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方向性結合器計算ツール — 結合線路の偶モード・奇モードインピーダンス

1段の1/4波長結合線路形方向性結合器を設計します。必要な結合度に対する偶モード・奇モードインピーダンス、結合長、通過経路の損失、アイソレーションを求め、1段のエッジ結合では結合が密すぎる場合は警告します。

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公式

c=10−C/20,Z0e=Z01+c1−c,Z0o=Z01−c1+c,L=−10log⁡10(1−c2),I=C+Dc = 10^{-C/20},\quad Z_{0e} = Z_0\sqrt{\frac{1+c}{1-c}},\quad Z_{0o} = Z_0\sqrt{\frac{1-c}{1+c}},\quad L = -10\log_{10}\left(1-c^2\right),\quad I = C + D

参考: Pozar, Microwave Engineering, 4th ed. (2012), §7.1, Eqs. (7.20)–(7.21), and §7.6, Eqs. (7.85)–(7.87)

C— 結合度 (dB)
c— 中心周波数での電圧結合係数
Z_0— システムインピーダンス (Ω)
Z_{0e}, Z_{0o}— 偶モード・奇モードの特性インピーダンス (Ω)
L— 結合して取り出された電力による通過経路の損失 (dB)
D, I— 方向性とアイソレーション (dB)

仕組み

結合線路方向性結合器は、長さ1/4波長の2本の平行線路を、一方の線路上の波の一部が他方に現れるほど近づけて配置したものです。ポート1に入った波は通過ポートであるポート2へ進み、その一部は、入力と同じ端にある結合ポートのポート3へ逆方向に結合します。理想的には、アイソレーションポートであるポート4には何も届きません。線路間の結合の強さは、この線路対の2つの特性インピーダンスで表されます。両方の線路を同相で駆動したときの偶モードインピーダンス Z0eZ_{0e} と、逆相で駆動したときの奇モードインピーダンス Z0oZ_{0o} です。

設計式

結合度を CC dBとすると、中心周波数での電圧結合係数は c=10−C/20c = 10^{-C/20} です。Z0eZ0o=Z02Z_{0e}Z_{0o} = Z_0^2 のとき、結合器はすべてのポートで整合し、完全なアイソレーションが得られます。この条件から次式が得られます（Pozar『Microwave Engineering』第4版、式7.87a、7.87b）：

Z0e=Z01+c1−c,Z0o=Z01−c1+cZ_{0e} = Z_0\sqrt{\frac{1+c}{1-c}}, \qquad Z_{0o} = Z_0\sqrt{\frac{1-c}{1+c}}

50 Ωの20 dB結合器には Z0e=55.28Z_{0e} = 55.28 Ωと Z0o=45.23Z_{0o} = 45.23 Ωが必要です（Pozarの例題7.7）。結合部の長さは中心周波数で1/4波長とし、この周波数で結合度が最大になります：

ℓ=c04f0εeff\ell = \frac{c_0}{4 f_0\sqrt{\varepsilon_{eff}}}

通過経路では結合して取り出された分の電力が失われ、その損失は L=−10log⁡10(1−c2)L = -10\log_{10}(1 - c^2) dBです。アイソレーションは結合度と方向性の和で、I=C+DI = C + D です。

モード速度の一致

この設計は偶モードと奇モードが同じ速度で伝搬することを前提としており、これはストリップ線路などの均質なTEM構造では成り立ちます。マイクロストリップ線路では、偶モードのほうが奇モードより多くの電界を基板内に保つため伝搬が遅くなり、2つのモードの電気長が異なって方向性が劣化します。誘電体オーバーレイ、補償用コンデンサ、またはストリップ線路構造にすることで方向性を回復できます。

適用範囲

この計算ツールは、モード速度が等しい無損失の1/4波長セクション1段を設計するため、結合度が厳密に成り立つのは中心周波数だけです。密な結合を得るには線路どうしを非常に近づける必要があります。Pozarによると、エッジ結合のセクション1段では結合が弱すぎて3 dBや6 dBには届かず、その場合は代わりにランゲカプラやブロードサイド結合線路対が使われます。入力した限界値（既定値は8 dB）より密な結合は、警告付きで表示されます。

計算例

問題: 2.45 GHzの送信機の出力をサンプリングするため、10 dBの方向性結合器が必要です。結合器は εr = 3.0 の基板上に50 Ωのストリップ線路で構成します。レイアウトで得られる方向性は25 dBと見込まれます。

ステップ1 - 結合係数: c = 10^(−10/20) = 0.3162

ステップ2 - モードインピーダンス（Pozarの式7.87a、7.87b）: Z₀e = 50 × √(1.3162 / 0.6838) = 69.37 Ω Z₀o = 50 × √(0.6838 / 1.3162) = 36.04 Ω 確認: 69.37 × 36.04 = 2500 = 50²

ステップ3 - 通過経路の損失: c² = 0.1 なので、L = −10 log₁₀(1 − 0.1) = 0.46 dB

ステップ4 - アイソレーション: I = 10 + 25 = 35 dB

ステップ5 - 結合部の長さ: ℓ = 299792458 / (4 × 2.45e9 × √3.0) = 17.66 mm

サンプリングするポートには電力の10分の1が取り出され、主経路の損失は0.46 dBです。次は、積層構成で69.37 Ωと36.04 Ωになるストリップ幅とギャップを求めます。代わりに6 dBを指定すると、結合器には86.74 Ωと28.82 Ωが必要になり、計算ツールは、エッジ結合のセクション1段で実用上到達できる8 dBより密な結合だとして警告を出します。

実践的なヒント

  • ✓偶モード・奇モードインピーダンスは、使用する積層構成に合わせたエッジ結合線路の計算ツールで、ストリップ幅とギャップに換算してください。
  • ✓3 dBの結合には、エッジ結合のセクション1段ではなく、ランゲカプラまたはブランチライン型ハイブリッドを使ってください。
  • ✓アイソレーションポートは良好な50 Ω負荷で終端してください。その整合が、実際に測定される方向性の上限を決めます。
  • ✓より広い帯域が必要な場合は、結合度を段階的に変えた複数の1/4波長セクションを縦続接続した多段結合器にします。

よくある間違い

  • ✗偶モードインピーダンスと奇モードインピーダンスを、2本の線路それぞれのインピーダンスとして扱う。これらは結合線路対全体を表すもので、駆動のしかたごとに1つずつ定まります。
  • ✗ストリップ線路用に設計した結合器をマイクロストリップ線路で製作し、同じ方向性を期待する。マイクロストリップ線路ではモード速度が等しくないため、アイソレーションポートに電力が漏れます。
  • ✗結合度を主線路の損失と混同する。10 dBの結合器は通過経路から電力の10分の1を取り出しますが、それによる通過経路の損失は10 dBではなく約0.46 dBです。
  • ✗結合信号を結合線路の遠端で探す。1/4波長の結合線路方向性結合器は後方結合型で、結合ポートは入力と同じ端にあります。

よくある質問

結合線路対の2つの基本的な励振に対する特性インピーダンスです。偶モードでは両方の線路に大きさが等しく同相の電圧が加わり、奇モードでは大きさが等しく逆極性の電圧が加わります。線路対上のどんな信号もこの2つの和で表され、結合器の結合度は2つのインピーダンスがどれだけ離れているかで決まります。
この条件により、結合器は4つのポートすべてで整合し、どの周波数でもアイソレーションポートに電力が現れなくなります。Pozarは4ポート回路の偶モード・奇モード解析からこの条件を導いており、Z0e と Z0o の設計式は、この条件と結合係数から得られます。
線路の媒質中での、中心周波数における1/4波長です。つまり、光速を「周波数の4倍に実効誘電率の平方根を掛けたもの」で割った値です。この長さで結合度が最初の最大値に達します。
結合度は、入力電力を結合ポートの電力で割った比をdBで表したものです。方向性は、結合ポートの電力をアイソレーションポートの電力で割った比で、結合器が進行波と反射波をどれだけよく分離できるかを示します。アイソレーションは、入力電力をアイソレーションポートの電力で割った比で、結合度と方向性の和に等しくなります。
50 Ω系で3 dBを得るには奇モードインピーダンスを約20.7 Ωまで下げる必要があり、そのためには2本の線路を、ギャップをエッチングできないほど近づけなければなりません。ランゲカプラは複数のフィンガーを交互に組み合わせて密な結合を得ており、ブロードサイド結合線路はストリップを2つの層に重ねて配置します。

方法論と参考文献

参考文献

  • Microwave Engineering, 4th ed. — David M. Pozar (2012), §7.1, Eqs. (7.20)–(7.21), pp. 322–323 — coupling, directivity, isolation; §7.6, Eqs. (7.81)–(7.87) and Example 7.7, pp. 351–355 — coupled-line couplers; §7.7, p. 359 — the limit of edge coupling
  • A Method of Analysis of Symmetrical Four-Port Networks — J. Reed and G. J. Wheeler, IRE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. MTT-4, pp. 246–252, October 1956 — the even- and odd-mode analysis the coupler design rests on

Reproduces Pozar's Example 7.7 (55.28 Ω and 45.23 Ω at 20 dB); the product Z₀e·Z₀o equals Z₀² for every coupling, and as the coupling weakens both impedances tend to Z₀.

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