PCB 電源プレーンインピーダンス計算ツール

電源プレーンインピーダンス計算ツールは、長さ $l$、幅 $w$、間隔 $d$ の電源・グランドプレーン対を平行平板構造として扱います。プレーン間容量、長さ方向に流れる電流に対するプレーンインダクタンス、指定した周波数でのそのインダクタンスのリアクタンス、そしてプレーン対の最初のキャビティ共振である TM₁₀ と TM₀₁ を求めます。容量は $C = \varepsilon_0 \varepsilon_r l w / d$ で、既定の 100 × 80 mm、誘電体厚 0.1 mm（$\varepsilon_r = 4.4$）のプレーン対では 3.117 nF、1 cm² あたり約 38.96 pF です。間隔を半分にすると容量は 2 倍になります。

プレーン対には、1 スクエアあたり $\mu_0 d$ のシートインダクタンスもあります。間隔 1 mm あたり 1.2566 nH、0.1 mm では 1 スクエアあたり 125.66 pH です。一方の辺から対向する辺へ電流が一様に流れる場合、インダクタンスは $L = \mu_0 d \, l / w$ で、シートインダクタンスに経路に沿ったスクエア数 $l/w$ を掛けたものです。これは間隔とアスペクト比で決まり、面積には依存しません。既定値では 0.15708 nH で、そのリアクタンス $X_L = 2\pi f L$ は 100 MHz で 98.70 mΩ です。このリアクタンスがプレーンを表すのは最初の共振より十分低い周波数に限られ、デバイスがプレーン上の一点で見るインピーダンスでもありません。

インダクタンスと容量は集中定数の LC 回路ではありません。プレーン対は分布定数構造、つまり二次元の伝送線路であり、いずれかの辺の長さが誘電体中の半波長の整数倍になると共振します。辺が開放の場合、長方形プレーン対の共振周波数は $f_{mn} = \frac{c}{2\sqrt{\varepsilon_r}}\sqrt{(m/l)^2 + (n/w)^2}$ です（Swaminathan・Engin、Novak）。TM₁₀ は長さ方向の半波長、TM₀₁ は幅方向の半波長で、既定値ではそれぞれ 714.6 MHz と 893.3 MHz です。両者のうち低い方、つまり長辺方向の半波長が最初の共振です。間隔 $d$ は式に現れないため、誘電体を薄くしてもモードは移動しません。$L$ と $C$ を集中定数回路として扱うと $1/(2\pi\sqrt{LC}) = c/(2\pi l \sqrt{\varepsilon_r})$ となり、π 倍低すぎる値、この例では 227.5 MHz になります。

キャビティ共振が PDN 設計で重要なのは、プレーン間のインピーダンスが各共振でピークになるからです。これが反共振で、そこではプレーン対はもはやコンデンサとして振る舞いません。各モードには定在波の電圧分布があり、プレーンの辺と角で最大、節線上でゼロになります。TM₁₀ では長さの中央を横切る線が節線です。節線上のコンデンサはそのモードを減衰できませんが、辺や角の近くのコンデンサは減衰できます。インピーダンスをどこまで低く保つべきかは、電源レールのターゲットインピーダンス $Z_{target} = \Delta V / \Delta I$ で決まります。5 %（50 mV）の変動が許される 1.0 V レールで 2 A の過渡電流があれば、25 mΩ が必要です。実装されたデカップリングコンデンサが実装インダクタンスで制限される帯域から、ほぼ最初のキャビティ共振までは、プレーンがその役割の大部分を担います。それより上では、PDN インピーダンスツールでモードとコンデンサを一緒にモデル化してください。