Calculateur de guide d'ondes circulaire — fréquence de coupure, modes TE11 et TM01

Un guide d'ondes circulaire est un tube métallique creux qui transmet des micro-ondes au-dessus d'une fréquence de coupure fixée par son rayon. Ses champs forment des modes, transverses électriques (TE) ou transverses magnétiques (TM), chacun décrit par une fonction de Bessel, et chaque mode ne se propage qu'au-dessus de sa propre fréquence de coupure :

Ici, $a$ est le rayon intérieur, $\varepsilon_r$ la permittivité relative du matériau de remplissage et $\chi_{nm}$ un zéro d'une fonction de Bessel : pour les modes TE, le $m$-ième zéro $p'_{nm}$ de $J'_n$ ; pour les modes TM, le $m$-ième zéro $p_{nm}$ de $J_n$ (Pozar, Microwave Engineering, 4e éd., section 3.4). L'indice $n$ compte les variations du champ le long de la circonférence et $m$ celles le long du rayon. Le calculateur utilise les racines avec dix décimales, telles que tabulées dans la NIST Digital Library of Mathematical Functions, section 10.21.

La bande monomode

Le mode dominant est TE₁₁, avec $p'_{11} = 1.8412$, et le suivant est TM₀₁, avec $p_{01} = 2.4048$. Un guide ne transporte donc un seul mode qu'entre ces deux fréquences de coupure, soit une bande de 2,4048/1,8412 = 1,306 pour 1, quels que soient le rayon et le remplissage.

Au-dessus de la coupure

Avec $k = 2\pi f\sqrt{\varepsilon_r}/c$, la constante de phase est $\beta = \sqrt{k^2 - (\chi_{nm}/a)^2}$, la longueur d'onde guidée $2\pi/\beta$, la vitesse de phase $\omega/\beta$ et la vitesse de groupe $c^2/(\varepsilon_r v_p)$. L'impédance d'onde vaut $k\eta/\beta$ pour les modes TE et $\beta\eta/k$ pour les modes TM, avec $\eta = \mu_0 c/\sqrt{\varepsilon_r}$.

L'atténuation diélectrique est $\alpha_d = k^2\tan\delta/(2\beta)$. Les pertes dans les parois, avec $R_s = \sqrt{\omega\mu_0/2\sigma}$ et $x = f_c/f$, valent

pour les modes TE, ce qui est l'équation 3.133 de Pozar pour TE₁₁, et $R_s/(a\eta\sqrt{1-x^2})$ pour les modes TM. Avec $n = 0$, le terme TE entre parenthèses se réduit à $x^2$, si bien que les pertes dans les parois du TE₀₁ continuent de diminuer quand la fréquence augmente.

En dessous de la coupure

En dessous de sa fréquence de coupure, un mode ne se propage pas. Ses champs décroissent en $e^{-\alpha z}$ avec $\alpha = \sqrt{(\chi_{nm}/a)^2 - k^2}$, que le calculateur indique en dB/m. C'est avec une courte longueur de guide sous la coupure qu'un évent bloque les basses fréquences.

Validité

Le guide est un cylindre circulaire parfait rempli d'un seul matériau homogène, et les indices de mode vont de n = 0 à 5 et de m = 1 à 5. Les formules de pertes proviennent de la méthode des perturbations : elles supposent un bon conducteur, avec une épaisseur de peau très inférieure au rayon, et une faible tangente de pertes, et elles perdent en précision très près de la coupure, où β tend vers zéro. Une tangente de pertes supérieure à 0,1 ou une épaisseur de peau supérieure à 1 % du rayon est signalée par un avertissement.