L'erreur de 180° : pourquoi arctan (b/a) inverse votre impédance

Deux chiffres, même ratio

Prenez les $3 + j4$ et les $-3 - j4$. Ils pointent dans des directions opposées dans le plan complexe. Calculez maintenant le ratio $ b/a$pour chacun :

• 4/3 = 1,333
• (−4)/(−3) = 1,333

Identique. Chaque information permettant de distinguer ces deux vecteurs a été détruite par la division, car les deux signes moins ont été annulés.

Donc,$\arctan(b/a)$ renvoie $53.13°$ pour les deux. L'une de ces réponses est correcte et l'autre est erronée exactement au $180°$.

Ce que le formulaire à argument unique peut et ne peut pas faire $\arctan$ prend un nombre et renvoie un angle compris entre -90° et +90°. Cette plage couvre la moitié du plan, à savoir les quadrants I et IV. Il n'a aucun moyen d'atteindre les quadrants II et III, car aucune carte de ratio n'y est cartographiée.

À partir d'un point dans le quadrant II, arctan indique le miroir du quadrant IV. Si un point est indiqué dans le quadrant III, il indique le miroir du quadrant I.

Le $\operatorname{atan2}(b, a)$ prend les deux composants séparément, de sorte que les signes survivent. Il les inspecte et renvoie l'angle correct sur la plage complète de -180° à +180° :

• 3 + m4 → 53,1301°
• −3 + m4 → 126,8699°
• −3 − j4 → −126,8699°
• 3 − j4 → −53,1301°

Tous les quatre ont une magnitude de 5. Seul l'angle les distingue, et seul atan2 fait les choses correctement.

Pourquoi cela concerne spécifiquement les RF

Une impédance est de $Z = R + jX$. Sous forme polaire, c'est $|Z|\angle\theta$, et le signe $\theta$ a toute la signification physique :

-$\theta > 0$: inductif -$\theta < 0$: capacitif -$\theta = 0$: résistif

Si vous vous trompez de quadrant, une charge inductive sera lue comme capacitive. Un réseau correspondant conçu à partir de cette lecture ajoute le mauvais élément : une inductance en série là où la charge était déjà trop importante, ou une capacité de shunt où la charge avait besoin de l'inverse. La correspondance s'aggrave, et elle s'aggrave d'une manière qui ressemble à un problème de tolérance des composants plutôt qu'à une erreur de signe.

Pour une charge passive avec $R > 0$, le point se trouve dans le quadrant I ou IV, où l'arctan est correct. C'est pourquoi le bogue survit si longtemps : des impédances passives le masquent. Il apparaît au moment où vous gérez un coefficient de réflexion, où la partie réelle est régulièrement négative, ou un appareil actif avec une résistance négative, ou une mesure désintégrée qui a dépassé l'axe imaginaire.

La question de la convention

atan2 renvoie −180° à +180°. De nombreux instruments et lecteurs de fichiers présentent plutôt de 0° à 360°. Les deux angles sont identiques ; les résultats négatifs diffèrent exactement de $360°$.

Cela devient un réel problème lorsque vous comparez ou faites la moyenne. La moyenne de 179° et −179° est de 0° en arithmétique et de 180° en réalité. Tout calcul de moyenne, interpolation ou ajustement de courbe sur le point d'enroulement nécessite d'abord que la phase soit dévoilée, une étape qui est constamment ignorée lors du post-traitement des mesures.

La convention que vous utilisez est un choix. Ne pas savoir dans lequel se trouvent vos données ne l'est pas.

Formats Touchstone

Les fichiers de paramètres S stockent les mêmes nombres complexes de trois manières, déclarées sur la ligne d'option :

• MA — amplitude et angle en degrés
• DB — amplitude en dB et angle en degrés
• RI — parties réelles et imaginaires

RI n'a besoin d'aucune conversion. MA et DB ont besoin du pas polaire à rectangulaire avant toute arithmétique qui n'est pas une pure multiplication. La lecture d'un fichier de base de données comme s'il s'agissait de MA donne des grandeurs erronées d'un logarithme, une erreur qui produit des tracés d'apparence plausible mais totalement erronés.

Des habitudes qui valent la peine

Utilisez toujours atan2. Il n'y a aucun cas où la forme à argument unique est plus sûre et cela ne coûte rien. Aller-retour pour tout ce qui est suspect. Convertissez en polaire, convertissez directement en arrière, comparez avec l'original. Une erreur de quadrant apparaît immédiatement sous la forme d'un retournement de signe ; une erreur d'unité apparaît sous forme de facteur d'échelle. Lisez le signe d'angle avant l'amplitude lorsque vous regardez une impédance. Il vous indique la direction dans laquelle vous devez vous déplacer avant toute arithmétique. Maintenez une précision totale en cascades. Arrondir 53,13010235° à 53,1° semble inoffensif et se traduit par une erreur de magnitude visible après quelques multiplications en chaîne. Traitez une amplitude négative comme une erreur et non comme un résultat. Une amplitude de −r décrit le même vecteur que +r pivoté de 180°, et les outils en aval qui supposent une amplitude non négative l'interpréteront mal.

Le convertisseur rectangulaire/polaire parcourt les deux directions à la fois avec atan2 et indique l'angle en radians, en $\pm 180°$, et en $0$ à $360°$ afin que vous n'ayez jamais à ajouter ou à soustraire 360 à la main.