PCB 파워 플레인 임피던스 계산기

파워 플레인 임피던스 계산기는 길이 $l$, 너비 $w$, 간격 $d$ 인 전원-그라운드 플레인 쌍을 평행판 구조로 다룹니다. 플레인 커패시턴스, 길이 방향으로 흐르는 전류에 대한 플레인 인덕턴스, 지정한 주파수에서 그 인덕턴스의 리액턴스, 그리고 플레인 쌍의 첫 캐비티 공진인 TM₁₀과 TM₀₁을 계산합니다. 커패시턴스는 $C = \varepsilon_0 \varepsilon_r l w / d$ 로, 기본값인 100 × 80 mm, 유전체 두께 0.1 mm($\varepsilon_r = 4.4$) 플레인 쌍에서는 3.117 nF, cm²당 약 38.96 pF입니다. 간격을 절반으로 줄이면 커패시턴스는 두 배가 됩니다.

플레인 쌍에는 스퀘어당 $\mu_0 d$ 의 시트 인덕턴스도 있습니다. 간격 1 mm당 1.2566 nH, 0.1 mm에서는 스퀘어당 125.66 pH입니다. 전류가 한 변에서 반대편 변으로 균일하게 흐를 때 인덕턴스는 $L = \mu_0 d \, l / w$ 로, 시트 인덕턴스에 경로를 따른 스퀘어 수 $l/w$ 를 곱한 값입니다. 이 값은 간격과 종횡비로 정해지며 면적과는 무관합니다. 기본값에서는 0.15708 nH이고, 그 리액턴스 $X_L = 2\pi f L$ 은 100 MHz에서 98.70 mΩ입니다. 이 리액턴스는 첫 공진보다 충분히 낮은 주파수에서만 플레인을 나타내며, 디바이스가 플레인 위의 한 점에서 보는 임피던스도 아닙니다.

인덕턴스와 커패시턴스는 집중 정수 LC 회로가 아닙니다. 플레인 쌍은 분포 정수 구조, 즉 2차원 전송선로이며, 한 변의 길이가 유전체 내 반파장의 정수배가 될 때 공진합니다. 가장자리가 개방된 경우 직사각형 플레인 쌍의 공진 주파수는 $f_{mn} = \frac{c}{2\sqrt{\varepsilon_r}}\sqrt{(m/l)^2 + (n/w)^2}$ 입니다(Swaminathan과 Engin, Novak). TM₁₀은 길이 방향의 반파장, TM₀₁은 너비 방향의 반파장이며, 기본값에서는 각각 714.6 MHz와 893.3 MHz입니다. 둘 중 낮은 쪽, 즉 긴 변 방향의 반파장이 첫 공진입니다. 간격 $d$ 는 식에 나타나지 않으므로 유전체를 얇게 해도 모드는 이동하지 않습니다. $L$ 과 $C$ 를 집중 정수 회로로 취급하면 $1/(2\pi\sqrt{LC}) = c/(2\pi l \sqrt{\varepsilon_r})$ 가 되어 π배만큼 너무 낮은 값, 이 예에서는 227.5 MHz가 나옵니다.

캐비티 공진이 PDN 설계에서 중요한 이유는 플레인 사이의 임피던스가 각 공진에서 피크가 되기 때문입니다. 이것이 반공진이며, 이때 플레인 쌍은 더 이상 커패시터처럼 동작하지 않습니다. 각 모드에는 정재파 전압 분포가 있어 플레인의 가장자리와 모서리에서 가장 크고 마디선에서는 0이 됩니다. TM₁₀의 경우 길이의 중앙을 가로지르는 선이 마디선입니다. 마디선 위의 커패시터는 그 모드를 감쇠시킬 수 없지만, 가장자리와 모서리 근처의 커패시터는 감쇠시킬 수 있습니다. 임피던스를 얼마나 낮게 유지해야 하는지는 레일의 목표 임피던스 $Z_{target} = \Delta V / \Delta I$ 가 정합니다. 5 %(50 mV)의 변동이 허용되는 1.0 V 레일에 2 A의 과도 전류가 흐르면 25 mΩ이 필요합니다. 실장된 디커플링 커패시터가 실장 인덕턴스로 제한되는 대역부터 대략 첫 캐비티 공진까지는 플레인이 그 역할의 대부분을 맡습니다. 그보다 위에서는 PDN 임피던스 도구로 모드와 커패시터를 함께 모델링하세요.