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長方形 ↔ 極型複素数コンバーター

複素数を四角形 (a+ jb) と極形 (rθ) の間で変換します。度、ラジアン、0 ～ 360 度の折り返し角度を使用して atan2 を使用して象限補正を行います。インピーダンス、S パラメータ、フェーザ演算用。

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公式

r=a2+b2,θ=atan2⁡(b, a)a=rcos⁡θ,b=rsin⁡θr = \sqrt{a^{2} + b^{2}},\quad \theta = \operatorname{atan2}(b,\,a) \qquad a = r\cos\theta,\quad b = r\sin\theta

参考: Standard complex-plane identities; Touchstone MA/RI conventions

a— 実数部 (インピーダンスの抵抗R)
b— 虚数部 (インピーダンスのリアクタンス X)
r— マグニチュード/モジュラス
θ— 位相角/引数 (° or rad)

仕組み

電子機器のあらゆる複素量（インピーダンス、Sパラメータ、フェーザ電圧）には、同等の記述が2つあります。長方形のa+jba+jbは、複素平面内の座標によって点に名前を付けます。極形の r angle thetar\ angle\ theta は、原点からの距離と正の実軸からの角度で名前を付けます。この 2 つには同一の情報が含まれますが、どちらが必要かは操作によって異なります。コンポーネントは独立して加算されるため、長方形の場合は加算と減算が簡単です。極形式では、乗算、除算、累乗は簡単です。大きさが乗算され、角度が加算されるからです。

長方形からの変換は、$r =\ sqrt {a^2 + b^2} $ と $\ theta =\ operatorname {atan2} (b, a) $ です。マグニチュードはピタゴラスの距離だけで、議論の余地はありません。$\ theta =\ arctan (b/a) $ という単純な表現は平面の半分では間違っているため、角度はこの変換のほとんどすべての間違いが潜んでいます。1 つの引数のアークタンジェントは −90°-90° から +90°+90° までの値のみを返し、b/ab/a という比率では個々の符号が破棄されます。−3−j4-3-j4 と 3+j43 + j4 は、反対方向を向いていても同じ比率になるため、同じ答えになります。引数が 2 つある形式の atan2 は、bb と aa を別々に取り、両方の符号を調べて、−180°-180° から +180°+180° までの範囲全体にわたる真の角度を返します。

逆変換は極座標の定義です。a=r cos thetaa = r\ cos\ theta と b=r sin thetab = r\ sin\ theta となります。この関数には曖昧さはありませんが、従うべき慣習があります。つまり、マグニチュードは非負と見なされるのです。負の rr は $|r|\ angle (\ theta + 180°) $ と同じベクトルを表し、算術演算は引き続き機能しますが、ほとんどの機器やファイル形式は r ge0r\ ge 0 を想定しているため、誤って解釈してしまいます。

RF 作業では、実際的な利害関係は具体的です。極形のインピーダンス Z=R+JxZ = R + Jx は ∣Z∣ angle theta|Z|\ angle\ theta です。ここで  theta>0\ theta > 0 は誘導性を意味し、 theta<0\ theta < 0 は容量性を意味します。Touchstone MA フォーマットで保存される反射係数はマグニチュードと度で、RI フォーマットでは長方形のペアです。象限を間違えると、誘導性負荷が容量性負荷に切り替わり、一致するネットワークがまったく間違った方向に送られます。

計算例

与えられた: z=3+j4z = 3 + j4、それとは別に 5 angle53.13°5\ angle 53.13° ステップ 1: 長方形のペアからの大きさ r= sqrta2+b2= sqrt32+42= sqrt9+16= sqrt25=5r =\ sqrt {a^2 + b^2} =\ sqrt {3^2 + 4^2} =\ sqrt {9 + 16} =\ sqrt {25} = 5 ステップ 2: アングルとサタン2  theta= オペレーター名atan2(4,3)=0.9272952180016122\ theta =\ オペレーター名 {atan2} (4, 3) = 0.9272952180016122 rad

度への変換:0.9272952180016122 times frac180 pi=53.13010235415598°0.9272952180016122\ times\ frac {180} {\ pi} = 53.13010235415598°

aa と bb はどちらも正なので、点は象限 I にあり、00—360°360° 形式は同じ値、53.13010235415598°$ です。 ステップ 3: 逆方向に戻る a=r cos theta=5 times cos(53.13010235415598°)=3a = r\ cos\ theta = 5\ times\ cos (53.13010235415598°) = 3 b=r sin theta=5 times sin(53.13010235415598°)=4b = r\ sin\ theta = 5\ times\ sin (53.13010235415598°) = 4

ラウンドトリップによって元のペアが正確に復元されるため、象限の問題が疑われる場合はいつでも実行する価値があります。

ステップ 4: 象限が重要な理由

代わりに z=−3−j4z = -3-j4 を使用してください。b/a=−4/−3=1.333b/a = -4/-3 = 1.333の比率は、3+j43 + j4の比率と同じなので、$\ arctan (b/a) は両方に対しては両方に対して53.13°を返します。ベクトルが実際には象限IIIにある場合は象限Iを指します。atan2は両方の引数が負であることを確認し、を返します。ベクトルが実際には象限IIIにある場合は象限Iを指します。atan2は両方の引数が負であることを確認し、-126.86989764584402°を返します。を返します。0——360°の形式で15598°の形式で15598°。

結果: 3+j4=5 angle53.1301°3 + j4 = 5\ angle 53.1301°、3−j4=5 angle−126.8699°3-j4 = 5\ angle -126.8699° — 同じ大きさ、反対方向。

実践的なヒント

  • ✓カスケード乗算（インピーダンス変換、連鎖Sパラメータ）には極形式を使用し、任意の加法（直列インピーダンス、重ね合わせフェーザー）には長方形を使用します。適切なタイミングで変換すると、ほとんどの算術演算が削除されます
  • ✓インピーダンスの場合、最初に角度の符号を読んでください。正は誘導性、負は容量性、ゼロは純粋抵抗性です。何かを計算する前に、どちらの方向に移動すればよいかがわかります。
  • ✓Touchstone ファイルを読み込むときは、フォーマット行を確認してください。MA はマグニチュードと度、DB はマグニチュード (dB と度)、RI は長方形のペアです。DB と MA を間違えると、マグニチュードは対数では正しくありません。
  • ✓疑わしいコンバージョンをすべてラウンドトリップします。Polarに変換し、そのまま元に戻し、元のコンバージョンと比較します。象限誤差は、サインフリップとしてすぐに現れます。
  • ✓変換を連鎖させるときは、角度を完全に正確に保ってください。53.13010235 度から 53.1 に四捨五入すると、カスケード乗算を数回行っただけで 0.02% のマグニチュード誤差が生じます。

よくある間違い

  • ✗atan2 (b, a) の代わりにアークタン (b/a) を使用すると、象限IIが象限IVに、象限IIIが象限Iに折りたたまれ、180度の無音誤差が生成され、誘導性から容量性へのインピーダンスの反転という180度の無音誤差が生じます。
  • ✗度数とラジアンを同じ計算で組み合わせる — 三角関数ライブラリ関数はほとんど常にラジアンを使用するため、度単位の値は cos または sin に達する前に pi/180 を掛ける必要があります
  • ✗確認せずに角度範囲を仮定すると、atan2 は -180 ～ +180 度を返しますが、多くの VNA や Touchstone リーダーは 0 ～ 360 度を示します。この 2 つは負の角度ではちょうど 360 度の違いがあり、それらを直接比較するとスプリアスのミスマッチが生じます。
  • ✗極座標形式で負のマグニチュードを入力すると、r は非負と定義され、負の値を入力すると、下流のツールが期待する値に対して自動的にベクトルが 180 度回転します。
  • ✗ラップポイントでの角度の平均化 — 179度と-179度の平均は、算術では0度ですが、実際には180度です。平均化または補間の前にフェーズをアンラップしてください

よくある質問

arctan は b/a という比率という引数を 1 つ取り、-90 度から +90 度の間の角度しか返せません。atan2 は b と a を別々の引数として取るので、それぞれの符号を確認して -180 度から +180 度の範囲内のどこでも正しい角度を返すことができます。b/a の比率は、ある点では同じで、その反対なので、arctan はそれらを区別できず、atan2 は区別できます。
抵抗を実数部、リアクタンスを虚数部として扱います。Z = 50-m25 オームの場合、マグニチュードは平方メートル (50^2 + 25^2) = 55.90 オームで、角度はサタン2 (-25, 50) = -26.57 度です。負の角度から負荷が容量性であることがわかります。
比率に単一引数のアークタンを使用しているからです。どちらの場合も b/a = 1.333 なので、比率だけでは区別できません。正解はそれぞれ +53.13 度と -126.87 度です。等級 5 は同じ、平面では反対方向です。
インピーダンス位相など、符号に意味があるものには-180～180を使用してください。符号によって誘導性と容量性がすぐに区別されるからです。0～360の表記法を採用している機器のディスプレイやファイル形式を一致させる場合は、0～360を使用してください。この計算機は両方をレポートするので、360°を手作業で足したり引いたりする必要はありません。
極形式では、大きさが乗算され、角度が加算されます。(r1 角度 t1) × (r2 角度 t2) は (r1 r2) 角度 (t1 + t2) に等しくなります。長方形の場合は、同じ演算に 4 回の乗算と 2 回の加算を慎重に行い、注意深く符号を処理する必要があります。多数の項を掛け合わせるカスケードネットワークでは、極形式を使用するとエラーがはるかに少なくなります。
未定義 — 長さゼロのベクトルはどこにも向いていません。atan2 (0, 0) は、コードがクラッシュしないように慣例として 0 を返し、この計算機はその場合に警告を発するので、結果が実際の測定値と間違われません。

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