180°エラー:arctan (b/a) がインピーダンスを反転させる理由

2 つの数値、同じ比率

$3 + j4$ と $-3 - j4$ を例にとってみましょう。それらは複素平面では反対方向を向いています。次に、それぞれの比率 $b/a$ を計算します。

• 4/3 = 1.333
• (−4)/(−3) = 1.333

同じ。この 2 つのベクトルを区別する情報はすべて、除算によって破壊されました。2 つのマイナス記号が相殺されたからです。

したがって、$\arctan(b/a)$ は両方について $53.13°$ を返します。これらの答えの一方は正しく、もう一方はちょうど $180°$ ずれています。

単一引数形式ではできることとできないこと

$\arctan$ は 1 つの数値を取り、−90°から+90°の間の角度を返します。この範囲は平面の半分、つまり象限 I と IV をカバーします。象限 II と III には比率がマップされていないため、その領域には到達する方法がありません。

象限IIのポイントが与えられると、arctanは象限IVの鏡を報告します。象限IIIのポイントが与えられると、象限Iのミラーが報告されます。

$\operatorname{atan2}(b, a)$ では 2 つのコンポーネントを別々に扱っているので、記号は残ります。これを検査して、−180°から+180°の全範囲で正しい角度を返します。

• 3 + j4 → 53.1301°
• -3 + j4 → 126.8699°
• -3 − j4 → −126.8699°
• 3 − j4 → −53.1301°

4つともマグニチュードが5です。角度だけがそれらを区別し、正しいのはatan2だけです。

なぜこれが RF に特に影響するのか

インピーダンスは $Z = R + jX$ です。極形では $|Z|\angle\theta$ で、$\theta$ の記号にはすべての物理的意味が込められています。

• $\theta > 0$: 帰納法
• $\theta < 0$: 静電容量方式
• $\theta = 0$: 抵抗膜方式

象限を間違えると、誘導性負荷は容量性と表示されます。この測定値から設計されたマッチング回路では、誤った素子が追加されます。負荷がすでに大きすぎる場合は直列インダクタンス、逆の負荷が必要な場合はシャント容量です。マッチングはさらに悪化し、符号誤差というよりは部品の許容誤差の問題のように見える形で悪化します。

$R > 0$ の受動荷重の場合、ポイントは象限IまたはIVにあり、arctanはたまたま正解です。これが、このバグが長く存続する理由です。パッシブインピーダンスがバグを隠しているのです。実際の部品が通常負の反射係数、負の抵抗値を持つ能動デバイス、または虚軸を越えて振れたディエンベデッド測定値を処理した瞬間に表面化します。

慣習問題

atan2 は −180 °から +180 °を返します。計測器やファイルリーダの多くは、代わりに 0° から 360° を表示します。両者の角度は同じで、陰性の結果はちょうど $360°$ 異なります。

これは、比較したり平均したりすると大きな問題になります。179°と-179°の平均は、算術では0°、実際には180°です。ラップポイント全体で平均化、補間、またはカーブフィットを行う場合は、まず位相をアンラップする必要があります。このステップは、測定の後処理では常にスキップされます。

どちらの規則を使用するかは、選択次第です。自分のデータがどれに入っているか分からなければ、そうではありません。

タッチストーンフォーマット

S パラメータファイルには、オプション行で宣言されている 3 つの方法で同じ複素数が格納されます。

• MA — 大きさと角度 (度)
• DB — 振幅 (dB)、角度 (度)
• RI — 実数部と虚数部

RI は変換をまったく必要としません。MA と DB では、純粋な乗算ではない算術演算の前に、極から矩形へのステップが必要です。DB ファイルを MA であるかのように読み込むと、対数によってマグニチュードが間違ってしまいます。この間違いによって、もっともらしい見た目ではあるが、まったく間違ったプロットが生成されます。

身につける価値のある習慣

atan2 は常に atan2 を使ってください。 単一引数形式の方が安全なケースはありませんし、コストもかかりません。 疑わしいものはすべてラウンドトリップしてください。 Polar 形式に変換し、そのまま逆方向に変換して、元の形式と比較してください。象限誤差はサインフリップと同時に表示され、単位誤差はスケールファクターとして表示されます。 インピーダンスを見るときは、マグニチュードの前に角度記号を読んでください。どの方向に進むべきかが算術演算の前に示されます。 カスケードを使用して完全な精度を維持してください。 53.13010235°から53.1°に丸めても問題ないようで、数回の連鎖乗算を行うと目に見える大きさの誤差になります。 負のマグニチュードは結果ではなくエラーとして扱います。 マグニチュード −r は、+r を 180°回転させたのと同じベクトルを表し、下流のツールが負でないことを想定して読み間違えます。 長方形から極座標へのコンバーターは、atan2を使用して両方向に同時に実行し、角度をラジアンで $\pm 180°$、$0$ から $360°$ で報告するため、360を手動で加算または減算する必要はありません。