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방향성 결합기 계산기 — 결합 선로의 짝수 모드·홀수 모드 임피던스

단일 구간 1/4 파장 결합 선로 방향성 결합기를 설계합니다. 필요한 결합도에 대한 짝수 모드와 홀수 모드 임피던스, 결합 길이, 통과 경로 손실, 격리도를 구하고, 단일 에지 결합 구간으로 만들기에 결합이 너무 강하면 경고합니다.

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공식

c=10−C/20,Z0e=Z01+c1−c,Z0o=Z01−c1+c,L=−10log⁡10(1−c2),I=C+Dc = 10^{-C/20},\quad Z_{0e} = Z_0\sqrt{\frac{1+c}{1-c}},\quad Z_{0o} = Z_0\sqrt{\frac{1-c}{1+c}},\quad L = -10\log_{10}\left(1-c^2\right),\quad I = C + D

참고: Pozar, Microwave Engineering, 4th ed. (2012), §7.1, Eqs. (7.20)–(7.21), and §7.6, Eqs. (7.85)–(7.87)

C— 결합도 (dB)
c— 중심 주파수에서의 전압 결합 계수
Z_0— 시스템 임피던스 (Ω)
Z_{0e}, Z_{0o}— 짝수 모드 및 홀수 모드 특성 임피던스 (Ω)
L— 결합되어 빠져나간 전력에 의한 통과 경로 손실 (dB)
D, I— 지향성과 격리도 (dB)

작동 방식

결합 선로 방향성 결합기는 길이가 1/4 파장인 두 평행 선로로, 한 선로를 지나는 파동의 일부가 다른 선로에 나타날 만큼 가깝게 놓여 있습니다. 포트 1로 들어온 파동은 통과 포트인 포트 2로 지나가고, 그 일부는 입력과 같은 쪽 끝에 있는 결합 포트인 포트 3으로 역방향 결합되며, 이상적으로는 격리 포트인 포트 4에는 아무것도 도달하지 않습니다. 두 선로가 얼마나 강하게 상호 작용하는지는 선로 쌍의 두 특성 임피던스로 나타냅니다. 두 선로를 같은 위상으로 구동할 때의 짝수 모드 임피던스 Z0eZ_{0e} 와, 반대 위상으로 구동할 때의 홀수 모드 임피던스 Z0oZ_{0o} 입니다.

설계식

결합도가 CC dB일 때 중심 주파수에서의 전압 결합 계수는 c=10−C/20c = 10^{-C/20} 입니다. Z0eZ0o=Z02Z_{0e}Z_{0o} = Z_0^2 이면 결합기는 모든 포트에서 정합되고 완전히 격리되며, 이로부터 다음 식이 나옵니다(Pozar, Microwave Engineering, 제4판, 식 7.87a, 7.87b).

Z0e=Z01+c1−c,Z0o=Z01−c1+cZ_{0e} = Z_0\sqrt{\frac{1+c}{1-c}}, \qquad Z_{0o} = Z_0\sqrt{\frac{1-c}{1+c}}

50 Ω 시스템의 20 dB 결합기에는 Z0e=55.28Z_{0e} = 55.28 Ω과 Z0o=45.23Z_{0o} = 45.23 Ω이 필요합니다(Pozar의 예제 7.7). 결합 구간의 길이는 결합도가 최대가 되는 중심 주파수에서 1/4 파장입니다.

ℓ=c04f0εeff\ell = \frac{c_0}{4 f_0\sqrt{\varepsilon_{eff}}}

통과 경로는 결합되어 빠져나간 전력만큼 L=−10log⁡10(1−c2)L = -10\log_{10}(1 - c^2) dB의 손실을 겪고, 격리도는 결합도에 지향성을 더한 값 I=C+DI = C + D 입니다.

모드 속도의 일치

이 설계는 짝수 모드와 홀수 모드가 같은 속도로 진행한다고 가정하며, 이는 스트립라인을 비롯한 균질한 TEM 구조에서 성립합니다. 마이크로스트립에서는 짝수 모드가 홀수 모드보다 더 많은 전자기장을 기판 안에 두므로 더 느리게 진행하고, 두 모드가 서로 다른 전기적 길이를 겪게 되어 지향성이 나빠집니다. 유전체 오버레이, 보상 커패시터, 또는 스트립라인 구조로 제작하면 지향성을 회복할 수 있습니다.

적용 범위

이 계산기는 모드 속도가 같은 무손실 단일 1/4 파장 섹션을 설계하므로, 결합도는 중심 주파수에서만 정확합니다. 강한 결합을 얻으려면 두 선로가 매우 가까워야 합니다. Pozar는 단일 에지 결합 섹션으로는 결합이 너무 약해 3 dB나 6 dB에 도달할 수 없으며, 이때는 Lange 커플러나 브로드사이드 결합 선로 쌍을 대신 사용한다고 설명합니다. 입력한 한계(기본값 8 dB)보다 강한 결합은 경고와 함께 표시됩니다.

계산 예제

문제: 2.45 GHz 송신기의 출력을 샘플링하기 위해 10 dB 결합기가 필요하며, εr = 3.0인 기판 위에 50 Ω 스트립라인으로 제작합니다. 레이아웃에서 얻을 수 있는 지향성은 25 dB로 예상됩니다.

1단계 - 결합 계수: c = 10^(−10/20) = 0.3162

2단계 - 모드 임피던스(Pozar 식 7.87a, 7.87b): Z₀e = 50 × √(1.3162 / 0.6838) = 69.37 Ω Z₀o = 50 × √(0.6838 / 1.3162) = 36.04 Ω 검산: 69.37 × 36.04 = 2500 = 50²

3단계 - 통과 경로 손실: c² = 0.1이므로 L = −10 log₁₀(1 − 0.1) = 0.46 dB

4단계 - 격리도: I = 10 + 25 = 35 dB

5단계 - 결합 길이: ℓ = 299792458 / (4 × 2.45e9 × √3.0) = 17.66 mm

샘플링 포트는 전력의 10분의 1을 받고 주 경로는 0.46 dB를 잃습니다. 다음 단계는 스택업에서 69.37 Ω과 36.04 Ω을 만드는 스트립 폭과 간격을 찾는 것입니다. 대신 6 dB를 요구하면 결합기에 86.74 Ω과 28.82 Ω이 필요하며, 계산기는 이를 단일 에지 결합 섹션이 실제로 도달할 수 있는 8 dB보다 강한 결합으로 표시합니다.

실용적인 팁

  • ✓에지 결합 선로 계산기로 사용하는 스택업에 맞게 짝수 모드 및 홀수 모드 임피던스를 스트립 폭과 간격으로 변환하십시오.
  • ✓3 dB 결합에는 단일 에지 결합 섹션 대신 Lange 커플러나 브랜치 라인 하이브리드를 사용하십시오.
  • ✓격리 포트는 양호한 50 Ω 부하로 종단하십시오. 이 부하의 정합 상태가 실제로 측정되는 지향성을 제한합니다.
  • ✓더 넓은 대역이 필요하면 결합도를 단계적으로 바꾼 1/4 파장 섹션 여러 개를 종속 연결한 다중 섹션 결합기를 사용하십시오.

흔한 실수

  • ✗짝수 모드 및 홀수 모드 임피던스를 두 선로 각각의 임피던스로 취급하는 것. 두 값은 결합된 선로 쌍 전체를 나타내며, 쌍을 구동하는 두 방식에 하나씩 대응합니다.
  • ✗스트립라인용으로 설계한 결합기를 마이크로스트립으로 제작하고 같은 지향성을 기대하는 것. 마이크로스트립에서는 두 모드의 속도가 서로 달라 격리 포트로 전력이 새어 나갑니다.
  • ✗결합도를 주 선로의 손실과 혼동하는 것. 10 dB 결합기는 통과 경로에서 전력의 10분의 1을 가져가며, 이로 인한 손실은 10 dB가 아니라 약 0.46 dB입니다.
  • ✗결합 신호를 결합 선로의 먼 쪽 끝에서 찾는 것. 1/4 파장 결합 선로 결합기는 역방향파 결합기이므로, 결합 포트는 입력과 같은 쪽 끝에 있습니다.

자주 묻는 질문

결합 선로 쌍을 두 가지 기본 방식으로 여기했을 때의 특성 임피던스입니다. 짝수 모드에서는 두 선로에 크기와 위상이 같은 전압이 실리고, 홀수 모드에서는 크기가 같고 방향이 반대인 전압이 실립니다. 선로 쌍 위의 모든 신호는 이 두 모드의 합이며, 결합기의 결합도는 두 임피던스가 얼마나 차이 나는지로 정해집니다.
이 조건을 만족하면 결합기가 네 포트 모두에서 정합되고, 어떤 주파수에서도 격리 포트로 전력이 가지 않습니다. Pozar는 4포트 회로의 짝수 모드 및 홀수 모드 해석으로 이 조건을 유도하며, Z0e와 Z0o의 설계식은 이 조건과 결합 계수로부터 나옵니다.
선로 매질에서 중심 주파수의 1/4 파장입니다. 즉, 빛의 속도를 주파수의 4배에 유효 유전율의 제곱근을 곱한 값으로 나눈 길이입니다. 이 길이에서 결합도가 처음으로 최대가 됩니다.
결합도는 입력 전력을 결합 포트 전력으로 나눈 비를 dB로 나타낸 것입니다. 지향성은 결합 포트 전력을 격리 포트 전력으로 나눈 비로, 결합기가 진행파와 반사파를 얼마나 잘 분리하는지를 나타냅니다. 격리도는 입력 전력을 격리 포트 전력으로 나눈 비이며, 결합도와 지향성의 합과 같습니다.
50 Ω 시스템에서 3 dB 결합을 얻으려면 홀수 모드 임피던스가 약 20.7 Ω까지 내려가야 하는데, 그러려면 두 선로가 너무 가까워져 간격을 에칭할 수 없습니다. Lange 커플러는 여러 개의 핑거를 서로 엇갈려 배치해 강한 결합을 얻고, 브로드사이드 결합 선로는 두 층에 스트립을 겹쳐 쌓습니다.

방법론 및 참고문헌

참고문헌

  • Microwave Engineering, 4th ed. — David M. Pozar (2012), §7.1, Eqs. (7.20)–(7.21), pp. 322–323 — coupling, directivity, isolation; §7.6, Eqs. (7.81)–(7.87) and Example 7.7, pp. 351–355 — coupled-line couplers; §7.7, p. 359 — the limit of edge coupling
  • A Method of Analysis of Symmetrical Four-Port Networks — J. Reed and G. J. Wheeler, IRE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. MTT-4, pp. 246–252, October 1956 — the even- and odd-mode analysis the coupler design rests on

Reproduces Pozar's Example 7.7 (55.28 Ω and 45.23 Ω at 20 dB); the product Z₀e·Z₀o equals Z₀² for every coupling, and as the coupling weakens both impedances tend to Z₀.

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