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직사각형 ↔ 극좌표 복소수 변환기

복소수를 사각형 (a + jb) 과 극좌표 (rθ) 형식으로 변환합니다.atan2를 통해 도, 라디안, 0~360° 래핑 각도를 사용하여 사분점을 수정합니다.임피던스, S-파라미터 및 페이저 연산용.

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공식

r=a2+b2,θ=atan2⁡(b, a)a=rcos⁡θ,b=rsin⁡θr = \sqrt{a^{2} + b^{2}},\quad \theta = \operatorname{atan2}(b,\,a) \qquad a = r\cos\theta,\quad b = r\sin\theta

참고: Standard complex-plane identities; Touchstone MA/RI conventions

a— 실제 부품 (임피던스에 대한 저항 R)
b— 허수부 (임피던스의 리액턴스 X)
r— 크기/ 탄성률
θ— 위상각/인수 (° or rad)

작동 방식

전자 장치의 모든 복잡한 양 (임피던스, S-파라미터, 페이저 전압) 에는 동일한 두 가지 설명이 있습니다.사각형 형식 a+jba + jb는 복소수 평면에서의 좌표로 점의 이름을 지정합니다.극좌표 형식 r angle thetar\ angle\ theta는 원점으로부터의 거리와 양의 실수축으로부터의 각도로 이름을 지정합니다.이 둘은 동일한 정보를 전달하므로 작업에 따라 원하는 정보가 달라집니다.직사각형 형태에서는 구성 요소가 독립적으로 더해지기 때문에 덧셈과 뺄셈이 간단합니다.극좌표 형태에서는 크기가 곱해지고 각도가 더해지기 때문에 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱은 간단합니다.

사각형 형식에서 벗어나는 변환은 $r =\ sqrt {a^2 + b^2} $와 $\ theta =\ 연산자 이름 {atan2} (b, a) $입니다.크기는 단지 피타고라스 거리일 뿐이며 논쟁의 여지가 없습니다.이 변환의 거의 모든 실수는 각도가 원인입니다. 왜냐하면 $\ theta =\ arctan (b/a) $라는 순진한 표현이 평면의 절반에 대해서는 틀렸기 때문입니다.단일 인수 아크탄젠트는 −90°-90° ~ +90°+90°의 값만 반환하며, b/ab/a 비율은 개별 부호를 무시합니다. −3−j4-3 - j4와 3+j43 + j4는 반대 방향을 가리키더라도 동일한 비율이므로 동일한 답을 생성합니다.두 인수 형식인 atan2는 bb와 aa를 각각 취하여 두 부호를 모두 검사하고 전체 −180°-180°에서 +180°+180° 범위의 실제 각도를 반환합니다.

반대로 변환하면 극좌표를 정의할 수 있습니다. 즉 a=r cos thetaa = r\ cos\ theta와 b=r sin thetab = r\ sin\ theta입니다.모호성은 없지만 크기를 음수가 아닌 것으로 간주한다는 규칙을 준수해야 합니다.음수 rr는 $|r|\ angle (\ theta + 180°) $와 동일한 벡터를 설명하며, 산술 연산은 여전히 작동하지만 대부분의 도구 및 파일 형식은 r ge0r\ ge 0로 가정하므로 잘못 해석됩니다.

RF 작업에서의 실질적인 이해는 구체적입니다.극성 형태의 임피던스 Z=R+JxZ = R + Jx는 ∣Z∣ 앵글 세타|Z|\ 앵글\ 세타입니다. 여기서  theta>0\ theta > 0는 유도성을 의미하고  theta<0\ theta < 0는 용량성을 의미합니다.터치스톤 MA 형식으로 저장된 반사 계수는 크기와 각도이고, RI 형식에서는 사각형 쌍입니다.사분점을 잘못 입력하면 유도 부하가 용량성 부하로 전환되고, 이때 정합 신경망이 정확히 잘못된 방향으로 전송됩니다.

계산 예제

제공: z=3+j4z = 3 + j4, 별도로 5 앵글53.13°5\ 앵글 53.13° 1단계: 직사각형 쌍을 이용한 크기 r= sqrta2+b2= sqrt32+42= sqrt9+16= sqrt25=5r =\ sqrt {a^2 + b^2} =\ sqrt {3^2 + 4^2} =\ sqrt {9 + 16} =\ sqrt {25} = 5 2단계: 탄2를 사용한 각도  theta= 운영자이름atan2(4,3)=0.9272952180016122\ theta =\ 운영자 이름 {atan2} (4, 3) = 0.9272952180016122 rad

각도로 변환: 0.9272952180016122 times frac180 pi=53.13010235415598°0.9272952180016122\ times\ frac {180} {\ pi} = 53.13010235415598°

aa와 bb는 모두 양수이므로 점은 사분점 I에 있고 00—360°360° 형식은 동일한 값인 53.13010235415598°53.13010235415598°입니다. 3단계: 다른 방향으로 돌아가십시오 a=r cos theta=5 times cos(53.13010235415598°)=3a = r\ cos\ theta = 5\ times\ cos (53.13010235415598°) = 3 b=r sin theta=5 times sin(53.13010235415598°)=4b = r\ sin\ theta = 5\ times\ sin (53.13010235415598°) = 4

왕복 시 원래 쌍을 정확히 복구하므로 사분점 문제가 의심될 때마다 검사해 볼 가치가 있습니다.

4단계: 쿼드런트가 중요한 이유

대신 z=−3−j4z = -3 - j4를 사용하세요.b/a=−4/−3=1.333b/a = -4/-3 = 1.333의 비율은 3+j43 + j4에 대한 비율과 동일하므로 $\ arctan (b/a) $는 두 인수 모두에 대해 53.13°53.13°를 반환합니다. 즉, 벡터가 실제로 사분면 III에 있을 때 사분점 I를 가리킵니다. atan2는 두 인수가 모두 음수임을 확인하고 −126.86989764584402-126.86989764584402에 해당하는 를반환합니다.233.13010235415598°를 반환합니다. 233.13010235415598°, 0—360°—360° 형태.

결과: 3+j4=5 앵글53.1301°3 + j4 = 5\ 앵글 53.1301°, −3−j4=5 앵글−126.8699°-3 - j4 = 5\ 앵글 -126.8699° — 크기는 같고 방향은 반대입니다.

실용적인 팁

  • ✓계단식 곱셈 (임피던스 변환, 체인 S-파라미터) 에는 극좌표 형식을 사용하고 가산 (직렬 임피던스, 중첩 페이저) 에는 직사각형 형식을 사용하십시오. 적절한 순간에 변환하면 대부분의 산술 연산이 제거됩니다.
  • ✓임피던스의 경우 각도의 부호를 먼저 읽으세요. 양수는 유도성, 음수는 용량성, 0은 순수 저항입니다.계산하기 전에 어떤 방향으로 움직여야 하는지 알려줍니다.
  • ✓터치스톤 파일을 읽을 때 형식 줄을 확인하십시오. MA는 크기 및 도, DB는 크기 (dB 및 도), RI는 사각형 쌍입니다.DB를 MA로 착각하면 크기가 로그와 틀립니다.
  • ✓의심스러운 전환이 있으면 왕복 — Polar로 전환하고, 바로 역방향으로 전환하고, 원본과 비교하세요.사분점 오류는 부호를 뒤집으면 즉시 나타납니다.
  • ✓변환을 연결할 때 각도를 최대한 정밀하게 유지하세요.53.13010235도를 53.1로 반올림하면 계단식 곱셈을 몇 번 반복해도 0.02% 의 크기 오차가 발생합니다.

흔한 실수

  • ✗atan2 (b, a) 대신 arctan (b/a) 을 사용하면 사분면 II가 사분면 I로 축소되고 사분면 II가 사분면 I로 축소되어 임피던스를 유도성에서 용량성으로 반전시키는 무음 180도 오류가 발생합니다.
  • ✗동일한 계산에서 도와 라디안 혼합 — 삼각함수 라이브러리 함수는 거의 항상 라디안을 사용하므로 도 단위의 값이 cos 또는 sin에 도달하기 전에 pi/180을 곱해야 합니다.
  • ✗확인하지 않고 각도 범위를 가정하면 atan2는 -180도에서 +180도를 반환하는 반면, 많은 VNA와 Touchstone 판독기는 0~360도를 나타냅니다. 음의 각도에서 이 둘은 정확히 360도 차이가 나기 때문에 두 값을 직접 비교하면 잘못된 불일치가 발생합니다.
  • ✗극좌표 형식으로 음의 크기를 입력하면 r은 음수가 아닌 것으로 정의되며, 음수 값은 다운스트림 도구가 예상하는 값을 기준으로 벡터를 자동으로 180도 회전합니다.
  • ✗랩 포인트의 평균 각도 (179도 및 -179도의 평균은 산술적으로는 0도이지만 실제로는 180도입니다. 평균화나 보간 전에 위상을 언래핑합니다.

자주 묻는 질문

arctan은 비율 b/a라는 하나의 인수를 사용하며, -90도에서 +90도 사이의 각도만 반환할 수 있습니다. atan2는 b와 a를 별도의 인수로 취하므로 개별 부호를 확인하고 전체 -180도에서 +180도 범위의 어느 위치에서든 올바른 각도를 반환할 수 있습니다.한 점의 비율 b/a는 동일하고 그 반대이므로 arctan은 두 점을 구분할 수 없으며 atan2도 이를 구분할 수 있습니다.
저항을 실수부로, 리액턴스를 허수부로 취급합니다.Z = 50 - j25 옴의 경우 크기는 제곱 피트 (50^2 + 25^2) = 55.90옴이고 각도는 탄2 (-25, 50) = -26.57도입니다.음의 각도는 부하가 용량임을 나타냅니다.
비율에 단일 인수 arctan을 사용하기 때문입니다.두 경우 모두 b/a = 1.333이 되므로 비율만으로는 구분할 수 없습니다.정답은 각각 +53.13도와 -126.87도입니다. 즉, 진도 5와 같고 평면에서의 방향은 반대입니다.
신호는 유도성과 용량성을 즉시 구분하므로 임피던스 위상과 같이 기호에 의미를 부여하는 모든 항목에 -180~180을 사용하십시오.해당 규칙을 사용하는 기기 디스플레이 또는 파일 형식을 일치시킬 때는 0~360을 사용하십시오.이 계산기는 두 가지를 모두 보고하므로 360을 직접 더하거나 뺄 필요가 없습니다.
극좌표 형식에서는 크기가 곱해지고 각도가 더해집니다. (r1 각도 t1) 곱하기 (r2 각도 t2) 는 (r1 r2) 각도 (t1 + t2) 와 같습니다.사각형 형식의 경우 동일한 연산을 수행하려면 네 번의 곱셈과 두 번의 덧셈과 함께 부호를 주의 깊게 다루어야 합니다.12개의 항을 곱하는 계단식 네트워크의 경우 극좌표 형식은 오류가 발생할 가능성이 훨씬 적습니다.
정의되지 않음 — 길이가 0인 벡터로서 아무 곳도 가리키지 않습니다. atan2 (0, 0) 은 규칙에 따라 0을 반환하므로 코드가 충돌하지 않습니다. 이 경우 이 계산기는 결과가 실제 측정값으로 오인되지 않도록 경고합니다.

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