Rundhohlleiter-Rechner — Grenzfrequenz, TE11- und TM01-Mode

Ein Rundhohlleiter ist ein hohles Metallrohr, das Mikrowellen oberhalb einer durch seinen Radius festgelegten Grenzfrequenz führt. Seine Felder bilden Moden, transversal-elektrische (TE) oder transversal-magnetische (TM), jede durch eine Bessel-Funktion geformt, und jede Mode breitet sich nur oberhalb ihrer eigenen Grenzfrequenz aus:

Dabei ist $a$ der Innenradius, $\varepsilon_r$ die relative Permittivität der Füllung und $\chi_{nm}$ eine Nullstelle einer Bessel-Funktion: für TE-Moden die $m$-te Nullstelle $p'_{nm}$ von $J'_n$, für TM-Moden die $m$-te Nullstelle $p_{nm}$ von $J_n$ (Pozar, Microwave Engineering, 4. Aufl., Abschnitt 3.4). Der Index $n$ zählt die Feldvariationen entlang des Umfangs und $m$ die über den Radius. Der Rechner hält die Nullstellen auf zehn Dezimalstellen genau vor, wie sie in der NIST Digital Library of Mathematical Functions, Abschnitt 10.21, tabelliert sind.

Der Eindeutigkeitsbereich

Die Grundmode ist TE₁₁ mit $p'_{11} = 1.8412$, die nächste ist TM₀₁ mit $p_{01} = 2.4048$. Ein Hohlleiter führt daher nur zwischen diesen beiden Grenzfrequenzen eine einzige Mode, ein Band von 2,4048/1,8412 = 1,306 zu 1, unabhängig von Radius oder Füllung.

Oberhalb der Grenzfrequenz

Mit $k = 2\pi f\sqrt{\varepsilon_r}/c$ ist die Phasenkonstante $\beta = \sqrt{k^2 - (\chi_{nm}/a)^2}$, die Hohlleiterwellenlänge $2\pi/\beta$, die Phasengeschwindigkeit $\omega/\beta$ und die Gruppengeschwindigkeit $c^2/(\varepsilon_r v_p)$. Der Feldwellenwiderstand beträgt $k\eta/\beta$ für TE-Moden und $\beta\eta/k$ für TM-Moden, mit $\eta = \mu_0 c/\sqrt{\varepsilon_r}$.

Die dielektrische Dämpfung ist $\alpha_d = k^2\tan\delta/(2\beta)$. Die Wanddämpfung ist mit $R_s = \sqrt{\omega\mu_0/2\sigma}$ und $x = f_c/f$

für TE-Moden, was für TE₁₁ Pozars Gleichung 3.133 ist, und $R_s/(a\eta\sqrt{1-x^2})$ für TM-Moden. Mit $n = 0$ bleibt vom TE-Term in der Klammer nur $x^2$, sodass die Wanddämpfung von TE₀₁ mit steigender Frequenz immer weiter sinkt.

Unterhalb der Grenzfrequenz

Unterhalb ihrer Grenzfrequenz breitet sich eine Mode nicht aus. Ihre Felder klingen mit $e^{-\alpha z}$ ab, mit $\alpha = \sqrt{(\chi_{nm}/a)^2 - k^2}$, was der Rechner in dB/m angibt. Auf einem kurzen Hohlleiterstück unterhalb der Grenzfrequenz beruht es, dass eine Lüftungsöffnung niedrige Frequenzen sperrt.

Gültigkeit

Der Hohlleiter ist ein idealer Kreiszylinder, gefüllt mit einem einzigen homogenen Material, und die Modenindizes reichen von n = 0 bis 5 und m = 1 bis 5. Die Dämpfungsformeln stammen aus der Störungsrechnung: Sie setzen einen guten Leiter mit einer Eindringtiefe weit unter dem Radius sowie einen kleinen Verlustfaktor voraus und verlieren sehr nahe an der Grenzfrequenz an Genauigkeit, wo β gegen null geht. Ein Verlustfaktor über 0,1 oder eine Eindringtiefe über 1% des Radius wird mit einer Warnung angezeigt.