Jensen ajustaram $\ varepsilon_ {eff} $ à solução exata de campo quase estático em função de um único parâmetro de forma u=w/hu = w/h, com um expoente dependente de $\ varepsilon_r. Sua forma fechada é de aproximadamente 1% acima de 0,05 leu le200,05\ le u\ le 20 e  varepsilonr le12\ varepsilon_r\ le 12, o que abrange essencialmente todo o trabalho em circuito impresso. A espessura do cobre entra primeiro como um aumento efetivo de largura $\ Delta w = (t/\ pi)\ ln (1 + 2h/t) $, porque um condutor com espessura real apresenta uma parede lateral extra para o campo; ignorá-la exagera visivelmente Z0Z_0 no cobre pesado.

Dois limites confirmam que o modelo está fazendo a física correta. Como w/h to0w/h\ to 0, o traço mal perturba a interface ar-dielétrica e  varepsiloneff to( varepsilonr+1)/2\ varepsilon_ {eff}\ to (\ varepsilon_r + 1) /2, a média aritmética dos dois meios-espaços. Como w/h to inftyw/h\ to\ infty, o campo é comprimido inteiramente no substrato e  varepsiloneff to varepsilonr\ varepsilon_ {eff}\ to\ varepsilon_r — o limite da placa paralela, onde uma microfaixa se comporta como uma faixa. Entre eles, o fator de preenchimento $q = (\ varepsilon_ {eff} - 1)/(\ varepsilon_r - 1) $ indica diretamente qual fração da energia do campo está dentro do laminado.

O resultado quase estático é independente da frequência, o que não é bem verdade. Conforme a frequência aumenta, o campo se concentra ainda mais no substrato de maior permissividade e $\ varepsilon_ {eff} $ sobe monotonicamente em direção a  varepsilonr\ varepsilon_r. O modelo da Getsinger captura isso como $\ varepsilon_ {eff} (f) =\ varepsilon_r - (\ varepsilon_r -\ varepsilon_ {eff})/(1 + G (f/f_p) ^2) $ com $f_p = Z_0/ (2\ mu_0 h) $ e G=0,6+0,009Z0G = 0,6 + 0,009 Z_0. A correção é dimensionada como $ (f h) ^2$, portanto, está abaixo de 1% em laminado fino abaixo de cerca de 10 GHz e se torna vários por cento em substrato espesso ou acima de aproximadamente 15 GHz.

Exemplo Resolvido

Fornecido: w=0,3w = 0,3 mm, h=0,2h = 0,2 mm,  varepsilonr=4,3\ varepsilon_r = 4,3 (FR-4), t=35t = 35 µm (1 oz), f=1f = 1 GHz Etapa 1: correção de espessura para a largura efetiva  Deltaw= fract pi left(1+ ln frac2ht right)= frac0,035 pi left(1+ ln frac0,40,035 right)=0,011141 times(1+2,43612)=0,03828\ Delta w =\ frac {t} {\ pi}\ left (1 +\ ln\ frac {2h} {t}\ right) =\ frac {0,035} {\ pi}\ left (1 +\ ln\ frac {0,4} {0,035}\ right) = 0,011141\ times (1 + 2,43612) = 0,03828 mm

$ w_ {eff} = 0,3 + 0,03828 = 0,33828$ mm, então $ u = w_ {eff} /h = 1,69141$

Etapa 2: termos da forma Hammerstad—Jensen a=1+ frac149 ln fracu4+(u/52)2u4+0,432+ frac118,7 ln left(1+ left( fracu18,1 right)3 right)=0,998997a = 1 +\ frac {1} {49}\ ln\ frac {u^4 + (u/52) ^2} {u^4 + 0,432} +\ frac {1} {18,7}\ ln\ left (1 +\ left (\ frac {u} {18,1}\ right) ^3\ right) = 0,998997 b=0,564 left( frac varepsilonr−0,9 varepsilonr+3 right)0,053=0,564 times(0,465753)0,053=0,541619b = 0,564\ left (\ frac {\ varepsilon_r - 0,9} {\ varepsilon_r + 3}\ right) ^ {0,053} = 0,564\ times (0,465753) ^ {0,053} = 0,541619 Etapa 3: Constante dielétrica efetiva

$\ varepsilon_ {eff} =\ frac {\ varepsilon_r + 1} {2} +\ frac {\ varepsilon_r - 1} {2}\ left (1 +\ frac {10} {u}\ right) ^ {-ab} $

=2,65+1,65 times(6,91224)−0,541076=2,65+1,65 times0,35131=3,2296814465543817= 2,65 + 1,65\ times (6,91224) ^ {-0,541076} = 2,65 + 1,65\ times 0,35131 = 3,2296814465543817

Verificação de sanidade em relação aos limites: $ (\ varepsilon_r + 1) /2 = 2,65$ e  varepsilonr=4,3\ varepsilon_r = 4,3. O resultado fica entre eles, como deve ser.

Etapa 4: fator de preenchimento e impedância q= frac varepsiloneff−1 varepsilonr−1= frac2,22968143,3=0,6756610444104187q =\ frac {\ varepsilon_ {eff} - 1} {\ varepsilon_r - 1} =\ frac {2,2296814} {3,3} = 0,6756610444104187

$ Z_0 = 54,36834333422282$ Ω — cerca de dois terços da energia do campo estão dentro do laminado.

Etapa 5: Propagação

$ v_p =\ frac {c} {\ sqrt {\ varepsilon_ {eff}}} =\ frac {c} {1,79713} = 55,64423238564186\\ %$ de cc

tpd= frac sqrt varepsiloneffc= frac1,797130,299792458textmm/ps=5,994585258834897t_ {pd} =\ frac {\ sqrt {\ varepsilon_ {eff}}} {c} =\ frac {1,79713} {0,299792458\\ text {mm/ps}} = 5,994585258834897 ps/mm

Em unidades imperiais: 5.994585 times25.4=152.262465574406385.994585\ times 25.4 = 152.26246557440638 ps/inch — o conhecido “cerca de 150 ps por polegada” para a microfita FR-4.

Etapa 6: Dispersão e comprimento de onda guiado a 1 GHz

$f_p =\ frac {Z_0} {2\ mu_0 h} =\ frac {54,3683} {2\ times 4\ pi\ times 10^ {-7}\ times 0,2\ times 10^ {-3}} = 1,0817\ times 10^ {11} $ Hz

Em 1 GHz, a proporção $ f/f_p $ é 0,00924, então a correção é insignificante:  varepsiloneff(f)=3,22978109571598\ varepsilon_ {eff} (f) = 3,22978109571598, uma mudança de apenas 0,0031%.

 lambdag= fraccf sqrt varepsiloneff(f)=166,81463855984217\ lambda_g =\ frac {c} {f\ sqrt {\ varepsilon_ {eff} (f)}} = 166,81463855984217 mm, então uma seção de um quarto de onda é 41,7036596399605441,70365963996054 mm. Resultado:  varepsiloneff=3.2297\ varepsilon_ {eff} = 3.2297, 55,6% da velocidade da luz, 152,3 ps/polegada e um quarto de onda de 41,7 mm a 1 GHz.

Dicas Práticas

  • ✓Verifique a sanidade de qualquer resultado de épsilon-eff em relação aos dois limites: ele deve estar entre (epsilon-r + 1) /2 e épsilon-r. Um valor fora desse intervalo significa um erro de unidade ou geometria, não um modelo marginal
  • ✓Use o fator de preenchimento para análise de tolerância — uma mudança no laminado epsilon-r move o epsilon-eff aproximadamente q vezes essa mudança, então uma linha com q = 0,68 passa cerca de dois terços de qualquer variação do laminado para seu orçamento de atraso
  • ✓Atraso entre aspas em ps/inch ao falar com engenheiros de integridade de sinal e ps/mm ao fazer aritmética de layout. Ambos têm o mesmo número, escalado em 25,4, e misturá-los é uma fonte comum de erros de correspondência de comprimento
  • ✓Traços mais largos aumentam o efeito épsilon, o que significa que o atraso de uma linha de impedância controlada não é constante em uma placa com geometrias mistas. Combine o comprimento no atraso, não no comprimento físico, quando as larguras diferem
  • ✓Para estruturas de frequência crítica em substrato espesso, execute o cálculo em sua frequência operacional em vez de DC. A saída de dispersão informa imediatamente se é importante ou se pode ser ignorada

Erros Comuns

  • ✗Usando o laminado epsilon-r em vez de epsilon-eff para cálculos de talão e comprimento de onda — no FR-4, isso fornece um trecho de um quarto de onda cerca de 13% curto demais, o suficiente para mover a borda do filtro em centenas de MHz
  • ✗Supondo que a microfita e a linha de faixa tenham o mesmo atraso no mesmo laminado, uma linha de faixa está totalmente enterrada, então seu efeito épsilon-r é exatamente igual a épsilon-r, tornando-a aproximadamente 15% mais lenta do que uma microfita em material idêntico
  • ✗Ignorando a espessura do cobre em construções pesadas de cobre — 2 onças de cobre adicionam uma largura efetiva substancial e, deixando-o de fora, exagera o Z0 em vários por cento
  • ✗Aplicando o valor quase estático em frequências de ondas milimétricas — acima de aproximadamente 15 GHz, ou em substrato espesso, o epsilon-eff sobe de forma mensurável em direção ao épsilon-r e o número estático subestima o atraso
  • ✗Esquecendo a máscara de solda — a máscara tem aproximadamente épsilon-r 3.5 e substitui o ar acima do traço, aumentando o épsilon-eff em 2 a 5 por cento e diminuindo o Z0 em uma quantidade semelhante em uma linha típica de 50 ohms

Perguntas Frequentes

Porque uma microfita está apenas meio enterrada. Parte do campo viaja pelo ar acima do traço, onde a permissividade é 1, reduzindo a média. Uma faixa é totalmente cercada por um dielétrico, então seu epsilon-eff é exatamente igual ao epsilon-r e é correspondentemente mais lento.
Uma microfita de 50 ohms em 4,3 epsilon-r FR-4 geralmente pousa entre 3,0 e 3,4, dependendo da relação largura/altura. Traços mais largos empurram mais campo para o substrato e aumentam o efeito épsilon; traços estreitos permitem que mais campo entre no ar e o diminuem.
O comprimento físico é de 1 sobre a raiz quadrada de epsilon-eff. A 2,4 GHz, um quarto de onda de espaço livre é de 31,2 mm; na microfita FR-4 com epsilon-eff de 3,23, ela encolhe para 17,38 mm. Usar epsilon-r = 4,3 em vez disso resultaria em 15,06 mm, um erro de 13,3 por cento.
As escalas de correção com o quadrado da frequência vezes a altura do substrato. Em substrato de 0,2 mm, está bem abaixo de 1% até 10 GHz e pode ser ignorado. Em substrato de 1,6 mm, ou acima de aproximadamente 15 GHz em qualquer empilhamento, o epsilon-eff pode subir vários por cento em direção ao épsilon-r e deve ser usado para estruturas críticas de comprimento de onda.
q = (epsilon-eff menos 1) dividido por (epsilon-r menos 1) indica qual fração da energia de campo está dentro do substrato. É conveniente para análise de sensibilidade: uma tolerância de laminado de mais ou menos 0,2 em épsilon-r move o épsilon-eff em aproximadamente q vezes 0,2, o que se propaga diretamente em seu orçamento de atraso e impedância.
Sim A máscara de solda é aproximadamente épsilon-r 3.5 e substitui parte do ar acima do traço, aumentando o épsilon-eff em cerca de 2 a 5 por cento e diminuindo o Z0 em uma quantidade semelhante em uma linha típica de 50 ohms. Esta calculadora modela microfita nua; para uma linha mascarada, use o modo de microfita embutida da calculadora de impedância controlada.

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