Signal Processing28 de setembro de 20268 min de leitura

Johnson Noise: o ruído térmico do qual você não pode escapar

Ruído térmico Johnson-Nyquist explicado para engenheiros eletrônicos e de RF. Fórmula, valores do mundo real, impacto do design e erros comuns.

Conteúdo

O que é Johnson Noise?
A fórmula
Da densidade espectral à tensão RMS
Um exemplo prático: entrada de pré-amplificador de áudio
Por que a temperatura é importante
A largura de banda também é importante
Erros e pegadinhas comuns
Implicações práticas do design
Quando se preocupar, quando ignorar
Experimente

O que é Johnson Noise?

O ruído Johnson, também chamado de ruído Johnson-Nyquist ou ruído térmico, é o ruído elétrico aleatório gerado pelo movimento térmico dos portadores de carga (elétrons) em um resistor ou condutor. Não é uma falha de design ou defeito de fabricação. É física fundamental. Qualquer resistor em qualquer temperatura acima do zero absoluto irradia ruído. Período.

O ruído existe porque os elétrons estão constantemente se movendo devido à energia térmica. Esse movimento aleatório cria flutuações aleatórias de corrente, que aparecem como ruído de tensão no resistor. Quanto mais quente o resistor, mais violento é o tremor e mais ruído você recebe.

Por que você deveria se importar? Porque o ruído Johnson define um piso rígido na relação sinal-ruído (SNR) do seu amplificador, receptor, interface do sensor ou circuito de medição. Você não pode projetá-lo. Você só pode entendê-lo, contabilizá-lo e, às vezes, contorná-lo resfriando, filtrando ou calculando a média.

A fórmula

A densidade espectral de potência do ruído de Johnson é dada pela fórmula de Nyquist:

S_v = 4 k_B T R

onde:

$S_v$ é a densidade espectral de potência de ruído de tensão em V²/Hz
$k_B$ é a constante de Boltzmann: $1.38 \times 10^{-23}$ J/K
$T$ é a temperatura absoluta em Kelvin
$R$ é a resistência em ohms

Essa é a equação chave. Memorize-o ou marque-o como favorito. Todo o resto decorre disso.

Observe o que está faltando: frequência. O ruído Johnson é branco — ele tem a mesma densidade de potência em 1 Hz e 1 GHz (dentro dos limites da aproximação de Rayleigh-Jeans, que vale para RF e áudio). Isso é bom e ruim. Bom porque é previsível. Ruim porque você não pode filtrá-lo sem também filtrar seu sinal.

Da densidade espectral à tensão RMS

A densidade espectral indica o ruído por unidade de largura de banda. Para obter a tensão RMS real que você mediria, você precisa integrar sua largura de banda de medição $B$ :

V_{\text{rms}} = \sqrt{4 k_B T R B}

Esse é o formulário que você usará com mais frequência na prática. Isso mostra que a tensão do ruído varia com a raiz quadrada da largura de banda, resistência e temperatura.

Um exemplo prático: entrada de pré-amplificador de áudio

Vamos criar um pré-amplificador de microfone e descobrir com qual ruído Johnson estamos lidando.

Seu microfone tem uma impedância de saída de 2 kΩ. Seu pré-amplificador tem uma impedância de entrada de 10 kΩ (a fonte vê uma combinação paralela da impedância do microfone e da impedância de entrada do pré-amplificador, mas vamos nos concentrar no estágio de entrada do pré-amplificador por enquanto). O pré-amplificador está operando em temperatura ambiente (T = 293 K). Sua largura de banda de áudio é de 20 Hz a 20 kHz, então $B = 19,980$ Hz ≈ 20 kHz.

Primeiro, calcule a tensão de ruído Johnson a partir do resistor de entrada 10 kΩ :

V_{\text{rms}} = \sqrt{4 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 293 \times 10,000 \times 19,980}

V_{\text{rms}} = \sqrt{4 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 293 \times 10^4 \times 2 \times 10^4}

V_{\text{rms}} = \sqrt{3.23 \times 10^{-11}}

V_{\text{rms}} \approx 5.7 \text{ μV}

Agora adicione a impedância da fonte do microfone. A impedância de saída do microfone de 2 kΩ também gera ruído Johnson:

V_{\text{rms, mic}} = \sqrt{4 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 293 \times 2,000 \times 19,980}

V_{\text{rms, mic}} \approx 2.5 \text{ μV}

Eles adicionam quadratura (não estão correlacionados), então o ruído total referido à entrada é:

V_{\text{total}} = \sqrt{5.7^2 + 2.5^2} \approx 6.2 \text{ μV}

Agora, se seu pré-amplificador tiver um ganho de 40 dB (100 V/V), o ruído de saída será:

V_{\text{out}} = 6.2 \text{ μV} \times 100 = 620 \text{ μV}

Para um sinal típico de nível de linha de 1 V, seu SNR é:

\text{SNR} = 20 \log_{10}\left(\frac{1}{620 \times 10^{-6}}\right) \approx 64 \text{ dB}

Isso não é ruim para o áudio, mas também não é ótimo. Se o amplificador operacional do seu pré-amplificador adicionar seu próprio ruído (normalmente 10—20 nV/√Hz), ), você também precisará considerar isso. Use a Calculadora de ruído térmico Johnson-Nyquistpara inserir seus próprios valores e ver com o que você está trabalhando.

Por que a temperatura é importante

Observe que o ruído Johnson varia linearmente com a temperatura absoluta. À temperatura ambiente (293 K), você obtém um certo nível de ruído. Reduza a temperatura para 77 K (nitrogênio líquido) e você reduzirá o ruído por um fator de $\sqrt{293/77} \approx 1.95$ ″ — quase 6 dB mais silencioso.

É por isso que os amplificadores criogênicos são usados na radioastronomia e em alguns receptores de satélite. A redução de ruído é real e significativa. Mas é caro e impraticável para a maioria das aplicações.

Para circuitos do dia a dia, a conclusão prática é: o ruído Johnson em temperatura ambiente é o que é. Você está preso a isso, a menos que esteja disposto a resfriar seu hardware.

A largura de banda também é importante

Observe a dependência da raiz quadrada da largura de banda. Duplique sua largura de banda de medição e o ruído aumenta em $\sqrt{2} \approx 1.41$ (cerca de 1,5 dB). Reduza pela metade e o ruído diminui pelo mesmo fator.

É por isso que os filtros de banda estreita são tão úteis na medição e no design do receptor. Um filtro de largura de banda de 1 kHz em um sinal de sensor terá muito menos ruído Johnson do que um filtro de 1 MHz medindo a mesma resistência. A desvantagem é que você perde o conteúdo do sinal fora dessa largura de banda.

Erros e pegadinhas comuns

Erro 1: ignorar o ruído Johnson em circuitos de baixa impedância. Alguns engenheiros acham que o ruído Johnson só importa em circuitos de alta impedância. Errado. Um resistor de 50 Ω em temperatura ambiente gera cerca de 0,9 nV/√Hz. Isso é pequeno em termos absolutos, mas se você o estiver amplificando com um estágio de ganho de 60 dB, ele se torna 0,9 nV × 1000 = 0,9 μV/√Hz na saída. Em um sistema de banda larga (digamos, 1 GHz), isso é 28,5 μV RMS. Não é insignificante. Erro 2: Esquecer de adicionar fontes de ruído em quadratura. Se você tiver vários resistores ou fontes de ruído em seu circuito, eles não somam linearmente — eles somam em quadratura porque não estão correlacionados. O ruído total é

\sqrt{V_1^2 + V_2^2 + V_3^2 + \ldots}

, não

V_1 + V_2 + V_3 + \ldots

. Essa é uma grande fonte de erros nos cálculos manuais. Erro 3: Usar a largura de banda errada. Ao calcular o ruído Johnson, use a largura de banda real à qual seu circuito responde. Se você tem um filtro de 1 MHz, mas está vendo apenas um sinal de 10 kHz, use 10 kHz, não 1 MHz. A largura de banda é definida pelo filtro, não pela frequência do sinal de entrada. Erro 4: confundir densidade espectral de ruído com ruído total. A fórmula

S_v = 4 k_B T R

fornece potência de ruído por Hz. Para obter o ruído total, você deve multiplicar pela largura de banda. Um erro comum é citar a densidade espectral como se fosse a tensão total do ruído, que subestima o ruído em ordens de magnitude em sistemas de banda larga. Erro 5: supondo que o ruído Johnson seja a única fonte de ruído. Em circuitos reais, você também tem ruído de cintilação (ruído 1/f), ruído de disparo e ruído de quantização (em sistemas digitais). O ruído Johnson costuma ser a fonte de ruído dominante em elementos resistivos, mas nem sempre é o maior problema. Em um ADC, o ruído de quantização pode dominar. Em um fotodiodo, o ruído da foto pode ser maior. Sempre verifique as folhas de especificações e faça um orçamento de ruído.

Implicações práticas do design

No design analógico e de RF, o ruído Johnson define o nível de ruído mínimo do seu sistema. O valor do ruído do seu amplificador nunca pode ser menor do que o ruído gerado pela própria resistência da fonte. Se sua fonte for uma antena de 50 Ω em temperatura ambiente, que gera cerca de 0,9 nV/√Hz. , seu valor de ruído do pré-amplificador é limitado pela proximidade com que ele pode chegar desse número.

Em circuitos de sensores, o ruído Johnson da impedância de saída do sensor e da impedância de entrada do circuito de condicionamento de sinal limita diretamente a resolução da medição. Se você está tentando medir um sinal de 10 mV com um sensor de impedância de 100 kΩ à temperatura ambiente, o ruído Johnson é de cerca de 40,5 nV/√Hz. em uma largura de banda de 10 kHz, ou seja, 1,28 μV RMS — cerca de 0,01% do seu sinal. Provavelmente está tudo bem. Mas se sua largura de banda for de 1 MHz, o ruído sobe para 12,8 μV, ″ e você perderá uma casa decimal de precisão.

Em aplicações ADC, o ruído Johnson da rede de entrada pode degradar o SNR. O ADC SNR and ENOB Calculatorpermite que você considere o ruído Johnson junto com o ruído de quantização para ver o SNR real do seu sistema de aquisição de dados.

Quando se preocupar, quando ignorar

Se o sinal estiver na faixa de milivolts ou maior e suas impedâncias estiverem abaixo de 1 kΩ, Johnson, o ruído provavelmente não é seu maior problema. É mais provável que o ruído do amplificador operacional, o ruído digital ou o EMI do seu circuito dominem.

Se o sinal estiver na faixa de microvolts, se suas impedâncias forem muito altas (megohms) ou se sua largura de banda for muito ampla, o ruído Johnson se tornará uma restrição real. É aí que você precisa otimizar: impedâncias mais baixas, largura de banda mais estreita, amplificadores operacionais com menos ruído ou, às vezes, resfriamento criogênico.

Experimente

Pegue a topologia do circuito, pegue os valores dos componentes e conecte-os à Calculadora de ruído térmico Johnson-Nyquist. Insira sua resistência, temperatura e largura de banda. Veja com qual voltagem de ruído você está realmente lidando. Em seguida, compare-o com o nível do sinal e as especificações de ruído do amplificador operacional. Esse é o seu orçamento de ruído.

O ruído Johnson não é opcional — é físico. Mas entender isso significa que você pode projetar com base nisso, considerá-lo em suas especificações e evitar surpresas desagradáveis no laboratório.

Perguntas Frequentes

O que é ruído Johnson em eletrônicos?

O ruído Johnson (também chamado de ruído térmico ou ruído Johnson-Nyquist) é o ruído elétrico aleatório gerado pelo movimento térmico dos elétrons em qualquer resistor ou condutor acima do zero absoluto. É um fenômeno físico fundamental, não uma falha de projeto, e define uma base rígida na relação sinal/ruído nos circuitos.

Como você calcula a tensão de ruído Johnson?

A tensão de ruído RMS Johnson é calculada usando V_rms = √(4kTRB), onde k é a constante de Boltzmann ( (1.38×10⁻²³ J/k), T é a temperatura em Kelvin, R é a resistência em ohms e B é a largura de banda em Hz. A tensão de ruído é dimensionada com a raiz quadrada da largura de banda, resistência e temperatura.

O ruído de Johnson é ruído branco?

Sim, o ruído Johnson é um ruído branco com densidade espectral de potência constante em frequências de áudio a faixas de RF. Isso significa que ele tem a mesma densidade de potência em 1 Hz e 1 GHz, o que o torna previsível, mas impossível, de filtrar sem também filtrar o sinal.

Quanto ruído um resistor de 10k gera em temperatura ambiente?

Um resistor de 10 kΩ em temperatura ambiente (293 K) com largura de banda de 20 kHz gera aproximadamente 5,7 μV RMS de ruído Johnson. O ruído aumenta com valores de resistência mais altos, maior largura de banda ou temperatura mais alta.