버터워스 대 체비쇼프 대 베셀 필터

필터 유형 선택

아날로그 설계의 모든 곳에서 세 가지 필터 근사치가 표시됩니다.어떤 것을 선택하느냐에 따라 응용 분야에서 가장 중요한 것이 무엇인지가 결정됩니다.

많은 엔지니어들이 모든 것에 대해 Butterworth를 기본으로 사용하는 것을 보았는데 솔직히 대부분의 경우 잘 작동합니다.하지만 장단점을 이해하면 부품을 줄이거나 필요할 때 더 나은 성능을 얻을 수 있습니다.

버터워스: 안전 기본값

버터워스 필터는 리플이 전혀 없는 완전히 평탄한 통과대역을 제공합니다.크기 응답은 다음과 같습니다.

차단 주파수에서는 선택한 순서에 관계없이 항상 정확히 -3dB를 얻습니다.롤오프는 20n dB/decade이며 여기서 n은 필터 차수입니다.단순하고 예측 가능하며 제대로 작동합니다.

4급 버터워스는 두 개의 캐스케이드 Sallen-Key 스테이지로 제작되어 80dB/decade 롤오프를 제공합니다.이는 일반적으로 ADC 앤티앨리어싱에 충분합니다. 이것이 바로 데이터 수집 시스템에서 이러한 구성이 계속 나타나는 이유입니다.듀얼 연산 증폭기 패키지 두 개, 저항 몇 개와 캡만 있으면 끝입니다.

버터워스의 최대 평탄한 통과대역은 코너 주파수에 도달할 때까지 신호가 그대로 유지된다는 것을 의미합니다.이상한 게인 변동은 걱정할 필요가 없습니다.위상 응답이 완벽하게 선형적이지는 않지만, 대부분의 애플리케이션에서 신경 쓰지 않을 정도로 괜찮은 수준입니다.어떤 필터를 사용해야 할지 잘 모르겠다면 여기서부터 시작하세요.

체비쇼프: 최대 경사도

흥미로운 점은 다음과 같습니다.Chebyshev Type I 필터는 통과대역 평탄도를 대체하여 롤오프를 훨씬 더 가파르게 합니다.일반적으로 0.5dB 또는 1dB로 지정되는 통과대역에 의도적으로 약간의 리플을 허용하면 그 대가로 저지대역 제거율이 크게 향상됩니다.

0.5dB 리플을 지정하면 통과대역 게인이 공칭 값과 ±0.25dB 차이가 난다는 뜻입니다.별로인 것 같죠?하지만 그 대가로 무엇을 얻을 수 있는지 확인해 보세요.

• 1dB 리플을 가진 4차 체비쇼프는 6차 버터워스와 동일한 저지대역 감쇠를 달성합니다.
• 즉, 연산 증폭기 2개, 저항 4개, 커패시터 4개 더 적습니다.

벽돌벽 차단이 필요하고 어느 정도의 통과대역 리플을 견딜 수 있는 RF 작업 또는 오디오 크로스오버에서는 Chebyshev가 적합한 경우가 많습니다.부품 절약만으로도 생산 설계 선택을 정당화할 수 있습니다.

하지만 문제는 체비쇼프의 그룹 지연 변동이 심하다는 것입니다.위상 응답은 상당히 비선형적이어서 펄스 충실도가 완전히 떨어집니다.타이밍이 중요한 데이터 신호를 필터링하려는 경우에는 체비쇼프를 사용하지 마십시오.필자는 누군가 디지털 신호 경로에 체비쇼프를 사용하는 시스템을 디버깅한 적이 있는데 왜 그들의 아이 다이어그램이 쓰레기처럼 보이는지 궁금했습니다.그런 사람이 되지 마세요.

베셀: 펄스 충실도를 위해

베셀 필터는 완전히 다른 기능, 즉 최대로 평탄한 그룹 딜레이를 최적화합니다.통과대역 내의 모든 주파수는 기본적으로 동일한 양만큼 지연되므로 펄스 형태가 그대로 유지됩니다.이는 다음과 같은 경우에 매우 중요합니다.

• 오실로스코프 입력 스테이지 (번진 버전이 아닌 실제 파형을 확인해야 함)
• 디지털 신호 재구성 (적절한 타이밍으로 비트가 도착해야 함)
• 심볼 타이밍이 절대적으로 중요한 QAM 수신기

하지만 트레이드오프는 꽤 심각합니다.베셀은 천천히 굴러갑니다. 다른 타입에 비해 고통스러울 정도로 느립니다.4차 베셀은 두 배의 차단 주파수에서 겨우 -10dB 정도에 불과합니다.같은 지점에서 버터워스의 경우 -24dB, 체비쇼프 1dB의 경우 -32dB와 비교해 보십시오.적절한 저지대역 제거를 얻으려면 종종 더 높은 차수로 이동해야 하는데, 이는 스테이지와 부품 수가 늘어난다는 의미입니다.

그러나 선형 위상이 필요한 경우 (단순히 “좋을 것”만 아니라 정말 필요할 때) Bessel이 유일한 선택입니다.신호 형태 보존이 불가능했던 테스트 장비와 펄스 측정 시스템에서 사용해 본 적이 있습니다.느린 롤오프는 여러분이 지불하는 대가에 불과합니다.

실용 설계: Sallen-Key 토폴로지

최대 약 1MHz의 액티브 필터의 경우 Sallen-Key 토폴로지는 거의 표준 2차 구성 요소입니다.단순하고 이해하기 쉬우며 구성 요소에 대한 내성이 뛰어납니다.

     R1      R2
In ──┤├──┬──┤├──┬──── Out
         │       │
        C1      C2
         │       │
        GND    (feedback)

각 단계에 대해 $\omega_c = 1$ rad/s로 정규화된 필터 설계 표에서 Q 인자와 $\omega_0$ 을 선택한 다음 모든 요소를 실제 차단 주파수로 스케일링합니다.예를 들어, 4차 버터워스는 Q = 0.5412이고 Q = 1.3066인 두 개의 2차 단계로 분해됩니다.캐스케이드하면 끝입니다.

동일 컴포넌트 Sallen-Key는 훨씬 더 간단하며 컴포넌트 선택을 훨씬 쉽게 해줍니다.

• R1 = R2 = R, C1 = C2 = C로 설정
• 그러면 $\omega_0 = 1/(RC)$ 및 $Q = 1/(3 - A_v)$, 여기서 $A_v$ 은 연산 증폭기 게인입니다.
• $Q = 0.707$ (표준 2차 버터워스) 의 경우: $A_v = 1.586$

대부분의 엔지니어는 특별한 이유가 없는 한 동일 성분 설계를 사용합니다.고유한 부품 값이 적으면 재고가 단순해지고 소싱이 쉬워집니다.피드백 저항 디바이더로 연산 증폭기 게인을 조정하여 필요한 Q에 도달할 수 있습니다.

연산 증폭기 선택

사람들이 자주 오해하는 것이 있습니다. 바로 연산 증폭기의 게인 대역폭 곱 (GBW) 이 필터의 작동 주파수보다 훨씬 커야 한다는 것입니다.경험상 법칙은 다음과 같습니다.

Q = 2인 10kHz 체비쇼프 필터의 경우 최소 4MHz 이상의 GBW가 필요합니다.1MHz GBW의 LM324 모델은 문제가 될 것입니다. 요청하지 않은 게인 오류와 위상 변이가 발생할 수 있기 때문입니다.TL072 (4MHz) 또는 OPA2134 (8MHz) 은 제대로 작동합니다.

Q² 라는 용어가 가장 치명적입니다.High-Q 스테이지에는 매우 빠른 연산 증폭기가 필요합니다.그렇기 때문에 컴포넌트가 더 많아지더라도 고차 필터를 여러 개의 하위 Q 스테이지로 나누는 경우를 볼 수 있습니다. 이렇게 하면 연산 증폭기 요구 사항이 완화되고 앰프를 한계까지 밀어붙이지 않기 때문에 전반적인 성능이 향상되는 경우가 많습니다.

노이즈와 오프셋도 분명히 중요합니다.정밀한 작업을 위해서는 OPA2134 또는 AD8066 같은 저잡음 연산 증폭기가 필요합니다.ADC에 앨리어스를 넣지 않으려는 범용 제품의 경우 TL072 하나면 괜찮고 비용도 훨씬 저렴합니다.

실제 사례: 1kHz 로우패스 안티앨리어싱 필터

실제와 같은 것을 디자인해 봅시다.8kHz ADC로 샘플링하기 전에 신호를 필터링해야 한다고 가정해 보겠습니다.앨리어싱을 방지하려면 4kHz에서 60dB 이상의 감쇠 (샘플링 레이트의 절반, 나이퀴스트 주파수) 가 필요합니다.

목표: 8kHz ADC 샘플링 전에 신호를 필터링하십시오.4kHz에서 60dB 이상의 감쇠가 필요합니다.

1. 필수 사항: 4/1에서의 60dB = 컷오프 주파수의 4배
2. 주문: $60 / (20 \log_{10} 4) = 60/12$, 따라서 최소 5번째 주문.6차 기준으로 약간의 여유를 두겠습니다. 실제 부품에는 허용 오차가 있기 때문에 제대로 작업하고 싶지는 않습니다.
3. 유형: 여기서는 버터워스가 말이 되네요.위상 선형성은 ADC를 공급하는 데 중요하지 않습니다 (어쨌든 ADC 자체는 위상 선형이 아닙니다). 우리는 신호 진폭에 영향을 주지 않기 위해 평평한 통과대역을 원합니다.
4. 토폴로지: 세 개의 계단식 Sallen-Key 스테이지, 각 스테이지는 2차입니다.
5. 구성 요소 값: R = 10 kΩ (소음에 비해 너무 높거나 주행하기에 너무 낮지 않은 좋은 표준값) 부터 시작하면 C = 1/(2π × 1000 × 10000) = 15.9nF가 나옵니다.작은 트리머와 함께 15nF 커패시터를 사용하여 다이얼인할 수도 있고, 16nF를 사용하여 컷오프가 1kHz보다 약간 낮다는 점을 받아들일 수도 있습니다. 내장된 마진을 고려하면 괜찮을 것입니다.

실제로는 프로덕션 환경에서 필터를 트리밍하는 것이 귀찮고 이 응용 분야에서는 주파수 이동이 미미하기 때문에 아마도 16nF를 사용하는 것이 좋습니다.정확히 1kHz가 필요한 경우에는 5% 허용오차 한도를 사용하여 측정하거나 15nF로 1nF를 병렬로 추가하세요.

차수 1부터 10까지의 버터워스, 체비쇼프, 베셀 응답을 지원하는 필터 디자이너 계산기함수를 사용하여 필터 계수를 설계하고 성분 값을 즉시 구할 수 있습니다.각 단계에 대한 Q 인자를 제공하고 유통업체에서 실제로 구할 수 있는 실제 성분 값을 선택하는 데 도움이 됩니다.

부품 허용 오차는 중요합니다

필터를 설계하고 나면 다음 질문은 다음과 같습니다. 실제 부품으로 제작했을 때 실제로 작동할까요?표준 세라믹 커패시터와 인덕터는 5% 또는 10% 의 허용 오차 빈으로 제공되며, 이러한 변화는 필터 성능에 큰 영향을 미칠 수 있습니다. 특히 극 배치가 좁은 체비쇼프 설계의 경우 더욱 그렇습니다.

RF 필터 Monte Carlo Tool를 통해 설계를 실행하여 부품 허용 오차가 수율에 미치는 영향을 확인해 보십시오.무작위 구성 요소 값으로 수천 개의 빌드를 시뮬레이션하고 통과대역 및 저지대역 사양을 실제로 충족하는 비율을 알려줍니다.100MHz에서 5차 0.5dB 체비쇼프 안티앨리어스 필터의 경우 1dB의 통과대역 평탄도와 200MHz에서 40dB의 거부율을 기준으로 판단했을 때 5% 부품은 99.5% 의 수율을 제공하지만 10% 부품은 83.5% 에 불과합니다. 그리고 해당 부품이 허용 오차 대역 전체에 균일하게 분산되어 있는 경우에는 52.5% 에 불과합니다.프로덕션 보드에서 시뮬레이션 매칭이 중단되기 전에 알아두는 것이 좋습니다.