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Koplanarer Wellenleiter-Rechner (CPW & GCPW)

Berechnen Sie die koplanare Wellenleiterimpedanz für CPW und geerdetes CPW (GCPW/CBCPW). Ermitteln Sie Z, die effektive Dielektrizitätskonstante, die Ausbreitungsverzögerung und die Spaltbreite für 50 Ω.

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Formel

Z0GCPW=60πεr,eff[K(k)K(k′)+K(k3)K(k3′)],Z0CPW=30πεr,eff⋅K(k′)K(k),k=WW+2GZ_0^{GCPW} = \frac{60\pi}{\sqrt{\varepsilon_{r,eff}}\left[\frac{K(k)}{K(k')} + \frac{K(k_3)}{K(k_3')}\right]}, \qquad Z_0^{CPW} = \frac{30\pi}{\sqrt{\varepsilon_{r,eff}}}\cdot\frac{K(k')}{K(k)}, \quad k=\frac{W}{W+2G}

Referenz: R. N. Simons, "Coplanar Waveguide Circuits, Components and Systems", Wiley 2001, ch. 2

Z₀— Characteristic impedance (Ω)
W— Centre conductor width (mm)
G— Gap to coplanar ground (mm)
h— Substrate height (mm)
K(k)— Complete elliptic integral of the first kind
εr_eff— Effective dielectric constant

Wie es funktioniert

Beim koplanaren Wellenleiter (CPW) liegen der Signalleiter und seine Rückleiterde auf dergleichen Kupferschicht, die durch zwei schmale Lücken getrennt ist. Diese einzige Änderung behebt mehrere Probleme, die Mikrostreifen bei hohen Frequenzen haben: Der Rückstrom ist Mikrometer entfernt statt einer Substratdicke entfernt, die Felder bleiben fest an die Lücken gebunden, und die Impedanz stoppt, je nachdem, wie dick das Laminat gerade ist.

Die Lösung in geschlossener Form wird durch konformes Mapping erreicht. Durch Transformieren des Querschnitts wird aus der schwierigen Dreileiter-Geometrie ein Parallelplattenkondensator, und die gesamte Impedanz fällt aus einem Verhältnis vollständiger elliptischer Integrale heraus:

Z0= frac30 pi sqrt varepsilonr,eff cdot fracK(k′)K(k), qquadk= fracWW+2GZ_0 =\ frac {30\ pi} {\ sqrt {\ varepsilon_ {r, eff}}}\ cdot\ frac {K (k')} {K (k)},\ qquad k =\ frac {W} {W + 2G}

wobei WW die Breite des Mittelleiters ist, GG der Abstand zu jeder koplanaren Erde ist und $k' =\ sqrt {1-k^2} $ ist. Beachten Sie, was fehlt: Die Substrathöhe erscheint nirgends. Bei einem idealen CPW auf einem unendlich dicken Substrat hängt die Impedanz nur vom Verhältnis $W/ (W+2G) $ ab — skaliert man den gesamten Querschnitt nach oben oder unten, dann bewegt sich Z0Z_0 nicht.

Geerdetes CPW

In der Praxis baut niemand auf einem unendlich dicken Untergrund, und die meisten Designs fügen auf der anderen Seite eine Massefläche hinzu, um die Wärme abzuleiten und eine solide Referenz für den Rest der Platine zu bieten. Dabei handelt es sich um geerdetes CPW, auch GCPW oder leitergestütztes CPW genannt. Durch die Trägerebene wird ein Teil des Feldes in das Substrat gezogen, wodurch die effektive Permittivität erhöht und die Impedanz gesenkt wird:

 varepsilonr,eff= frac1+ varepsilonrq1+q, quadq= fracK(k3)/K(k3′)K(k)/K(k′)\ varepsilon_ {r, eff} =\ frac {1 +\ varepsilon_r q} {1 + q},\ quad q =\ frac {K (k_3) /K (k_3')} {K (k) /K (k')}

mit $k_3 =\ tanh (\ pi W/4h)/\ tanh (\ pi (W+2G) /4h) $. Wenn das Substrat dicker wird, k3 tokk_3\ to k, q to1q\ to 1, und der Ausdruck kollabiert wieder zu  varepsilonr,eff=(1+ varepsilonr)/2\ varepsilon_ {r, eff} = (1+\ varepsilon_r) /2 — die ungeerdete CPW-Antwort. Dieses Limit ist ein nützlicher Plausibilitätstest für jedes CPW-Tool.

Die Kupferdicke ist zweimal wichtig

Die endliche Metalldicke ist in CPW kein Detail zweiter Ordnung. Die Seitenwände verbreitern das Band und verengen den Spalt, wodurch Z0Z_0 sinkt — so viel ist Standard. Seltener modelliert man, was es mit $\ varepsilon_ {r, eff} $ macht: Die Seitenwand des Streifens zeigt auf der anderen Seite der Lücke zur Bodenseitenwand, über der Substratoberfläche, sodass die zusätzliche Kapazität in der Luft liegt. Es erhöht die Luft- und Substratkapazitäten um den gleichen absoluten Betrag und zieht daher $\ varepsilon_ {r, eff} $ nach unten.

Der Effekt ist groß. Bei 1 Unze Kupfer auf einer Lücke von 0,3 mm sind es etwa 3,5% und bei 2 Unzen in einer Lücke von 0,15 mm mehr als 13%. Bei einer Formel mit einer Dicke von Null wird alles verfehlt, und der Fehler überträgt sich direkt auf die Ausbreitungsverzögerung und die gesteuerte Wellenlänge.

Das Regime, auf das es ankommt

Grounded CPW verhält sich nur wie CPW, solange die koplanaren Grundzüge dominieren. Sobald der Spalt viel größer als die Substrathöhe wird, enden die meisten Feldlinien stattdessen auf der Trägerebene, und die Struktur verwandelt sich leise in einen Mikrostreifen mit etwas nutzlosem Kupfer auf beiden Seiten. Achten Sie darauf, dass der Abstand mit der Substrathöhe vergleichbar oder kleiner als diese ist, um im CPW-Bereich zu bleiben.

Die andere praktische Anforderung ist das Nähen. Die koplanaren Masseflächen und die Trägerebene bilden einen parallelen Plattenhohlraum, und wenn sie nur an den Plattenkanten miteinander verbunden sind, schwingt dieser Hohlraum irgendwo im Band mit. Reihen von Durchkontaktierungen auf beiden Seiten der Leitung führen zu einem Kurzschluss der beiden Masseelemente zusammen, wodurch die Hohlraummoden über der Betriebsfrequenz liegen.

Bearbeitetes Beispiel

Problem: Entwerfen Sie einen 50 Ohm geerdeten CPW auf Rogers RO4003C (er = 3,55, h = 0,508 mm/20 mil) mit 1 Unze Kupfer für ein 6-GHz-Frontend.

Schritt 1 — Wählen Sie die Breite des Mittelleiters. Beginnen Sie bei W = 1,0 mm. Das ist deutlich breiter als das Mindestmaß von 0,1 mm und breit genug, um den Leiterverlust gering zu halten.

Schritt 2 — Berechnung des idealen Moduls für einen Versuchsabstand von G = 0,3 mm: k = W/ (W + 2 G) = 1,0/ (1,0 + 0,6) = 0,625 k' = sqrt (1 - 0,625 ^ 2) = 0,7806

Schritt 3 — Elliptische Verhältnisse. Für k = 0,625 ist K (k) /K (k') = 0,90369. Die Trägerebene trägt zum zweiten Modul k3 = tanh (Pi*W/4H) /tanh (pi* (W+2G) /4h) = 0,92620 bei, was K (k3) /K (k3') = 1,47944 ergibt.

Schritt 4 — Effektive Permittivität bei einer Dicke von Null. Mit q = 1,47944/0,90369 = 1,63712: er_eff = (1 + 3,55*1,63712)/(1 + 1,63712) = 2,583 Z0 = (eta0/2)/(sqrt (2,583) (0,90369 + 1,47944)) = 188,365/(1,6072 2,38313) = 49,18 Ohm

Schritt 5 — Füge das Kupfer hinzu. 35 µm Metall bewirken zwei Dinge. Die Seitenwände verbreitern das Band und verengen den Spalt, wodurch die Impedanz sinkt. Und die Kapazität zwischen den Seitenwänden liegt in der Luft über dem Substrat, wodurch er_eff von 2,583 auf 2,501 sinkt. Zusammen: Z0 = 48,14 Ohm Würde die er_eff-Verschiebung hier vernachlässigt, würde die effektive Permittivität und die damit verbundene Ausbreitungsverzögerung um etwa 3% überbewertet werden.

Schritt 6 — Etwas niedrig. Wenn Sie den Abstand vergrößern, wird die Kopplung mit den koplanaren Erdungen verringert und die Impedanz erhöht. Der Solver gibt G = 0,414 mm für genau 50 Ohm an. Auf herstellbare 0,45 mm abrunden und erneut überprüfen: Z0 = 50,44 Ohm, innerhalb eines Fensters von 1%.

Schritt 7 — Überprüfen Sie das Regime. G/h = 0,45/0,508 = 0,89, deutlich unter 1, also dominieren immer noch die koplanaren Grundflächen und es handelt sich um echten CPW und nicht um getarnten Mikrostreifen.

Schritt 8 — Durchstechflaschen zusammennähen. Bei 6 GHz beträgt die geführte Wellenlänge etwa 31 mm, also Lambda/20 = 1,5 mm. Alle 1,0 bis 1,5 mm auf beiden Seiten die Erdungsdurchkontaktierungen anbringen und innerhalb weniger Millimeter von der Steckverbinderöffnung auf 0,5 mm festziehen.

Praktische Tipps

  • ✓Halten Sie das Verhältnis von Breite zu Abstand bei jedem Verjüngungs-, Biege- und Padübergang konstant — dadurch bleibt die Impedanz erhalten, nicht die absoluten Abmessungen.
  • ✓Geerdete CPW ist in der Regel die bessere Startstruktur an einem Stecker, da die koplanare Erdung auf natürliche Weise mit den Außenkontakten des Steckverbinders übereinstimmt.
  • ✓Verwenden Sie den breitesten Mittelleiter, den Ihre Abstandstoleranz zulässt. Der Leiterverlust nimmt mit der Breite ab, und die Ätztoleranz verringert sich um einen Bruchteil sowohl der Breite als auch des Abstands.
  • ✓Platzieren Sie die Durchkontaktierungen bei einem Zwanzigstel einer Wellenlänge oder näher an der höchsten interessierenden Frequenz und verengen Sie den Abstand in der Nähe von Diskontinuitäten.
  • ✓Prüfen Sie auf dünnen Untergründen, ob Sie mit geerdetem CPW etwas kaufen können. Unterhalb von etwa 0,2 mm dominiert die Trägerebene unabhängig vom Spalt. Glatte Mikrostreifen lassen sich einfacher herstellen.
  • ✓Achten Sie auf die Oberflächenrauheit auf verlustarmen Laminaten. CPW konzentriert den Strom an den Spaltkanten, sodass Kantenrauheit teurer ist als bei Mikrostreifen.

Häufige Fehler

  • ✗Lassen Sie die Lücke viel breiter werden als die Substrathöhe auf einem geerdeten CPW. Dann dominiert die Trägerebene und die Linie besteht in Wirklichkeit aus einem Mikrostreifen — die CPW-Formel wird der Messung um mehrere zehn Prozent widersprechen.
  • ✗Weglassen von Nahtdurchkontaktierungen zwischen den koplanaren Grundflächen und der Trägerebene. Die beiden bilden einen parallelen Plattenhohlraum, der bandweise mitschwingt und sich in S21 als scharfe, unerklärliche Absaugungen zeigt.
  • ✗Angenommen, die Impedanz skaliert mit der Substratdicke, wie dies bei Mikrostreifen der Fall ist. Bei ungeerdetem CPW kommt es kaum auf die Dicke an — es kommt nur auf das Verhältnis von Breite zu Abstand an.
  • ✗Ignoriert die Kupferdicke. Bei 1 Unze auf einem Abstand von 0,15 mm macht das Metall ein Viertel der Spaltbreite aus, und wenn die Dickenkorrektur vernachlässigt wird, wird die Impedanz um mehrere Prozent überschätzt.
  • ✗Den Mittelleiter einschnüren, ohne den Abstand proportional zu verkleinern. Die Impedanz wird durch das Verhältnis bestimmt, sodass bei jeder Verjüngung Breite und Abstand im Gleichschritt bleiben müssen, da sonst eine Impedanzdiskontinuität entsteht.

Häufig gestellte Fragen

CPW hat nur auf der Signalschicht auf beiden Seiten der Spur Masse. Grounded CPW (GCPW oder CBCPW) fügt eine Ebene auf der anderen Seite des Substrats hinzu. Die Trägerplatte senkt die Impedanz, erhöht die effektive Permittivität und dient als thermische und mechanische Referenz. Sie führt aber auch einen Parallelplattenmodus ein, der durch das Zusammennähen von Durchkontaktierungen unterdrückt werden muss.
Weil der Rückweg der koplanare Boden neben der Spur ist, nicht eine Ebene darunter. Das Feld wird durch das Verhältnis von Breite zu Abstand bestimmt, sodass Sie auf einem dicken Untergrund den gesamten Querschnitt skalieren und die gleiche Impedanz beibehalten können. Das ist das Gegenteil von Microstrip, bei dem die Dicke die dominierende Variable ist.
Ein Zwanzigstel einer Wellenlänge bei der höchsten interessierenden Frequenz ist die übliche Regel. Verengen Sie sich in der Nähe von Steckverbindern und anderen Diskontinuitäten. Durch die Durchkontaktierungen werden die koplanaren Maschen zur Trägerebene kurzgeschlossen, wodurch die Resonanz der Parallelplatte über das Betriebsband gedrückt wird.
Oberhalb von etwa 10 GHz, auf dicken Substraten, auf denen ein 50-Ohm-Mikrostreifen eine unpraktisch breite Leiterbahn benötigen würde, und überall, wo Sie eine einfache Montage von Shunt-Komponenten wünschen, erhalten Sie mit einem CPW direkt neben dem Signal Masse, sodass Shunt-Teile fast keine Durchgangsinduktivität haben.
Mehr als bei Microstrip, und das auf zwei verschiedene Arten. Das Metall verbreitert den Streifen und verengt den Spalt, wodurch die Impedanz sinkt. Unabhängig davon befindet sich die Kapazität von Seitenwand zu Seitenwand in der Luft über dem Substrat und senkt die effektive Permittivität nach unten — etwa 3,5% bei 1 Unze in einem Abstand von 0,3 mm, über 13% bei 2 Unzen in einem Abstand von 0,15 mm. Der zweite Effekt ist der, den die meisten Rechner auslassen, und er wirkt sich direkt auf die Ausbreitungsverzögerung und die gesteuerte Wellenlänge aus.

Methodik & Referenzen

Referenzen

  • Coplanar Waveguide Circuits, Components and Systems, ch. 2 — R. N. Simons, Wiley 2001
  • Transmission Line Design Handbook, §3.3 (coplanar lines) — B. C. Wadell, Artech House 1991
  • Handbook of Mathematical Functions, ch. 17 (elliptic integrals) — Abramowitz & Stegun, NBS 1964

Complete elliptic integrals are evaluated by the arithmetic-geometric mean, which converges quadratically to double precision. The grounded-CPW branch is checked against its own limit: as substrate height grows the result converges to the ungrounded CPW value, with εr_eff → (1 + εr)/2. Copper thickness is modelled on both quantities — it widens the strip and narrows the gap for Z₀, and its sidewall capacitance sits in air, which lowers εr_eff. Validated against a 2-D electrostatic solver (itself checked against the analytic zero-thickness result to 0.11%) across ½–2 oz copper and four geometries: εr_eff within 0.52%, impedance within about 1%.

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