Calculateur Smith Chart

Diagramme de Smith interactif avec adaptation d'impédance, cercles VSWR et cercles de stabilité. Calculez les transformations d'impédance et l'adaptation d'antenne directement dans le navigateur. Gratuit, sans installation.

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Formule

\Gamma = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}, \quad \text{VSWR} = \frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}

Référence: Pozar, Microwave Engineering 4th Ed., Chapter 2

Γ— Coefficient de réflexion complexe

Z— Impédance de charge R + jX (Ω)

Z₀— Impédance de référence (caractéristique) (Ω)

|Γ|— Ampleur du coefficient de réflexion (0 = correspondant, 1 = réflexion totale)

VSWR— Rapport d'ondes stationnaires de tension = (1+|Γ|)/(1−|Γ|) (:1)

RL— Perte de retour = −20 log₁₀|Γ| (dB)

Comment ça marche

Le calculateur Smith Chart convertit l'impédance, l'admittance et le coefficient de réflexion lors du calcul du VSWR et de la perte de retour. Les ingénieurs RF utilisent cet outil graphique pour concevoir des réseaux correspondants et analyser les lignes de transmission. Inventé par Phillip H. Smith aux Bell Labs en 1939 (P.H. Smith, « Transmission Line Calculator », Electronics, janvier 1939), il permet de visualiser simultanément une impédance et un coefficient de réflexion complexes sur un seul diagramme normalisé, ce qui le rend indispensable pour l'analyse des lignes de transmission, l'adaptation d'impédance et la conception d'amplificateurs RF. Les fondements mathématiques sont développés dans « Microwave Engineering » de Pozar (4e éd.) Le chapitre 2 (Théorie des lignes de transmission) et le chapitre 5 (Adaptation et réglage de l'impédance), qui restent la principale référence académique pour l'utilisation de Smith Chart conformément aux directives du programme de l'IEEE.

Le graphique est tracé dans le plan du coefficient de réflexion complexe (Γ) où l'axe horizontal représente la partie réelle du Γ et l'axe vertical représente la partie imaginaire. Le cercle limite extérieur a un rayon de |Γ| = 1, représentant la réflexion totale (circuit ouvert, court-circuit ou charges purement réactives). Le centre du graphique correspond au Γ = 0, la condition d'adaptation parfaite de l'impédance.

Deux familles de cercles orthogonaux sont superposées au Γ-plane 4 :

Cercles à résistance constante : chaque cercle de cette famille représente toutes les impédances ayant la même résistance normalisée r = R/Z₀. Le centre du cercle pour r est situé à (r/ (r+1), 0) dans le Γ-plane 6 et le rayon 1/ (r+1). Tous les cercles sont tangents au bord droit du graphique ( (Γ = +1, circuit ouvert). Le cercle r = 1 passe par le centre du graphique.
Arcs à réactance constante : chaque arc représente toutes les impédances ayant la même réactance normalisée x = X/Z₀. Le centre de l'arc pour x est situé à (1, 1/x) dans le Γ-plane 9 et son rayon |1/x|. Les arcs de la moitié supérieure du graphique correspondent à une réactance inductive (positive) ; les arcs de la moitié inférieure correspondent à une réactance capacitive (négative).

Pour utiliser le graphique, normalisez l'impédance de charge : z = Z/Z₀ = r + jx. Localisez le point à l'intersection du cercle R et de l'arc X pour trouver Γ graphiquement. La magnitude |Γ| est égale à la distance entre le centre de la carte et ce point, et le VSWR est égal à (1) + |Γ|)/(1 − |Γ|). Le fait de voyager le long d'une ligne de transmission sans perte déplace le point d'impédance le long d'un cercle constant-|Γ| (VSWR constant), dans le sens des aiguilles d'une montre en direction du générateur, effectuant un tour complet par demi-longueur d'onde.

Exemple Résolu

Problème : Trouvez le coefficient de réflexion, VSWR, et la perte de retour pour une charge Z = 25 + j30 Ω 0 connectée à une ligne de transmission 50 Ω . Suggérez une simple correspondance d'impédance du réseau L.

Étape 1 — Normaliser l'impédance : z = Z/Z₀ = (25 + j30) /50 = 0,5 + j0,6

Step 2 — Compute the reflection coefficient: Γ = (z − 1)/(z + 1) Numerator: (0.5 − 1) + j0.6 = −0.5 + j0.6 Denominator: (0.5 + 1) + j0.6 = 1.5 + j0.6 |Denominator|² = 1.5² + 0.6² = 2.25 + 0.36 = 2.61 Γ_real = (−0.5×1.5 + 0.6×0.6)/2.61 = (−0.75 + 0.36)/2.61 = −0.39/2.61 ≈ −0.1494 Γ_imag = (0.6×1.5 − (−0.5)×0.6)/2.61 = (0.9 + 0.3)/2.61 = 1.2/2.61 ≈ 0.4598 |Γ| = √(0.1494² + 0.4598²) ≈ √(0.02232 + 0.21142) ≈ √0.23374 ≈ 0.4835

Étape 3 — VSWR : VSWR = (1 + 0,4835)/(1 − 0,4835) = 1,4835/0,5165 ≈ 2,87:1

Étape 4 — Perte liée au retour : RL = −20 log₁₀(0.4835) ≈ −20 × (−0,3156) ≈ 6,31 dB Cela indique une correspondance modérément médiocre : environ 23 % de la puissance est réfléchie.

Étape 5 — Perte par discordance : ML = −10 log₁₀(1 − 0.4835²) = −10 log₁₀(1 − 0,2338) = −10 log₁₀(0.7662) ≈ 1.16 dB

Étape 6 — Stratégie d'appariement du réseau L : La charge z = 0,5 + j0,6 se trouve à l'intérieur du cercle r = 1. Stratégie A (shunt-C puis série-L) : Tout d'abord, ajoutez un condensateur shunt pour annuler la réactance inductive et ramener z à 0,5 + j0. À 1 GHz, C_shunt ≈ (0,6 × 50) / (2π × 1e9 × 50²) — utilisez le diagramme de Smith pour lire la susceptance exacte. Ajoutez ensuite un inducteur en série pour passer de z = 0,5 à z = 1 (le cercle r = 1 coupe l'axe réel uniquement à z=1). Vous pouvez également utiliser un transformateur quart d'onde avec Z_transformer = √(50 × 25) = 35,4 Ω pour la partie résistive uniquement (après annulation de la réactance).

Conseils Pratiques

✓Utilisez le cercle VSWR pour faire correspondre la conception du réseau : tracez le cercle en passant par votre point de charge et identifiez l'endroit où il croise le cercle r = 1. Ce point de croisement vous indique exactement la réactance de série à ajouter pour obtenir une correspondance parfaite.
✓Conception du transformateur quart d'onde : si votre charge normalisée est purement résistive (r ≠ 1, x = 0), le point d'impédance se situe sur l'axe réel. Un transformateur quart d'onde d'impédance Z_T = √(Z₀ × R_load) le fait pivoter exactement de 180° pour atteindre le centre correspondant.
✓Lisez l'admittance à partir du même graphique : faites pivoter n'importe quel point d'impédance de 180° autour du centre de la carte pour obtenir l'admittance normalisée y = 1/z. Cela vous permet de gérer les éléments de shunt sans effectuer de conversion manuelle.
✓Combinez les mouvements en série et en shunt pour les réseaux L : les éléments de la série se déplacent le long de cercles à r constant ; les éléments de shunt se déplacent le long de cercles à g constant (conductance). Une trace du réseau L sur la carte de Smith montre deux segments d'arc perpendiculaires se rencontrant au centre.
✓Vérifiez la stabilité des amplificateurs à transistors : tracez les cercles de stabilité d'entrée et de sortie sur le graphique de Smith pour identifier la région des impédances source/charge qui maintient la stabilité inconditionnelle de l'amplificateur.
✓Utilisez le graphique pour vérifier l'étalonnage de la VNA : un raccourci ( (Γ = −1), une ouverture ( (Γ = +1) et une charge ( (Γ = 0) connus doivent se situer exactement au bord gauche, au bord droit et au centre du graphique de Smith, respectivement. Les écarts indiquent une erreur d'étalonnage.

Erreurs Fréquentes

✗Oublier de normaliser : le diagramme de Smith ne fonctionne qu'avec une impédance normalisée z = Z/Z₀. Le traçage direct des valeurs ohmiques brutes produit des résultats incorrects. Divisez toujours R et X par Z₀ avant de localiser le point.
✗Confondre moitiés inductive et capacitive : la moitié supérieure du diagramme de Smith (axe imaginaire positif) représente la réactance inductive (positive). La moitié inférieure représente la réactance capacitive (négative). C'est le contraire de certaines conventions classiques relatives aux phaseurs qui tracent les charges inductives en dessous de l'axe.
✗Utilisation d'une impédance de référence incorrecte : si votre système est à 75 Ω (télévision par câble) mais que vous normalisez à 50 Ω, chaque point sera mal localisé. Utilisez toujours l'impédance caractéristique du système Z₀ comme valeur de normalisation.
✗Ignorer la dépendance à la fréquence : un point du graphique de Smith n'est valide qu'à une seule fréquence. L'impédance dépend de la fréquence, de sorte qu'une condition adaptée à 2,4 GHz peut être mal adaptée à 5 GHz. Balayez toujours la fréquence à l'aide d'un VNA pour la caractériser sur une bande.
✗Traiter le mouvement du cercle VSWR comme une distance linéaire : Le déplacement le long du cercle VSWR correspond à la longueur électrique et non à la longueur physique. Un tour complet = λ/2 longueur électrique. La longueur physique dépend du facteur de vitesse du support de la ligne de transmission.
✗Confondre l'admittance et l'impédance de la carte de Smith : la carte de Smith peut être utilisée pour l'admittance (Y = 1/Z) en faisant pivoter la carte de 180°. Les éléments de shunt se déplacent le long de cercles à conductance constante et non de cercles à résistance constante. La combinaison des deux conventions conduit à des conceptions correspondantes incorrectes.

Foire Aux Questions

Que représente le centre du graphique de Smith ?

Le centre du diagramme de Smith correspond à Γ = 0, ce qui signifie qu'il n'y a pas d'onde réfléchie et que l'impédance de charge est égale à l'impédance de référence Z₀. Il s'agit de la condition d'une adaptation parfaite de l'impédance. Pour un système 50 Ω , le centre représente Z = 50 + j0 Ω.

Pourquoi une ligne de transmission sans perte trace-t-elle un cercle sur le graphique de Smith ?

Une ligne de transmission sans perte transforme l'impédance comme suit : Z_in = Z₀ × (Z_L + jZ₀tan(βl)) / (Z₀ + jZ_Ltan(βl)). Dans le Γ-plane, cette transformation est une rotation autour de l'origine d'un angle −2βl. Puisque la rotation à rayon constant est un cercle, toute ligne sans perte trace un cercle constant-|Γ| (VSWR constant). Un cercle complet correspond à λ/2 de longueur électrique.

Comment faire correspondre une charge inductive à l'aide du diagramme de Smith ?

Tracez l'impédance de charge normalisée z = r + jx sur le graphique. Si x > 0 (inductif), vous pouvez : (1) ajouter un condensateur en série pour se déplacer dans le sens antihoraire le long du cercle constant r jusqu'à atteindre l'axe réel, puis utiliser un transformateur quart d'onde ; ou (2) utiliser l'approche du réseau L en ajoutant d'abord un élément shunt pour atteindre le cercle r = 1, puis en ajoutant un élément en série pour atteindre le centre. Les valeurs exactes des éléments sont lues à partir des échelles de réactance et de susceptance du graphique.

Quelle est la différence entre une perte de retour et une perte par discordance ?

La perte de retour (RL = −20 log|Γ| dB) mesure la puissance réfléchie vers la source par rapport à la puissance incidente. Un nombre plus élevé signifie moins de réflexion (une perte de retour de 20 dB correspond à 1 % de puissance réfléchie). La perte de décalage (ML = −10 log(1−|Γ|²) dB) mesure la puissance qui n'atteint pas la charge. Elle est égale à la perte d'insertion causée par le seul décalage d'impédance. À VSWR 2:1, la perte de retour est de 9,54 dB mais la perte de discordance n'est que de 0,51 dB, ce qui signifie que 89 % de la puissance atteint toujours la charge.

Quand dois-je utiliser un graphique de Smith au lieu de simplement calculer Γ numériquement ?

Les diagrammes de Smith sont particulièrement utiles lors de la conception de réseaux d'adaptation multi-éléments, de l'analyse des transformations des lignes de transmission ou de l'optimisation simultanée du bruit et du gain sur des amplificateurs à transistors. La nature graphique vous permet de voir les compromis de manière intuitive : par exemple, dans quelle mesure un talon doit déplacer une impédance vers le point de correspondance, ou si une légère variation de la valeur d'un composant améliore significativement la correspondance. Pour les calculs simples à fréquence unique, le calcul numérique est plus rapide ; en termes de compréhension de la conception et d'itération, le diagramme de Smith est inégalé.

Comment utiliser une carte de Smith pour faire correspondre une antenne 25 Ω à 50 Ω?

Normalisez l'impédance de l'antenne : Z_norm = 25/50 = 0,5 + j0. Tracez ce point sur le graphique de Smith. Il se trouve sur l'axe réel à 0,5. Pour correspondre au centre (1 + j0), déplacez-vous le long d'un cercle à résistance constante ou à conductance constante en ajoutant des éléments en série ou en shunt. L'ajout d'un inducteur shunt vous déplace dans le sens des aiguilles d'une montre le long du cercle de conductance vers le centre. Vous pouvez également utiliser un réseau L : le calculateur synthétisera les valeurs exactes des composants. Le diagramme de Smith permet de visualiser l'espace des solutions. L'outil interactif de ce site vous permet de faire glisser le point d'impédance pendant que les composants sont mis à jour en temps réel.

Qu'est-ce que cela signifie lorsqu'une impédance se situe dans la moitié capacitive ou inductive du diagramme de Smith ?

Le graphique de Smith possède un axe réel horizontal. Les points situés au-dessus de l'axe réel ont des parties imaginaires positives : impédance inductive (plus de réactance des inducteurs). Les points ci-dessous ont des parties imaginaires négatives : la réactance capacitive. Le cercle extérieur représente un VSWR infini (circuit ouvert ou court-circuit). Mouvement dans le sens des aiguilles d'une montre = ajout d'un inducteur en série ou d'un condensateur shunt ; dans le sens antihoraire = ajout d'un condensateur en série ou d'un inducteur shunt. La rotation de la ligne de transmission déplace les points dans le sens des aiguilles d'une montre (vers le générateur) ou dans le sens antihoraire (vers la charge) le long de constant-|Γ| cercles.

Méthodologie et références

Références

Transmission Line Calculator — Phillip H. Smith, Electronics 12(1), pp. 29–31 (1939)
Microwave Engineering, 4th ed. — David M. Pozar (2011), Chapter 2.4 — The Smith Chart
Electronic Applications of the Smith Chart, 2nd ed. — Phillip H. Smith (1995)

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