スミスチャートのインピーダンスマッチング:ステップバイステップの L ネットワーク設計

マッチングにスミスチャートを使用する理由

インピーダンスマッチングの問題はすべて1つのタスクに要約されます。負荷インピーダンスをスミスチャート (Z₀, 中心に移動する (Z₀, 通常は50 Ω). ネットワークアナライザとシミュレーションツールはこれを数値的に行うことができますが、スミスチャートはソフトウェアではできないこと、つまりどの要素を追加すべきか、そしてなぜそれが機能するかについての幾何学的な直感です。

このチャートは、次の 2 つの事実を視覚的に示しています。

• 直列要素を追加すると、一定の抵抗の円に沿って移動します
• シャント素子を追加すると、一定コンダクタンスの円に沿って移動します

これら 2 つのルールを一度理解すれば、シミュレータに値を入力するよりも速く一致するネットワークを紙にスケッチできます。

2 つの基本的な動き

系列要素:定数 R 円

直列インダクタは正のリアクタンス (+jX) を加え、インピーダンスが置かれる抵抗円に沿って時計回りに移動します。直列コンデンサは反時計回りに移動して負のリアクタンス (-jX) を加えます。

重要な洞察：直列素子はインピーダンスの実数部を変えることはできない*ということです。負荷が R=25Ω の円上にある場合、直列要素はその円上に留まり、位置を回転させるだけです。

シャント素子:定数G円

アドミタンスチャート (同じチャート、180°回転) に切り替えます。シャントコンデンサは、一定のコンダクタンスの円の周りを時計回りに移動して正のサセプタンス (+jB) を加算します。シャントインダクタは反時計回りに移動して負のサセプタンス (-jB) を加えます。

重要な洞察：シャント素子はアドミタンスの実数部を変えることはできません。調整するのは虚数部のみです。

L-ネットワークマッチング:ビルディングブロック

Lネットワークは最も単純なマッチングトポロジで、L字型の2つのリアクティブ要素で構成されています。任意のインピーダンスを1回のステップで Z₀ に一致させることができますが、帯域幅を制御することはできません (Tネットワークや π ネットワークとは異なります)。

Lネットワーク構成は8種類 (シリーズ-L/シャント-C、シリーズ-C/シャント-Lなど) が可能ですが、スミスチャートを見れば、ルールを覚えなくてもどれがうまくいくかがわかります。

1. 正規化された負荷インピーダンスをプロットする z_L = Z_L / Z₀
2. z_L がユニティ・コンダクタンス・サークタンス円 (g=1) の内側か外側かを調べる
3. 内部の場合：最初にシャントを使用し、次に直列を使用します
4. 外側の場合：最初に直列を使用し、次にシャントを使用してください

実際に動作した例 1:1 GHz で 25-j15 Ω と 50 Ω のマッチング

z_L = (25-j15)/50 = 0.5-j0.3

これをスミスチャートにプロットしてください。実軸 (容量性負荷) の下、R=0.5 の円の上にあります。

点0.5-j0.3はアドミタンスチャートのg=1の円の内側にあります。ストラテジー：最初に直列要素を追加してg=1の円に到達し、次にシャント要素を追加して中心に到達させます。

0.5 ～ j0.3 から、G=1 の円に当たるまで、R=0.5 の円に沿って時計回り (+jX を加算) に動かします。これは z = 0.5 + j0.5 のときに起こります。

リアクタンスの追加: Δx = 0.5 - (-0.3) = +0.8 (正規化)

デノーマライズ: X_L = 0.8 × 50 = 40 Ω

1 GHz で:L = X_L / (2π × 10⁹) = 40 / (6.28 × 10⁹) = 6.37 nH)

z = 0.5 + j0.5 をアドミタンスに変換:y = 1/ (0.5 + j0.5) = 1-j1

y = 1 + j0 (中央) に達する必要があります。シャント・サセプタンスを追加: Δb = +1.0

デノーマライズ: B_C = 1.0 / 50 = 0.02 S

1 GHz で:C = B_C / (2π × 10⁹) = 0.02 / (6.28 × 10⁹) = 3.18 pF)

実際に動作した例 2:150 + j80 Ω と 50 Ωのマッチング

z_L = (150 + j80)/50 = 3.0 + j1.6

この点は中心から遠く、高インピーダンス、誘導性です。

点 3.0 + j1.6 は g=1 の円の外側にあります。ストラテジー:最初に素子をシャントして R=1 の円に到達させ、次に素子を直列に中心に直列に配置します。

アドミタンスに変換: y_L = 1/ (3.0 + j1.6) = 0.263-j0.140

シャント +jB (コンデンサ) を追加して、対応するインピーダンスが R=1 の円に達するまで g=0.263 の円に沿って移動します。ターゲット:y = 0.263 + j0.296。これにより z = 1.0-j1.13 が得られます。

Δb = 0.296 - (-0.140) = +0.436

B_C = 0.436 / 50 = 8.72 mS → 1 GHz で C = 1.39 pF

z = 1.0 から j1.13 までの範囲で、直列 +jX を加算して 1.0 + j0 になるようにします。

Δx = +1.13 → X_L = 56.5 Ω → L = 8.99 nH (1 GHz)

帯域幅に関する考慮事項

L-ネットワークには独立した帯域幅制御はありません。マッチの Q は次の式で決まります。

150の場合 → 50 Ω: Q = √(150/50 - 1) = √2 ≈ 1.41

これにより、約 70% の端数帯域幅が得られます (ほとんどの狭帯域アプリケーションで使用可能)。帯域幅を広げるには、マルチセクション・マッチング (中間のインピーダンスを介して2つ以上のLネットワークをカスケード接続) を使用するか、トランスを使用することを検討してください。

スミスチャートの一般的なマッチングパターン

チャートからサーキットへ:実践的なヒント

1. 必ず帯域の端をチェックしてください — S11を f_low, f_center, f_high にプロットして、帯域幅全体で許容範囲内の一致を確認します
2. 寄生要素を考慮に入れる — 2 GHzの6 nHインダクタのSRFは約5～8 GHzです。マッチング周波数が SRF をはるかに下回っていることを確認してください
3. rftools.io スミスチャート計算機を使用して手計算を確認してください。R と X の値を入力し、 Γ, VSWR とリターンロスを直接読み込んでください。
4. 製造用: スミスチャートで設計した後、ベンダー (Murata、TDK、Coilcraft) の実際のコンポーネントSパラメータモデルを使用してSPICEでシミュレートします
5. マルチセクションマッチング: 2つのLネットワークを中間インピーダンス R_mid = √(R_source × R_load) でカスケード接続すると、帯域幅が約2倍になります

L ネットワークでは不十分な場合

インピーダンス比とは無関係に帯域幅を制御する必要がある場合は、次の手順を実行してください。

• Tネットワークまたは π-network — 3つの要素、Q選択の自由度が1つ増える
• 伝送線路スタブ — マイクロ波周波数では、スタブマッチングにより一括素子損失が回避されます
• 分散マッチング — 1/4波トランス、広帯域用のテーパーライン

スミスチャートはこれらすべてを処理します。定数 R 円と定数 G 円の原理はトポロジーに関係なく適用されます。Lネットワークから始めて直感を身につけ、次に多要素設計へと進んでください。

重要なポイント

• 直列要素は定数 R の円に沿って移動し、シャント要素は定数 G の円に沿って移動します
• 負荷をプロットし、g=1の円の内側と外側を特定すると、トポロジーが自動的に選択されます
• L = Q_match × R_low / ω と C = 1/(Q_match × ω × R_low) による素早いコンポーネント推定が可能
• PCB レイアウトに取り掛かる前に rftools.io スミスチャート計算ツールで検証してください
• 帯域幅を広げるには、L字断面を中間のインピーダンスレベルまでカスケード接続してください