Comment fonctionne l'abaque de Smith

Avant que l'abaque de Smith prenne tout son sens, il faut saisir intuitivement pourquoi il compte. Lorsqu'un signal parcourt une ligne de transmission et atteint une charge d'impédance différente, une partie de la puissance repart en arrière. Déplacez le curseur pour voir quelle part.

La fraction renvoyée est déterminée par le coefficient de réflexion Γ = (Z − Z₀) / (Z + Z₀). Pour R = Z₀, Γ = 0. Pour un court-circuit (R = 0) ou un circuit ouvert (R = ∞), |Γ| = 1. Tout ce qui se trouve entre les deux, c'est la raison d'être de l'abaque de Smith.

Toute impédance complexe Z = R + jX correspond à exactement un point du plan complexe Γ : normalisez-la par l'impédance du système, z = Z/Z₀, puis Γ = (z − 1) / (z + 1). Le module de Γ est compris entre 0 et 1, et l'abaque de Smith n'est autre que le plan Γ : le centre est une adaptation parfaite, le bord une réflexion totale. Déplacez le point ou utilisez les curseurs et observez où tombe Γ.

Remarquez ce qui ne change pas lorsque vous suivez le cercle en pointillés : |Γ| et, avec lui, le VSWR, l'affaiblissement de réflexion et les pertes de désadaptation. Seule la phase bouge. C'est sur ce cercle qu'une ligne de transmission sans pertes fera tourner cette charge au chapitre 5.

Le cercle unité |Γ| = 1 est la limite extérieure. Les points situés au-delà exigeraient une résistance négative, physiquement impossible pour une charge passive. Toute impédance passive se place à l'intérieur ou sur le cercle unité. Cette limite est le bord de l'abaque de Smith.

L'abaque de Smith n'est que le plan Γ recouvert d'une grille de coordonnées particulière, qui permet de lire directement les valeurs d'impédance. Construisez-la couche par couche.

Les lignes de la grille n'ont rien d'arbitraire. Chaque cercle à r constante et chaque arc à x constante découle directement de la transformation Γ = (z−1)/(z+1). Smith n'a pas inventé de nouveau système de coordonnées : il a simplement tracé les bons cercles pour que les ingénieurs n'aient pas à faire de calcul complexe à la main.

Déplacez maintenant un point n'importe où sur l'abaque. Le cercle de résistance et l'arc de réactance qui le traversent s'allument, et R et X s'y lisent directement. Les cas particuliers des manuels sont repérés : l'adaptation au centre, le court-circuit et le circuit ouvert aux deux extrémités de l'axe.

Chaque point se trouve sur exactement un cercle de résistance et un arc de réactance : lire un point, c'est lire ces deux nombres. Le cercle de VSWR en pointillés du chapitre 2 les croise tous : se déplacer le long d'une ligne de transmission sans pertes décrit exactement ce cercle. C'est ce que montre le chapitre suivant.

Lorsque vous insérez une ligne de transmission sans pertes entre la source et la charge, l'impédance vue côté source est l'impédance de charge tournée autour du cercle de VSWR. Faites varier la longueur ci-dessous, ou appuyez sur Lecture, pour le voir.

Deux longueurs comptent plus que les autres : λ/4 fait tourner d'exactement 180° ; un transformateur quart d'onde change une impédance élevée en impédance faible et inversement. λ/2 effectue un tour complet et revient à l'impédance d'origine. C'est pourquoi les tronçons de ligne λ/2 sont transparents sur l'abaque de Smith : ils restituent l'impédance de charge inchangée.

Rassemblons maintenant le tout. La charge ci-dessous vaut Z = 25+j30 Ω, une véritable impédance d'antenne vue à l'entrée d'un LNA mal adapté. Votre objectif : concevoir un réseau en L (un élément série + un élément parallèle) qui la transforme en 50 Ω. Déplacez les curseurs et regardez le chemin se tracer sur l'abaque.

Ce réseau en L à deux éléments est la topologie d'adaptation la plus simple. Pour une bande passante plus large, vous utiliseriez un réseau en Pi ou en T (plus d'éléments, plus de degrés de liberté). Mais le principe reste toujours le même : parcourez la grille de l'abaque de Smith par des déplacements série (le long des cercles r) et parallèle (le long des cercles g) jusqu'à atteindre le centre.