Johnson Noise: el ruido térmico del que no puedes escapar

¿Qué es Johnson Noise?

El ruido de Johnson, también llamado ruido de Johnson-Nyquist o ruido térmico, es el ruido eléctrico aleatorio generado por el movimiento térmico de los portadores de carga (electrones) en una resistencia o conductor. No se trata de un defecto de diseño ni de fabricación. Es física fundamental. Cualquier resistencia a cualquier temperatura por encima del cero absoluto irradia ruido. Período.

El ruido existe porque los electrones se mueven constantemente debido a la energía térmica. Ese movimiento aleatorio crea fluctuaciones de corriente aleatorias, que se muestran como ruido de voltaje en la resistencia. Cuanto más caliente esté la resistencia, más violento será el movimiento y más ruido se generará.

¿Por qué debería importarte? Porque el ruido de Johnson limita la relación señal/ruido (SNR) de su amplificador, receptor, interfaz de sensor o circuito de medición. No puedes diseñarlo de otra manera. Solo puedes entenderlo, explicarlo y, a veces, solucionarlo enfriándolo, filtrándolo o calculando el promedio.

La fórmula

La densidad espectral de potencia del ruido de Johnson viene dada por la fórmula de Nyquist:

donde:

• $S_v$ es la densidad espectral de potencia de ruido de voltaje en V²/Hz
• $k_B$ es la constante de Boltzmann: $1.38 \times 10^{-23}$ J/K
• $T$ es la temperatura absoluta en Kelvin
• $R$ es la resistencia en ohmios

Esta es la ecuación clave. Memorízala o márcala como favorita. Todo lo demás se deduce de esto.

Observe lo que falta: frecuencia. El ruido de Johnson es blanco: tiene la misma densidad de potencia a 1 Hz y 1 GHz (dentro de los límites de la aproximación de Rayleigh-Jeans, que se aplica a la RF y al audio). Eso es bueno y malo a la vez. Es bueno porque es predecible. Malo porque no puedes filtrarlo sin filtrar también tu señal.

De la densidad espectral al voltaje RMS

La densidad espectral indica el ruido por unidad de ancho de banda. Para obtener la tensión RMS real que medirías, necesitas integrarla sobre tu ancho de banda de medición $B$:

Este es el formulario que usará con más frecuencia en la práctica. Muestra que el voltaje del ruido aumenta con la raíz cuadrada del ancho de banda, la resistencia y la temperatura.

Un ejemplo práctico: entrada de preamplificador de audio

Diseñemos un preamplificador de micrófono y averigüemos a qué ruido de Johnson nos enfrentamos.

Su micrófono tiene una impedancia de salida de 2 kΩ. Su preamplificador tiene una impedancia de entrada de 10 kΩ (la fuente ve una combinación paralela de la impedancia del micrófono y la impedancia de entrada del preamplificador, pero centrémonos en la etapa de entrada del preamplificador por ahora). El preamplificador funciona a temperatura ambiente (T = 293 K). Su ancho de banda de audio es de 20 Hz a 20 kHz, por lo que $B = 19,980$ Hz ≈ 20 kHz.

Primero, calcule el voltaje de ruido de Johnson a partir de la resistencia de entrada de 10 kΩ :

Ahora añada la impedancia de la fuente del micrófono. La impedancia de salida del micrófono de 2 kΩ ″ también genera ruido Johnson:

Estos se suman en cuadratura (no están correlacionados), por lo que el ruido total referido a la entrada es:

Ahora, si tu preamplificador tiene una ganancia de 40 dB (100 V/V), el ruido de salida es:

Para una señal de nivel de línea típica de 1 V, su SNR es:

Eso no está mal para el audio, pero tampoco es genial. Si el amplificador operacional de tu preamplificador añade su propio ruido (normalmente 10—20 nV/√Hz), ″), también tendrás que tener en cuenta eso. Usa la Calculadora de ruido térmico de Johnson-Nyquistpara introducir tus propios valores y ver con qué estás trabajando.

Por qué es importante la temperatura

Observe que el ruido de Johnson escala linealmente con la temperatura absoluta. A temperatura ambiente (293 K), se obtiene un determinado nivel de ruido. Baje la temperatura a 77 K (nitrógeno líquido) y reducirá el ruido en un factor de $\sqrt{293/77} \approx 1.95$, casi 6 dB más silencioso.

Es por eso que los amplificadores criogénicos se utilizan en radioastronomía y en algunos receptores de satélite. La reducción del ruido es real y significativa. Sin embargo, es caro y poco práctico para la mayoría de las aplicaciones.

Para los circuitos diarios, la conclusión práctica es: el ruido de Johnson a temperatura ambiente es lo que es. Te quedas con él a menos que estés dispuesto a enfriar tu hardware.

El ancho de banda también importa

Observe la dependencia de la raíz cuadrada del ancho de banda. Duplique el ancho de banda de medición y el ruido aumentará en $\sqrt{2} \approx 1.41$ (aproximadamente 1,5 dB). Si se reduce a la mitad, el ruido se reduce en el mismo factor.

Esta es la razón por la que los filtros de banda estrecha son tan útiles en la medición y el diseño del receptor. Un filtro de ancho de banda de 1 kHz en la señal de un sensor generará mucho menos ruido de Johnson que un filtro de 1 MHz que mida la misma resistencia. La desventaja es que se pierde el contenido de la señal fuera de ese ancho de banda.

Errores y trampas comunes

Error 1: ignorar el ruido de Johnson en los circuitos de baja impedancia. Algunos ingenieros piensan que el ruido de Johnson solo es importante en los circuitos de alta impedancia. Incorrecto. Una resistencia de 50 Ω ″ a temperatura ambiente genera aproximadamente 0.9 nV/√Hz. Eso es minúsculo en términos absolutos, pero si la amplificas con una fase de ganancia de 60 dB, se convierte en 0.9 nV × 1000 = 0.9 μV/√Hz en la salida. En un sistema de banda ancha (por ejemplo, 1 GHz), eso equivale a 28,5 μV RMS. No es despreciable. Error 2: Olvidar agregar fuentes de ruido en cuadratura. Si tienes varias resistencias o fuentes de ruido en tu circuito, no se suman linealmente, sino que se suman en cuadratura porque no están correlacionadas. El ruido total es $\sqrt{V_1^2 + V_2^2 + V_3^2 + \ldots}$, no $V_1 + V_2 + V_3 + \ldots$. Esta es una enorme fuente de errores en los cálculos manuales. Error 3: usar un ancho de banda incorrecto. Cuando calcule el ruido de Johnson, utilice el ancho de banda real al que responde su circuito. Si tienes un filtro de 1 MHz pero solo estás viendo una señal de 10 kHz, usa 10 kHz, no 1 MHz. El ancho de banda lo establece el filtro, no la frecuencia de la señal de entrada. Error 4: confundir la densidad espectral del ruido con el ruido total. La fórmula $S_v = 4 k_B T R$ le da la potencia de ruido por Hz. Para obtener el ruido total, debes multiplicarlo por el ancho de banda. Un error común es citar la densidad espectral como si fuera el voltaje total del ruido, lo que subestima el ruido en órdenes de magnitud en los sistemas de banda ancha. Error 5: Suponer que el ruido de Johnson es la única fuente de ruido. En los circuitos reales, también hay ruido de parpadeo (ruido 1/f), ruido de disparo y ruido de cuantificación (en sistemas digitales). El ruido de Johnson suele ser la fuente de ruido dominante en los elementos resistivos, pero no siempre es el mayor problema. En un ADC, el ruido de cuantificación puede dominar. En un fotodiodo, el ruido del disparo puede ser mayor. Revisa siempre las hojas de especificaciones y haz un cálculo del ruido.

Implicaciones prácticas del diseño

En el diseño analógico y de RF, el ruido de Johnson establece la cifra mínima de ruido de su sistema. La cifra de ruido de su amplificador nunca puede ser inferior al ruido generado por la propia resistencia de la fuente. Si tu fuente es una antena de 50 Ω ″ a temperatura ambiente, generará aproximadamente 0.9 nV/√Hz. ″. La cifra de ruido del preamplificador está limitada por lo cerca que pueda llegar a ese número.

En los circuitos de sensores, el ruido de Johnson procedente de la impedancia de salida del sensor y la impedancia de entrada del circuito de acondicionamiento de señal limitan directamente la resolución de la medición. Si intentas medir una señal de 10 mV con un sensor de impedancia de 100 kΩ ″ a temperatura ambiente, el ruido de Johnson es de aproximadamente 40,5 nV/√Hz. En un ancho de banda de 10 kHz, es decir, 1,28 μV RMS, aproximadamente el 0,01% de la señal. Probablemente esté bien. Pero si tu ancho de banda es de 1 MHz, el ruido sube a 12,8 μV, ″ y pierdes la precisión con una cifra decimal.

En las aplicaciones ADC, el ruido de Johnson de la red de entrada puede degradar la SNR. La Calculadora ADC SNR y ENOBle permite tener en cuenta el ruido de Johnson junto con el ruido de cuantificación para ver la SNR real de su sistema de adquisición de datos.

Cuándo preocuparse, cuándo ignorar

Si su señal está en el rango de milivoltios o más, y sus impedancias están por debajo de 1 kΩ, el ruido de Johnson probablemente no sea su mayor problema. Es más probable que el ruido del amplificador operacional, el ruido digital o la EMI de su circuito predominen.

Si su señal está en el rango de microvoltios, sus impedancias son muy altas (megaohmios) o su ancho de banda es muy amplio, el ruido de Johnson se convierte en una verdadera limitación. Ahí es cuando necesita optimizar: impedancias más bajas, ancho de banda más estrecho, amplificadores operacionales con menos ruido o, a veces, refrigeración criogénica.

Pruébalo

Tome la topología de su circuito, tome los valores de sus componentes y conéctelos a la Calculadora de ruido térmico Johnson-Nyquist. Introduce tu resistencia, temperatura y ancho de banda. Comprueba a qué voltaje de ruido te enfrentas realmente. Luego compáralo con tu nivel de señal y las especificaciones de ruido de tu amplificador operacional. Ese es tu presupuesto de ruido.

El ruido de Johnson no es opcional, es físico. Pero entenderlo significa que puede diseñar en torno a él, tenerlo en cuenta en sus especificaciones y evitar sorpresas desagradables en el laboratorio.