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有効誘電率計算ツール (マイクロストリップ)

Hammerstad—Jensenを使用して、マイクロストリップの実効誘電率φeffに、ゲッツィンガー分散、伝播速度、ps/mmおよびps/inch単位の遅延、およびガイド波長を加えたものを計算します。

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公式

εeff=εr+12+εr−12(1+10u)−a(u) b(εr),u=weffh\varepsilon_{\text{eff}} = \frac{\varepsilon_r + 1}{2} + \frac{\varepsilon_r - 1}{2}\left(1 + \frac{10}{u}\right)^{-a(u)\,b(\varepsilon_r)},\qquad u = \frac{w_{\text{eff}}}{h}

参考: E. Hammerstad & Ø. Jensen, "Accurate Models for Microstrip Computer-Aided Design", IEEE MTT-S 1980; W. J. Getsinger, "Microstrip Dispersion Model", IEEE Trans. MTT-21, 1973

εeff— 波から見た実効誘電率
εr— 基板の相対誘電率
w— トレース幅 (mm)
h— 基準面までの誘電体の高さ (mm)
t— 銅の厚さ（有効トレースを広げる） (mm)
q— 充填係数、(εeff−1)/(εr−1)
tpd— 伝搬遅延、√εeff/c (ps/mm)

仕組み

マイクロストリップは混合誘電体構造です。トレースはラミネート上にあり、その下には基準面がありますが、トレースの上には空気があります。したがって、磁力線は誘電率の異なる2つの媒体に分かれ、波はあたかも 1<εeff<εr1 < \varepsilon_{eff} < \varepsilon_r で厳密に囲まれた中間値 εeff\varepsilon_{eff} の単一の均一媒質中を移動しているかのように伝播します。伝搬遅延、誘導波長、スタブの長さ、マッチングセクションの電気的長さなど、速度に依存する数値はすべて εeff\varepsilon_{eff} に依存し、データシートに印刷されているラミネート εr\varepsilon_r には依存しません。

HammerstadとJensenは、εr\varepsilon_r に依存する指数を持つ単一形状パラメータ u=w/hu = w/h の関数として、εeff\varepsilon_{eff} を厳密な準静的場の解に当てはめました。これらの閉じた形式は、実質的にすべてのプリント回路作業を網羅している 0.05≤u≤200.05 \le u \le 20 と εr≤12\varepsilon_r \le 12 を約 1% 上回ります。銅の厚さが最初に有効幅の拡大 Δw=(t/π)ln⁡(1+2h/t)\Delta w = (t/\pi)\ln(1 + 2h/t) として入ります。これは、実際の厚さの導体ではフィールドへの余分な側壁が生じるためです。これを無視すると、重い銅については Z0Z_0 が著しく誇張されます。

2 つの制限により、このモデルが正しい物理特性を発揮していることが確認されます。w/h→0w/h \to 0 のように、トレースは空気誘電体界面をほとんど乱さず、εeff→(εr+1)/2\varepsilon_{eff} \to (\varepsilon_r + 1)/2 は2つの半空間の算術平均をほとんど乱しません。w/h→∞w/h \to \infty では、電界は完全に基板に押し込まれ、εeff→εr\varepsilon_{eff} \to \varepsilon_r はマイクロストリップがストリップラインのように振る舞うパラレルプレートの限界値です。その間の充填係数 q=(εeff−1)/(εr−1)q = (\varepsilon_{eff} - 1)/(\varepsilon_r - 1) は、電界エネルギーの何パーセントが積層体の内部にあるかを直接示します。

準静的な結果は周波数に依存しませんが、実際はそうではありません。周波数が上がるにつれて、電界はより誘電率の高い基板に集中し、εeff\varepsilon_{eff} は εr\varepsilon_r に向かって単調に上昇します。ゲッツィンガーのモデルではこれを εeff(f)=εr−(εr−εeff)/(1+G(f/fp)2)\varepsilon_{eff}(f) = \varepsilon_r - (\varepsilon_r - \varepsilon_{eff})/(1 + G(f/f_p)^2)、fp=Z0/(2μ0h)f_p = Z_0/(2\mu_0 h)、G=0.6+0.009Z0G = 0.6 + 0.009 Z_0 と捉えています。補正は (fh)2(f h)^2 までスケーリングされるので、約 10 GHz 未満の薄い積層体では 1% 未満になり、厚みのある基板や約 15 GHz を超える基板では数パーセントになります。

計算例

付属: w=0.3w = 0.3 mm、h=0.2h = 0.2 mm、εr=4.3\varepsilon_r = 4.3 (FR-4)、t=35t = 35 µm (1 オンス)、f=1f = 1 GHz ステップ 1: 有効幅に合わせて厚みを補正 Δw=tπ(1+ln⁡2ht)=0.035π(1+ln⁡0.40.035)=0.011141×(1+2.43612)=0.03828\Delta w = \frac{t}{\pi}\left(1 + \ln\frac{2h}{t}\right) = \frac{0.035}{\pi}\left(1 + \ln\frac{0.4}{0.035}\right) = 0.011141 \times (1 + 2.43612) = 0.03828 ミリメートル weff=0.3+0.03828=0.33828w_{eff} = 0.3 + 0.03828 = 0.33828 mm、つまり u=weff/h=1.69141u = w_{eff}/h = 1.69141 ステップ 2: ハマースタッド・ジェンセンのシェイプ用語 a=1+149ln⁡u4+(u/52)2u4+0.432+118.7ln⁡(1+(u18.1)3)=0.998997a = 1 + \frac{1}{49}\ln\frac{u^4 + (u/52)^2}{u^4 + 0.432} + \frac{1}{18.7}\ln\left(1 + \left(\frac{u}{18.1}\right)^3\right) = 0.998997 b=0.564(εr−0.9εr+3)0.053=0.564×(0.465753)0.053=0.541619b = 0.564\left(\frac{\varepsilon_r - 0.9}{\varepsilon_r + 3}\right)^{0.053} = 0.564 \times (0.465753)^{0.053} = 0.541619 ステップ3: 有効誘電率 εeff=εr+12+εr−12(1+10u)−ab\varepsilon_{eff} = \frac{\varepsilon_r + 1}{2} + \frac{\varepsilon_r - 1}{2}\left(1 + \frac{10}{u}\right)^{-ab} =2.65+1.65×(6.91224)−0.541076=2.65+1.65×0.35131=3.2296814465543817= 2.65 + 1.65 \times (6.91224)^{-0.541076} = 2.65 + 1.65 \times 0.35131 = 3.2296814465543817

範囲に対するサニティチェック：(εr+1)/2=2.65(\varepsilon_r + 1)/2 = 2.65 および εr=4.3\varepsilon_r = 4.3。結果は両者の間にあるはずだ。

ステップ 4: 充填係数とインピーダンス q=εeff−1εr−1=2.22968143.3=0.6756610444104187q = \frac{\varepsilon_{eff} - 1}{\varepsilon_r - 1} = \frac{2.2296814}{3.3} = 0.6756610444104187 Z0=54.36834333422282Z_0 = 54.36834333422282 Ω — 電界エネルギーの約3分の2は積層体の内部にあります。 ステップ 5: 伝播 cc の第 vp=cεeff=c1.79713=55.64423238564186 %v_p = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}} = \frac{c}{1.79713} = 55.64423238564186\ \% tpd=εeffc=1.797130.299792458 mm/ps=5.994585258834897t_{pd} = \frac{\sqrt{\varepsilon_{eff}}}{c} = \frac{1.79713}{0.299792458\ \text{mm/ps}} = 5.994585258834897 ps/mm

インペリアル単位: 5.994585×25.4=152.262465574406385.994585 \times 25.4 = 152.26246557440638 ps/inch — FR-4 マイクロストリップではおなじみの「1 インチあたり約 150 ps」です。

ステップ 6:1 GHz での分散波長と導波長 fp=Z02μ0h=54.36832×4π×10−7×0.2×10−3=1.0817×1011f_p = \frac{Z_0}{2\mu_0 h} = \frac{54.3683}{2 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 0.2 \times 10^{-3}} = 1.0817 \times 10^{11} ヘルツ

1 GHz での比率 f/fpf/f_p は 0.00924 なので、補正はごくわずかです。つまり、εeff(f)=3.22978109571598\varepsilon_{eff}(f) = 3.22978109571598、わずか 0.0031% のシフトです。

λg=cfεeff(f)=166.81463855984217\lambda_g = \frac{c}{f\sqrt{\varepsilon_{eff}(f)}} = 166.81463855984217 mm なので、1/4 波セクションは 41.7036596399605441.70365963996054 mm です。 結果: εeff=3.2297\varepsilon_{eff} = 3.2297、光速の 55.6%、152.3 ps/インチ、1/4 波は 41.7 mm (1 GHz) です。

実践的なヒント

  • ✓イプシロン-effの結果は、(epsilon-r + 1) /2とepsilon-rの間にある必要があるという2つの範囲に照らしてサニティーチェックを行います。この範囲外の値は、限界モデルではなく、単位または形状の誤差を意味し、単位または形状の誤差を意味します。
  • ✓公差解析には充填係数を使用します。積層イプシロン-rが変化すると、その変化量の約q倍だけイプシロン-効率が移動するため、q = 0.68の直線では積層変動の約3分の2が遅延バジェットに反映されます。
  • ✓シグナルインテグリティエンジニアと話すときはps/inch、レイアウト演算を行うときはps/mmで遅延を引用してください。両方とも 25.4 でスケーリングされた同じ数値であり、これらが混在していると、長さマッチングエラーの原因になることがよくあります。
  • ✓トレースの幅が広いとイプシロン効率が上がります。つまり、インピーダンス制御ラインの遅延は、形状が混在している基板全体で一定ではないということです。幅が異なる場合、物理的な長さではなく遅延時に長さが一致します。
  • ✓厚い基板上の周波数が重要な構造の場合は、DC ではなく動作周波数で計算を実行してください。分散出力から、それが問題なのか、それとも無視できるのかがすぐにわかります。

よくある間違い

  • ✗スタブと波長の計算にイプシロン-エフの代わりに積層イプシロン-rを使用する。FR-4では、1/4波スタブが約13パーセント短すぎて、フィルターエッジを数百MHz移動させるのに十分である
  • ✗同じラミネートでマイクロストリップとストリップラインの遅延が同じであると仮定すると、ストリップラインは完全に埋め込まれているため、そのイプシロン-エフはイプシロン-rとまったく同じになり、同じ材料のマイクロストリップよりも約15パーセント遅くなります。
  • ✗重い銅のビルドでは銅の厚さを無視すると、2オンスの銅は実効幅がかなり大きくなり、省略するとZ0が数パーセント大きくなります
  • ✗ミリ波周波数（約15 GHz以上、または厚い基板）で準静的値を適用すると、イプシロン-effはイプシロン-rに向かってかなり上昇し、静的数値は遅延を過小評価します
  • ✗ソルダーマスクのことは忘れてしまいましょう。マスクはおおよそイプシロン-R 3.5で、トレース上の空気を置き換えることで、イプシロン効果を2～5パーセント上げ、通常の50オームラインでZ0を同じ量だけ下げます。

よくある質問

マイクロストリップは半分しか埋められていないからです。誘電率が 1 のトレースより上の空中を電界の一部が伝わり、平均値が下がります。ストリップラインは誘電体に完全に囲まれているため、そのイプシロン-エフはイプシロン-rとまったく同じになり、それに応じて速度も遅くなります。
4.3 epsilon-r FR-4の50オームのマイクロストリップは、幅と高さの比率にもよりますが、通常3.0〜3.4の間で着地します。トレースの幅が広いほど基板に押し込まれ、イプシロン効果が上がります。トレースが狭いほど、空中に放出されるフィールドが多くなり、エプシロン効果が下がります。
物理的な長さは、イプシロン-エフの平方根に対して 1 として表されます。2.4 GHz では、自由空間のクォーター波は 31.2 mm です。イプシロンエフェフが 3.23 の FR-4 マイクロストリップでは 17.38 mm に縮小します。代わりにイプシロン-r = 4.3を使用すると、15.06 mm となり、13.3% の誤差になります。
補正は、周波数と基板の高さの2乗でスケーリングされます。0.2 mm の基板では、10 GHz までは 1% をはるかに下回り、無視してかまいません。1.6 mm基板、またはどのスタックアップでも約15 GHzを超える基板では、イプシロン-effはイプシロン-rに向かって数パーセント上昇する可能性があるため、波長が重要な構造には使用する必要があります。
q = (epsilon-eff-1) を (epsilon-r-1) で割ると、基板の内部にある電界エネルギーの割合がわかります。これは感度解析に便利です。積層公差がイプシロン-rでプラスまたはマイナス0.2になると、イプシロン-effが約q×0.2だけ移動し、遅延とインピーダンスのバジェットに直接反映されます。
はい。ソルダーマスクはほぼイプシロン-r 3.5で、トレース上の空気の一部を置き換えることで、イプシロン効果を約2〜5パーセント上昇させ、通常の50オームラインでZ0を同程度下げます。このカリキュレータは裸のマイクロストリップをモデル化します。マスクされたラインの場合は、制御インピーダンス計算機の埋め込みマイクロストリップモードを使用します。

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