Butterworth contra Chebyshev contra Bessel Filters

Elegir un tipo de filtro

En el diseño analógico aparecen tres aproximaciones de filtro en todas partes. La opción que elija realmente se reduce a lo que más importa para su aplicación:

He visto a muchos ingenieros usar Butterworth por defecto para todo, lo que, sinceramente, funciona bien la mayor parte del tiempo. Sin embargo, comprender las ventajas y desventajas significa que puede reducir los componentes u obtener un mejor rendimiento cuando es necesario.

Butterworth: La opción segura por defecto

El filtro Butterworth ofrece una banda de paso completamente plana, sin ondulación alguna. Su respuesta de magnitud es la siguiente:

En la frecuencia de corte, siempre obtienes exactamente −3 dB, independientemente del orden que elijas. La reducción es de 20 n dB/década, donde n es el orden de los filtros. Simple, predecible y simplemente funciona.

Un Butterworth de cuarto orden, construido con dos escenarios Sallen-Key en cascada, te proporciona una reducción de 80 dB por década. Esto suele ser suficiente para el suavizado de los ADC, por lo que esta configuración se ve constantemente en los sistemas de adquisición de datos. Dos paquetes de amplificadores operacionales duales, un puñado de resistencias y tapas, y ya está.

La banda de paso máxima plana del Butterworth significa que la señal permanece intacta hasta que alcances la frecuencia de esquina. No hay variaciones de ganancia extrañas de las que preocuparse. La respuesta de fase no es perfectamente lineal, pero es lo suficientemente decente como para que a la mayoría de las aplicaciones no les importe. Si no estás seguro de qué filtro usar, empieza aquí.

Chebyshev: Inclinación máxima

Aquí es donde las cosas se ponen interesantes. Los filtros Chebyshev tipo I cambian la planitud de la banda de paso por una inclinación mucho más pronunciada. Se permite deliberadamente cierta ondulación en la banda de paso (normalmente especificada en 0,5 dB o 1 dB) y, a cambio, se obtiene un rechazo de banda de parada considerablemente mejor.

Cuando especificas una ondulación de 0,5 dB, significa que la ganancia de la banda de paso varía ± 0,25 dB con respecto al valor nominal. Suena mal, ¿verdad? Pero mira lo que recibes a cambio:

• Un Chebyshev de cuarto orden con una ondulación de 1 dB logra la misma atenuación de banda de parada que un Butterworth de sexto orden
• Eso significa 2 amplificadores operacionales menos, 4 resistencias menos, 4 condensadores menos

En los trabajos de RF o en los crossovers de audio, en los que se necesita un corte de pared y se puede tolerar una cierta ondulación de la banda de paso, Chebyshev suele ser la decisión correcta. El ahorro de componentes por sí solo puede justificar la elección de diseños de producción.

El problema, y es real, es que Chebyshev tiene una terrible variación entre los retrasos de grupo. La respuesta de fase es bastante no lineal, lo que asesina por completo la fidelidad del pulso. Si está filtrando señales de datos donde la temporización es importante, aléjese de Chebyshev. He depurado sistemas en los que alguien usó Chebyshev en una ruta de señal digital y se preguntó por qué su diagrama ocular parecía basura. No seas esa persona.

Bessel: Para Pulse Fidelity

Los filtros Bessel se optimizan para algo completamente diferente: un retardo de grupo que sea lo más estable posible. Todas las frecuencias de la banda de paso se retrasan prácticamente en la misma cantidad, lo que significa que la forma del pulso permanece intacta. Esto es muy importante para:

• Etapas de entrada del osciloscopio (quieres ver la forma de onda real, no una versión borrosa)
• Reconstrucción digital de la señal (los bits tienen que llegar en el momento adecuado)
• Receptores QAM en los que la sincronización de los símbolos es absolutamente crítica

Sin embargo, la compensación es bastante grave. Bessel se retira lentamente, dolorosamente lento en comparación con los otros tipos. Un Bessel de cuarto orden solo alcanza unos -10 dB al doble de la frecuencia de corte. Compárelo con −24 dB para Butterworth o −32 dB para un Chebyshev de 1 dB en el mismo punto. A menudo es necesario ir a órdenes superiores para obtener un rechazo adecuado de la banda de parada, lo que significa más etapas y más componentes.

Pero cuando necesitas una fase lineal (realmente la necesitas, no solo «estaría bien»), Bessel es tu única opción. Lo he usado en equipos de prueba y sistemas de medición de pulsos en los que preservar la forma de la señal no era negociable. La disminución lenta es justo el precio que hay que pagar.

Diseño práctico: topología de Sallen-Key

Para filtros activos de hasta alrededor de 1 MHz, la topología Sallen-Key es prácticamente el componente básico estándar de segundo orden. Es simple, se entiende bien y tolera los componentes:

     R1      R2
In ──┤├──┬──┤├──┬──── Out
         │       │
        C1      C2
         │       │
        GND    (feedback)

Para cada etapa, eliges un factor Q y un $\omega_0$ de las tablas de diseño de filtros, que están normalizadas a $\omega_c = 1$ rad/s, y luego escalas todo a tu frecuencia de corte real. Un Butterworth de cuarto orden, por ejemplo, se descompone en dos etapas de segundo orden: Q = 0,5412 y Q = 1,3066. Las colocas en cascada y listo.

Sallen-Key con componentes equivalentes es aún más simple y facilita mucho la selección de componentes:

• Establezca R1 = R2 = R, C1 = C2 = C
• Luego $\omega_0 = 1/(RC)$ y $Q = 1/(3 - A_v)$, donde $A_v$ es la ganancia del amplificador operacional
• Para $Q = 0.707$ (Butterworth estándar de segundo orden): $A_v = 1.586$

La mayoría de los ingenieros utilizan diseños de componentes iguales, a menos que tengan una razón específica para no hacerlo. Un menor número de valores de componentes únicos se traduce en un inventario más sencillo y un abastecimiento más sencillo. Puedes alcanzar la Q requerida ajustando la ganancia del amplificador operacional con un divisor de resistencia de retroalimentación.

Selección de amplificador operacional

Hay algo en lo que la gente suele equivocarse: el producto de ganancia de ancho de banda (GBW) del amplificador operacional debe ser mucho mayor que la frecuencia de funcionamiento del filtro. La regla general es:

Para un filtro Chebyshev de 10 kHz con Q = 2, necesita GBW > 4 MHz como mínimo. Un LM324 con su GBW de 1 MHz va a tener problemas: verás errores de ganancia y cambios de fase que no habías pedido. Un TL072 (4 MHz) o un OPA2134 (8 MHz) funcionan correctamente.

El término Q² es el asesino. Los escenarios High-Q necesitan amplificadores operacionales muy rápidos. Esta es la razón por la que, a veces, hay gente que divide un filtro de alto orden en varios niveles de Q más bajo, incluso cuando eso implica más componentes. Esto relaja los requisitos de los amplificadores operacionales y, a menudo, proporciona un mejor rendimiento general, ya que no se está llevando los amplificadores al límite.

El ruido y la compensación también son importantes, obviamente. Para un trabajo de precisión, necesita amplificadores operacionales con bajo nivel de ruido, como el OPA2134 o el AD8066. Para cosas de uso general en las que solo intentas mantener los alias fuera de tu ADC, un TL072 está bien y cuesta una fracción de lo que cuesta.

Ejemplo resuelto: filtro antialiasing de paso bajo de 1 kHz

Diseñemos algo real. Supongamos que necesita filtrar una señal antes de muestrear con un ADC de 8 kHz. Quieres más de 60 dB de atenuación a 4 kHz (la mitad de la frecuencia de muestreo, la frecuencia de Nyquist) para evitar la formación de alias.

Objetivo: Filtrar la señal antes del muestreo ADC de 8 kHz. Necesita una atenuación superior a 60 dB a 4 kHz.

1. Obligatorio: 60 dB a 4/1 = 4 veces la frecuencia de corte
2. Pedido: $60 / (20 \log_{10} 4) = 60/12$, es decir, un quinto pedido como mínimo. Utilicemos el sexto orden para darnos un poco de margen: los componentes reales tienen tolerancias y no querrás estar justo al límite.
3. Tipo: Butterworth tiene sentido aquí. La linealidad de fase no es fundamental para alimentar un ADC (de todos modos, el ADC en sí no es lineal en fase), y queremos una banda de paso plana para evitar alterar la amplitud de nuestra señal.
4. Topología: Tres etapas de Sallen-Key en cascada, cada una de segundo orden
5. Valores de los componentes: Empezando por R = 10 kΩ (un buen valor estándar que no es demasiado alto para el ruido ni demasiado bajo para conducir), obtenemos C = 1/ (2π × 1000 × 10000) = 15,9 nF. Puedes usar condensadores de 15 nF con una recortadora pequeña para conectarlos, o simplemente usar 16 nF y aceptar que el límite será ligeramente inferior a 1 kHz, lo que probablemente esté bien dado el margen que hemos incorporado.

En la práctica, probablemente usaría los de 16 nF porque recortar los filtros en producción es molesto y el cambio de frecuencia es insignificante en esta aplicación. Si realmente necesitas exactamente 1 kHz, utiliza límites de tolerancia del 5% y mídelos, o elige 15 nF y añade 1 nF en paralelo.

Diseña los coeficientes de tus filtros y obtén los valores de los componentes al instante con la Calculadora del diseñador de filtros, que admite respuestas de Butterworth, Chebyshev y Bessel del orden 1 al 10. Te proporcionará los factores Q de cada fase y te ayudará a elegir los valores reales de los componentes que realmente están disponibles en los distribuidores.

Las tolerancias de los componentes importan

Una vez que haya diseñado su filtro, la siguiente pregunta es: ¿funcionará realmente cuando se construya con componentes reales? Los condensadores e inductores cerámicos estándar vienen en compartimentos de tolerancia del 5% o el 10%, y esas variaciones pueden afectar significativamente al rendimiento del filtro, especialmente en el caso de los diseños de Chebyshev, con polos estrechos.

Ejecute su diseño con la Herramienta RF Filter Monte Carlo para ver cómo las tolerancias de los componentes afectan al rendimiento. Simula miles de configuraciones con valores de componentes aleatorios y te indica qué porcentaje cumplirá realmente tus especificaciones de banda de paso y banda de tope. Para un filtro antialias Chebyshev de 0,5 dB de quinto orden a 100 MHz, si se compara con 1 dB de planitud de banda de paso y 40 dB de rechazo a 200 MHz, las partes del 5% dan un rendimiento del 99,5%, pero las partes del 10% solo el 83,5%, y el 52,5% si esas partes se distribuyen uniformemente en su banda de tolerancia. Vale la pena saberlo antes de que sus placas de producción dejen de coincidir con su simulación.