원형 도파관 계산기 — 차단 주파수, TE11 모드와 TM01 모드

원형 도파관은 반지름으로 정해지는 차단 주파수 이상에서 마이크로파를 전송하는 속이 빈 금속관입니다. 내부의 전자기장은 횡전기(TE) 또는 횡자기(TM) 모드를 이루고, 각 모드의 모양은 베셀 함수로 정해지며, 각 모드는 자신의 차단 주파수 이상에서만 전파됩니다.

여기서 $a$ 는 내부 반지름, $\varepsilon_r$ 는 충전 물질의 비유전율, $\chi_{nm}$ 은 베셀 함수의 영점입니다. TE 모드에서는 $J'_n$ 의 $m$ 번째 영점 $p'_{nm}$, TM 모드에서는 $J_n$ 의 $m$ 번째 영점 $p_{nm}$ 을 씁니다(Pozar, Microwave Engineering, 제4판, 3.4절). 지수 $n$ 은 원주 방향의 전자기장 변화 수를, $m$ 은 반지름 방향의 변화 수를 나타냅니다. 계산기는 NIST Digital Library of Mathematical Functions 10.21절의 표에 따라 근을 소수점 이하 10자리까지 사용합니다.

단일 모드 대역

기본 모드는 $p'_{11} = 1.8412$ 인 TE₁₁ 이고, 그다음 모드는 $p_{01} = 2.4048$ 인 TM₀₁ 입니다. 따라서 도파관은 두 차단 주파수 사이에서만 단일 모드로 동작하며, 이 대역은 반지름이나 충전 물질과 관계없이 2.4048/1.8412 = 1.306 대 1입니다.

차단 주파수 이상

유전체 감쇠는 $\alpha_d = k^2\tan\delta/(2\beta)$ 입니다. $R_s = \sqrt{\omega\mu_0/2\sigma}$, $x = f_c/f$ 라 하면 도체 벽 손실은 다음과 같습니다.

이 식은 TE 모드의 벽 손실이며, TE₁₁ 에 대해서는 Pozar의 식 3.133과 같습니다. TM 모드의 벽 손실은 $R_s/(a\eta\sqrt{1-x^2})$ 입니다. $n = 0$ 이면 괄호 안의 TE 항에는 $x^2$ 만 남으므로, TE₀₁ 의 벽 손실은 주파수가 올라갈수록 계속 줄어듭니다.

차단 주파수 이하

차단 주파수보다 낮은 주파수에서는 모드가 전파되지 않습니다. 이때 전자기장은 $\alpha = \sqrt{(\chi_{nm}/a)^2 - k^2}$ 일 때 $e^{-\alpha z}$ 로 감쇠하며, 계산기는 이 값을 dB/m 단위로 보여 줍니다. 통풍구가 낮은 주파수를 막는 원리가 바로 차단 주파수 이하에서 동작하는 짧은 도파관입니다.

적용 범위

도파관은 한 가지 균질한 물질로 채워진 완전한 원통으로 가정하며, 모드 지수는 n = 0부터 5까지, m = 1부터 5까지입니다. 손실 공식은 섭동법에서 나온 것으로, 표피 깊이가 반지름보다 훨씬 작은 양도체와 작은 손실 탄젠트를 가정하며, β 가 0에 가까워지는 차단 주파수 바로 근처에서는 정확도가 떨어집니다. 손실 탄젠트가 0.1을 넘거나 표피 깊이가 반지름의 1%를 넘으면 경고와 함께 표시됩니다.