円形導波管計算ツール — 遮断周波数、TE11モードとTM01モード

円形導波管は、半径で決まる遮断周波数より高い周波数のマイクロ波を伝送する中空の金属管です。その電磁界はTE（横電界）モードまたはTM（横磁界）モードを形成し、それぞれの形はベッセル関数で決まります。各モードは、それぞれの遮断周波数より高い周波数でのみ伝搬します：

ここで、$a$ は内半径、$\varepsilon_r$ は充填材の比誘電率、$\chi_{nm}$ はベッセル関数の零点です。TEモードでは $J'_n$ の $m$ 番目の零点 $p'_{nm}$、TMモードでは $J_n$ の $m$ 番目の零点 $p_{nm}$ です（Pozar『Microwave Engineering』第4版、3.4節）。添字 $n$ は円周方向の電磁界の変化の数を、$m$ は半径方向の変化の数を表します。計算ツールは、NIST Digital Library of Mathematical Functions の10.21節の表のとおり、零点を小数点以下10桁まで保持しています。

単一モード帯域

基本モードは $p'_{11} = 1.8412$ のTE₁₁で、次のモードは $p_{01} = 2.4048$ のTM₀₁です。したがって、導波管が単一モードで伝送できるのは2つの遮断周波数の間だけで、その帯域は半径や充填材によらず 2.4048/1.8412 = 1.306 対1です。

遮断周波数より上

誘電体による減衰は $\alpha_d = k^2\tan\delta/(2\beta)$ です。管壁による損失は、$R_s = \sqrt{\omega\mu_0/2\sigma}$、$x = f_c/f$ として、TEモードでは次のようになります：

これはTE₁₁に対するPozarの式3.133です。TMモードでは $R_s/(a\eta\sqrt{1-x^2})$ です。$n = 0$ では括弧内のTE項が $x^2$ だけになるため、TE₀₁の管壁損失は周波数が上がるにつれて下がり続けます。

遮断周波数より下

遮断周波数より下では、モードは伝搬しません。その電磁界は $\alpha = \sqrt{(\chi_{nm}/a)^2 - k^2}$ として $e^{-\alpha z}$ のように減衰し、計算ツールはこの減衰をdB/mで表示します。通気口が低い周波数を遮断できるのは、遮断周波数以下の短い導波管として働くからです。

適用範囲

導波管は1種類の均質な材料で満たされた完全な円柱とし、モード添字は n = 0〜5、m = 1〜5 の範囲です。損失の式は摂動法によるもので、表皮深さが半径よりはるかに小さい良導体と、小さな誘電正接を前提としています。また、β がゼロに近づく遮断周波数のごく近くでは精度が落ちます。誘電正接が0.1を超える場合、または表皮深さが半径の1%を超える場合は、警告付きで表示されます。