Impédance PDN : dompter les résonances à l'aide d'un algorithme génétique

Le problème : un rail FPGA 1,0 V qui ne reste pas silencieux

Les FPGA modernes sont des créatures gourmandes en énergie. Nous parlons de 30 A ou plus à partir d'un rail central de 1,0 V. Le calcul de l'impédance cible est assez simple :

Cela représente 1,67 milliohms, et vous devez l'atteindre sur une plage de fréquences ridiculement large. De moins de 100 kHz, là où le VRM fait toujours son travail, jusqu'à 1 GHz, où le découplage des boîtiers entre enfin en jeu. Tout ce qui se trouve entre les deux ? C'est le réseau de distribution d'énergie de votre PCB qui vole en solo. Et c'est exactement là que les résonances adorent se cacher et causer des problèmes.

Disons que vous avez une planche de 100 mm x 120 mm. Norme FR-4 avec $\varepsilon_r = 4.3$ et $\tan\delta = 0.02$. Vos plans d'alimentation et de masse sont séparés par un maigre 0,1 mm, soit environ 4 mils de diélectrique. Cela semble raisonnable, non ? Connectons-le à l'analyseur d'impédance PDN à l'adresse rftools.io/tools/pdn-impedance et voyons ce qui se passe réellement.

Résonances de cavités à paires planes

Voici une chose que la plupart des guides de mise en page passent sous silence : ces deux plans de cuivre parallèles séparés par un mince diélectrique ? Ils forment une cavité résonnante. Il s'agit essentiellement d'un résonateur micro-ondes rectangulaire, vraiment très plat. Les fréquences de résonance suivent la même physique que n'importe quelle autre cavité :

Les variables sont simples : $a$ et $b$ sont les dimensions de votre carte, $m$ et $n$ sont les indices de mode (entiers commençant à zéro) et $c$ est la vitesse de la lumière. Pour notre carte de 100 mm × 120 mm avec la constante diélectrique du FR-4 de 4,3, vous obtenez des résonances à :

• Mode TM₁₀ à 723 MHz
• Mode TM₀₁ à 602 MHz
• Mode TM₁₁ à 941 MHz

À chacune de ces fréquences, l'impédance entre vos plans augmente. Si l'un de ces pics dépasse votre impédance cible, le FPGA voit une chute de tension exactement à cette fréquence. Vos E/S à haut débit n'apprécient pas cela et vous allez commencer à générer des interférences électromagnétiques parasites qui rendront le centre de test EMC très mécontent.

Le modèle de cavité : la fonction de Novak's Green

L'analyseur met en œuvre l'approche fonctionnelle de Green d'Istvan Novak pour modéliser ce désordre. L'impédance entre deux points arbitraires de la paire plane est donnée par :

Ici, $d$ est votre épaisseur diélectrique, $k_x = m\pi/a$ et $k_y = n\pi/b$ sont les nombres d'onde spatiaux, $k = \omega\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0 \varepsilon_r}$ est la constante de propagation et $\delta_m$ est le facteur de Neumann, qui vaut 1 alors que $m=0$ et 2 sinon. Il en va de même pour $\delta_n$. L'analyseur évalue la somme en un seul port, là où le circuit intégré tire son courant ($x_1 = x_2$, $y_1 = y_2$), et donne une taille à ce port : un carré fixé par l'entrée Taille du port, 1 mm par défaut, sur lequel chaque cosinus est moyenné. Avec un port ponctuel, la somme ne converge jamais, car la fonction de Green 2D est singulière à la source ; le résultat dépendrait donc de l'endroit où l'on tronque la somme. Avec un port de taille finie, elle converge, et sous le premier mode le résultat ne dépend plus de la limite haute du balayage.

Par défaut, l'outil place le port au point au tiers de la carte, $(a/3, b/3)$, soit (33,3 mm, 40 mm) sur cette carte, et ce choix est délibéré. La tension de chaque mode varie comme $\cos(m\pi x/a)\cos(n\pi y/b)$, si bien qu'au centre, tout mode d'indice $m$ impair ou $n$ impair a un nœud : TM₁₀, TM₀₁ et TM₁₁ y disparaissent tous. Seuls les modes pair-pair comme TM₂₀, TM₀₂ et TM₂₂ ont leur maximum au centre, et sur cette carte le premier d'entre eux, TM₀₂, est à 1205 MHz, au-dessus du balayage. Un coin, à l'inverse, est un maximum de tension de tous les modes. Au point au tiers, $\cos(m\pi/3)$ n'est jamais nul, donc aucun mode n'y a de nœud : chacun s'y couple avec au moins 1/16 de l'intensité qu'il aurait dans un coin, et l'outil affiche le couplage à côté de chaque mode, ici 0,25 pour TM₀₁ et TM₁₀ et 0,063 pour TM₁₁. La valeur par défaut ne remplace pas pour autant votre implantation : placez le port en X et Y à l'endroit où se trouve réellement le BGA, et vérifiez un point proche d'un coin pour le pire cas.

Pourquoi une valeur de condensateur ne suffit pas

Chaque MLCC possède une fréquence de résonance en série où son impédance chute à l'ESR uniquement. Cette fréquence est déterminée par l'inductance et la capacité du condensateur :

Prenez un condensateur typique de 100 nF 0402 avec environ 400 pH d'ESL. Il résonnera autour de 25 MHz. En dessous de cette fréquence, il se comporte comme un condensateur et contribue à réduire l'impédance de votre PDN. Au dessus de ça ? Cela commence à paraître inductif et ne fait qu'empirer les choses.

Pour couvrir toute la bande de 100 kHz à 1 GHz, plusieurs valeurs de condensateurs doivent travailler ensemble. La bibliothèque de l'analyseur en compte sept, chacune couvrant une tranche de fréquences différente :

La question est la suivante : combien de chaque type ? C'est là que les choses deviennent intéressantes, car il s'agit d'un problème d'optimisation combinatoire avec un espace de solution énorme.

L'approche de l'algorithme génétique

L'analyseur utilise un algorithme génétique pour trouver le mélange optimal. Chaque solution candidate est représentée sous la forme d'un vecteur de sept entiers, un pour chaque type de condensateur, avec la contrainte que le total ne doit pas dépasser 30 caps. Il s'agit d'une limite réaliste basée sur l'espace que vous avez réellement sur la carte autour d'une empreinte BGA typique.

La fonction d'adaptation fonctionne ainsi : pour chaque solution candidate, l'outil calcule l'impédance combinée de tout le PDN. Il s'agit de l'impédance de cavité de la paire de plans en parallèle avec tous les condensateurs et le régulateur. Il cherche ensuite le pire rapport entre $|Z_{PDN}|$ et $Z_{target}$ sur la bande de découplage, qui va du bas du balayage à 80 % de la première résonance de cavité : de 100 kHz à 482 MHz sur cette carte, où TM₀₁ est à 602 MHz. Le rôle du GA est de minimiser ce rapport : avec une cible plate, c'est le pire point de la bande, où qu'il soit, qui fixe la chute de tension. Les conceptions situées à 0,1 dB ou moins du rapport le plus bas sont considérées à égalité, et parmi elles l'outil choisit celle qui maintient le reste de la bande au plus près de la cible là où le budget peut l'atteindre, et au plus près du plancher, l'impédance la plus basse qu'atteint une conception dans le budget, là où il ne le peut pas. Les fréquences de cette bande où aucune conception dans le budget ne peut atteindre la cible sont signalées comme inatteignables, avec leur plancher, et elles comptent dans le verdict.

Selection utilise la sélection des tournois avec $k=4$. Vous prenez quatre individus au hasard dans la population, et celui qui a la meilleure forme physique (violation la plus faible de l'impédance cible) se reproduit. Le croisement est un croisement en deux points sur le vecteur génique. Lorsque vous créez un enfant, il existe une étape de réparation des contraintes : si l'enfant se retrouve avec plus de 30 limites au total, l'algorithme réduit le nombre de condensateurs de manière aléatoire jusqu'à ce que vous retrouviez sous la limite. La mutation donne à chaque gène une chance d'être ajusté selon le $\pm 1$, suivie d'une autre série de clampage par contrainte pour que les choses restent légales. L'amorçage et l'affinage encadrent le GA. Un dixième de la première population est construit de manière gloutonne, en ajoutant un condensateur à la fois là où il fait le plus baisser le pire cas. Après la dernière génération, les meilleures conceptions que la recherche a évaluées sont affinées un mouvement à la fois (ajouter, retirer ou échanger un condensateur), jugées selon le même classement en deux étapes sur le vrai pire cas, que l'outil cherche entre les points de grille au lieu de le lire sur ceux-ci, jusqu'à ce qu'aucun mouvement isolé n'améliore plus le classement. C'est pourquoi des graines aléatoires différentes aboutissent à la même conception.

Exécution de l'optimiseur

Voici ce que nous avons intégré à l'outil :

• Dimensions de la carte : 100 mm × 120 mm, $\varepsilon_r = 4.3$, $\tan\delta = 0.02$
• Espacement des plans : 0,1 mm
• Alimentation : rail de 1,0 V, charge de 30 A, budget d'ondulation de 5 %, d'où une cible de 1,67 mΩ
• Caractéristiques du VRM : résistance de sortie (DCR) de 0,5 mΩ et bande passante de boucle par défaut de 100 kHz, dont l'outil déduit 0,8 nH d'inductance de sortie ; inductance de la carte à sa valeur par défaut de 1 nH
• Port : laissé vide, l'outil le place donc au point au tiers, (33,3 mm, 40 mm), avec la taille de port par défaut de 1 mm
• Balayage en fréquence : de 100 kHz à 1 GHz
• Budget de condensateurs : 30 condensateurs de découplage au maximum

Nous l'avons exécuté sur la voie gratuite, où le GA a une population de 200 individus sur 150 générations (la voie payante utilise 400 sur 400). Les résultats ont été assez éclairants.

Profil d'impédance

Vue depuis le port par défaut, l'impédance de la paire de plans sans aucun découplage présente une pointe à chacune des trois résonances de cavité, exactement comme le prédisaient les calculs, et une autre bien plus grande vers 54 MHz, où le chemin d'alimentation de 1,8 nH résonne avec les 4,6 nF des plans. Ajoutez le jeu optimisé de 30 condensateurs, et le verdict de l'outil est sans appel : cible non atteinte sur 100 kHz–482 MHz. Le pire cas est de 62,19 mΩ à 208 MHz, +31,42 dB au-dessus de la cible : une antirésonance, où les pièces de 10 nF, inductives au-dessus de leur SRF de 85 MHz, résonnent avec les pièces de 1 nF et les plans, tous deux encore capacitifs à cet endroit, les plans jusqu'à leur résonance série vers 240 MHz. Au-dessus d'environ 140 kHz, le profil dépasse la cible partout dans la bande, avec des pics plus bas de 17 mΩ vers 1 MHz, où les condensateurs réservoirs résonnent avec le chemin d'alimentation, et de 39 mΩ vers 18 MHz.

Par rapport à la carte sans découplage, c'est une nette amélioration là où la carte était la pire : ses 47 Ω à 54 MHz tombent à 13 mΩ, et le pire cas de la conception se situe plus de 57 dB en dessous. Elle n'est pas plus basse partout pour autant. À 208 MHz, la carte sans découplage affiche 45 mΩ, et vers 1 MHz 11,6 mΩ contre 16,6 mΩ pour la conception : ajouter de la capacité crée des antirésonances tout autant qu'il en supprime. L'outil dit aussi pourquoi la cible est hors d'atteinte : de 16 MHz au bord de la bande, à deux fenêtres étroites près, il marque la bande comme inatteignable, car aucune conception de 30 pièces de sa bibliothèque ne descend sous 1,672 à 2,151 mΩ à cet endroit. Aucune combinaison ne peut atteindre la cible à ces fréquences. Ces planchers sont proches de la cible, mais chacun est le mieux que 30 pièces puissent faire à une seule fréquence prise isolément ; une conception doit couvrir toute la bande à la fois, et la meilleure que trouve l'outil culmine à 62,19 mΩ. Les pics de résonance au-dessus de la bande demeurent : à ces fréquences, les condensateurs sont inductifs, si bien que le découplage ne peut pas les supprimer. Ce qui les maîtrise, c'est l'amortissement des plans, des condensateurs placés là où la tension d'un mode est grande (pas sur ses nœuds) et le traitement des bords ; l'analyseur regroupe tous les condensateurs au port, le placement sort donc de ce qu'il modélise.

Mélange de condensateurs optimisé

Après 150 générations et l'affinage qui suit, le GA s'est arrêté sur cette solution, et trois graines aléatoires différentes renvoient la même :

Regardez cette répartition. Vingt-sept des trente pièces sont des 10 nF et des 1 nF, les valeurs de plus faible ESL de la bibliothèque. Avec une cible plate, c'est le pire point de la bande qui fixe la chute de tension, si bien que l'optimiseur classe d'abord les conceptions sur ce point, et sur cette carte ce point est l'antirésonance au-dessus de 200 MHz : la contenir demande beaucoup de pièces à faible ESL. Le côté réservoir reçoit une pièce de 10 µF, une de 1 µF et une de 100 nF, aucune de 47 µF ni de 100 µF, et le reste de la bande reste sous le pic. Le verdict reste un échec, et les plages inatteignables disent pourquoi : au-dessus de 16 MHz, à deux fenêtres étroites près, aucune combinaison de 30 pièces de la bibliothèque n'atteint la cible. Le problème vient du budget, pas de la combinaison.

Comportement de convergence GA

La métrique d'adaptation (le pire rapport $|Z_{PDN}|/Z_{target}$ sur la grille de fréquences, sur toute la bande) a démarré à 37,46 à la première génération, qui contient déjà les amorces gloutonnes. À la génération 4, elle était descendue à 37,13 et n'a plus bougé. Les 62,19 mΩ du verdict valent 37,24 fois la cible, un peu plus, car l'outil affine le pic entre les points de grille. Cela vous indique que le GA a trouvé sa réponse bien avant la limite de 150 générations, et que cette réponse est très au-dessus de 1. Les leviers sont davantage de condensateurs ou une cible moins exigeante.

Des idées de conception qui comptent vraiment

1. L'espacement des plans est plus important que vous ne le pensez

Réduisez l'espacement de la paire de plans de 0,2 mm à 0,1 mm et vous doublez à peu près la capacité entre plans. Rappelez-vous : $C = \varepsilon_0 \varepsilon_r A / d$ — la capacité est inversement proportionnelle à l'espacement. En revanche, l'espacement ne déplace pas les résonances de cavité : $d$ n'apparaît pas dans $f_{mn}$, qui ne dépend que des dimensions de la carte et de $\varepsilon_r$. L'espacement fixe la hauteur des pics. Diviser $d$ par deux divise par deux l'inductance d'étalement des plans et, avec elle, l'impédance de la paire de plans, pics compris ; de plus, le diélectrique plus mince ajoute des pertes dans les conducteurs, ce qui abaisse le Q et amortit encore les pics. Cela peut éviter deux ou trois condensateurs de découplage. Si votre empilement accepte un espacement plus serré entre plans, c'est probablement l'amélioration du PDN la moins chère que vous puissiez faire. La plupart des ingénieurs sautent cette optimisation et le regrettent plus tard, quand ils essaient de caser davantage de condensateurs.

###2. L'ESL domine au-dessus de 100 MHz

Au-dessus de sa fréquence de résonance série, un condensateur cesse de se comporter comme un condensateur : il paraît inductif. C'est l'ESL, et non la valeur de capacité, qui détermine ce qui se passe aux hautes fréquences. C'est pourquoi l'optimiseur consacre l'essentiel du budget aux pièces de plus faible ESL de sa bibliothèque : 27 des 30 condensateurs ci-dessus sont des 10 nF et des 1 nF en 0402, à 350 et 300 pH, contre 600 à 1200 pH pour les pièces de réservoir en 0603 à 1206, et avec 200 condensateurs il choisit 129 pièces de 10 nF et 57 de 1 nF. Cette différence est décisive quand vous visez une cible de 1,67 mΩ à 400 MHz.

3. N'ignorez pas l'inductance de la boucle VRM

Votre module régulateur de tension possède une inductance de sortie, généralement étiquetée $L_{VRM}$ dans les fiches techniques. Cela crée une augmentation d'impédance aux basses fréquences qu'aucune quantité de capacité apparente ne peut complètement corriger. Si le $L_{VRM}$ est trop élevé, vous aurez un écart entre l'endroit où la bande passante de contrôle du VRM s'arrête et le moment où votre réseau de découplage commence à faire son travail utile. L'analyseur le modélise comme un RL série en sortie du VRM, avec $L_{VRM} = R_{DC}/(2\pi f_{BW})$ déduite de la DCR et de la bande passante de boucle (0,8 nH pour ce rail), plus une inductance de carte en série pour le chemin du régulateur aux plans, une entrée qui vaut 1 nH par défaut. C'est plus important que la plupart des gens ne le pensent.

##4. La contrainte de 30 plafonds est en fait réaliste

Avec une empreinte BGA typique de 15 mm × 15 mm, on peut physiquement placer peut-être 30 à 40 condensateurs de découplage dans une couronne de 5 mm autour du boîtier. Au-delà, soit les condensateurs se chevauchent, soit on les repousse si loin que leur inductance annule leur efficacité. La contrainte oblige l'optimiseur à faire des compromis intelligents au lieu de forcer le problème avec des centaines de condensateurs. L'outil vous dit aussi quand une cible dépasse ce que la carte peut faire seule. Relancez ce rail avec 200 condensateurs : il échoue encore, avec un pire cas de 7,3 mΩ à 232 MHz, et 186–214 MHz et 392–482 MHz restent inatteignables. À 1,67 mΩ, le haut de la bande revient à la capacité du boîtier et de la puce.

Comparaison avec une solution triée sur le volet

Une règle empirique courante préconise dix condensateurs de 100 nF, cinq de 10 µF et cinq de 1 µF. Cela fait 20 condensateurs au total, et aucun ne résonne au-dessus des 25 MHz du 100 nF. L'analyseur n'évalue pas une combinaison fixe, mais il borne toute combinaison de 20 : lancez-le avec un budget de 20 condensateurs et il marque de 10 MHz à 482 MHz comme inatteignable, à une fenêtre étroite près à la résonance série des plans, car aucune combinaison de 20 pièces de sa bibliothèque ne descend sous 1,677 mΩ où que ce soit dans cette plage. La règle empirique y échoue donc avant même que vous ne la lanciez. Ajoutez cinq condensateurs de 10 nF, et l'exécution à 25 ne repousse le début de cette plage qu'à 13 MHz.

La solution du GA utilise cinq des sept valeurs de condensateur et répartit le nombre de façon à contenir le pire point du profil d'impédance. Aucune règle empirique ne peut égaler ce niveau de connaissance du domaine fréquentiel. C'est comme la différence entre mélanger de la peinture à l'œil et utiliser un spectrophotomètre.

Notes pratiques à connaître

La sensibilité à la taille de la carte compte. Les cartes plus grandes ont des résonances de cavité plus basses en fréquence. Sur le même FR-4, une carte mère de serveur de 200 mm × 250 mm a son mode le plus bas, TM₀₁ le long du côté de 250 mm, à 289 MHz, en plein milieu de votre bande de découplage, là où c'est un vrai problème. Les cartes plus petites, comme 50 mm × 50 mm, repoussent ces résonances au-dessus de 1 GHz, où elles posent beaucoup moins de problèmes. La constante diélectrique affecte tout. Chaque fréquence de mode varie comme $1/\sqrt{\varepsilon_r}$, et la capacité des plans varie comme $\varepsilon_r$. Les stratifiés à faibles pertes comme le Rogers RO4350B ($\varepsilon_r = 3.48$) et le Megtron 6 (environ 3,4 à 3,7) ont un $\varepsilon_r$ plus faible que le FR-4 (environ 4,2 à 4,6) : passer à l'un d'eux relève donc vos fréquences de résonance, d'environ 11 % en passant de 4,3 à 3,48, et réduit la capacité entre plans dans la même proportion. Pour abaisser les modes, les leviers sont un diélectrique à $\varepsilon_r$ plus élevé, comme les stratifiés minces à capacité enfouie conçus pour les paires de plans, ou des plans plus grands. Dans tous les cas, vérifiez où tombent les modes avant de changer de matériau. Le FR-4 à 4,3 est assez intermédiaire, c'est pourquoi il est si populaire. La tangente de perte assure l'amortissement. Le $\tan\delta$ du FR-4 d'environ 0,02 vous permet d'amortir légèrement ces pics de résonance. Passez à un laminé à faible perte avec un $\tan\delta$ autour de 0,002 et vous verrez des pics de résonance beaucoup plus nets, plus difficiles à supprimer lors du découplage. Parfois, une petite perte est votre alliée.

Conclusion

La conception d'un PDN est fondamentalement un problème du domaine fréquentiel qui couvre quatre décades de bande passante. Ces résonances de cavité de la paire de plans créent des pics d'impédance que les stratégies de découplage choisies à la main manquent presque toujours. L'approche par algorithme génétique trouve la meilleure combinaison de condensateurs possible pour la bande située sous le premier mode de cavité, en respectant des contraintes réalistes sur le nombre de condensateurs que vous pouvez physiquement placer ; et quand aucune combinaison de ce nombre ne peut atteindre la cible, l'outil vous dit où et de combien, au lieu de le cacher.

Vous pouvez essayer l'outil vous-même à l'adresse rftools.io/tools/pdn-impedance. Indiquez les dimensions de votre carte, les paramètres d'empilage et les exigences en matière d'alimentation, puis laissez l'optimiseur déterminer la solution de découplage. Il trouvera probablement quelque chose de mieux que la règle empirique que vous aviez l'intention d'utiliser.

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