バターワース対チェビシェフ対ベッセルフィルター

フィルタータイプの選択

アナログ設計では、3 つのフィルター近似がいたるところに現れます。どちらを選択するかは、実際のアプリケーションにとって何が最も重要かによって決まります。

多くのエンジニアがすべてをバターワースにデフォルトで使用しているのを見てきましたが、正直なところ、ほとんどの場合問題なく機能します。しかし、トレードオフを理解すれば、重要なときにコンポーネントを削ったり、パフォーマンスを向上させたりできるということです。

バターワース:安全なデフォルト

バタワースフィルターでは完全に平坦な通過帯域が得られ、リップルは全くありません。その振幅応答は次のようになります。

カットオフ周波数では、どの次数を選択しても常に正確に −3 dB になります。ロールオフは 20n dB/ディケードです。ここで n はフィルター次数です。シンプルで予測可能で、正しく機能します。

カスケード接続された2つのSallen-Keyステージで構築された4次バターワースでは、80dB/ディケードのロールオフが可能です。ADC のアンチエイリアシングには通常これで十分です。そのため、データ収集システムではこのような構成が頻繁に見られます。2 つのデュアルオペアンプパッケージ、少数の抵抗とコンデンサ、これで完了です。

Butterworthのパスバンドは最大限にフラットなので、コーナー周波数に達するまで信号はそのまま残ります。ゲインの変な変動を心配する必要はありません。位相応答は完全には直線的ではありませんが、ほとんどのアプリケーションでは問題にならないほど十分でしょう。どのフィルターを使うべきかわからない場合は、ここから始めてください。

チェビシェフ:最大の急勾配度

ここが面白いところです。チェビシェフ I 型フィルターでは、通過帯域の平坦度が引き換えに、はるかに急なロールオフになります。パスバンドのリップル (通常は 0.5 dB または 1 dB と指定) を意図的に許容すると、その見返りとして阻止帯域の除去が大幅に向上します。

0.5 dB リップルを仕様にすると、通過帯域のゲインは公称値から ±0.25 dB だけ変動することになります。悪そうに聞こえますよね？しかし、見返りに何が得られるかを確認してください。

• リップルが 1 dB の 4 次チェビシェフでは、6 次バターワースと同じ阻止帯域減衰が得られます
• オペアンプが2個少なく、抵抗が4個少なく、コンデンサが4個減ったことになります

RF ワークやオーディオのクロスオーバーで、ブリックウォールのカットオフが必要で、ある程度の通過帯域リップルに耐えられる場合は、チェビシェフが適切な選択肢となることがよくあります。部品の節約だけでも、量産設計での選択が正当化されます。

問題は、チェビシェフの群遅延のばらつきがひどいことです。位相応答はきわめて非線形なので、パルスの忠実度が完全に損なわれます。タイミングが重要なデータ信号をフィルター処理する場合は、チェビシェフには近づかないでください。デジタル信号経路でチェビシェフを使ったシステムをデバッグしたことがあるのですが、なぜアイダイアグラムがゴミのように見えるのか疑問に思いました。そんな人になってはいけない。

ベッセル:パルス・フィデリティ用

ベッセルフィルターは、群遅延を最大限にフラットにするという、まったく異なる機能に最適化されています。通過帯域内のすべての周波数は基本的に同じ量だけ遅延するため、パルスの形状は変わりません。これは次のような場合に非常に重要です。

• オシロスコープの入力ステージ（ぼやけたものではなく、実際の波形を確認したい）
• デジタル信号再構成 (ビットは適切なタイミングで届く必要があります)
• シンボルのタイミングが非常に重要なQAMレシーバー

ただし、そのトレードオフはかなり厳しいものです。ベッセルはゆっくりとロールオフします。他のタイプと比べると痛々しいほど遅いです。4 次ベッセルは、カットオフ周波数の 2 倍で約 -10 dB しか達成しません。これを、同じポイントでのバタワースの −24 dB、1 dB チェビシェフの場合の −32 dB と比較してください。阻止帯域を十分に除去するには、次数を高くする必要がある場合がよくあります。つまり、段数が増え、部品の数も増えます。

しかし、線形位相が必要な場合（「それがいい」というだけでなく、本当に必要な場合）、ベッセルが唯一の選択肢です。私はこれまで、信号形状の維持が不可欠だったテスト機器やパルス測定システムで使用してきました。スロー・ロールオフというのは、支払う代償に過ぎません。

実用的な設計:サレンキートポロジー

最大約1MHzまでのアクティブ・フィルタでは、サレン・キートポロジがほぼ標準の2次構成要素となります。これはシンプルでよく理解されており、コンポーネントにも耐性があります。

     R1      R2
In ──┤├──┬──┤├──┬──── Out
         │       │
        C1      C2
         │       │
        GND    (feedback)

各ステージについて、$\omega_c = 1$ rad/s に正規化されたフィルター設計表から Q 係数と $\omega_0$ を選択し、すべてを実際のカットオフ周波数に合わせてスケーリングします。たとえば、4 次バタワースは Q = 0.5412、Q = 1.3066 の 2 次ステージに分解されます。それらをカスケードすれば完了です。

Equal-component Sallen-Keyはさらにシンプルで、コンポーネントの選択もずっと簡単になります。

• R1 = R2 = R、C1 = C2 = Cに設定
• 次に $\omega_0 = 1/(RC)$ と $Q = 1/(3 - A_v)$。ここで $A_v$ はオペアンプのゲインです。
• $Q = 0.707$ (標準2次バターワース) の場合: $A_v = 1.586$

ほとんどのエンジニアは、特に理由がない限り、等価部品設計を採用しています。固有部品の値が少ないほど、在庫が簡単になり、調達が容易になります。フィードバック抵抗分圧器でオペアンプのゲインを調整することで、必要なQ値を達成できます。

オペアンプの選択

オペアンプのゲイン帯域幅積 (GBW) は、フィルターの動作周波数よりもずっと大きくなければならないという誤解がよくあります。経験則は以下のとおりです。

Q = 2 の 10 kHz チェビシェフフィルターの場合、最小 GBW > 4 MHz が必要です。GBW が 1 MHz の LM324 は問題になります。求めていなかったゲイン誤差や位相シフトが発生することになります。TL072 (4 メガヘルツ) または OPA2134 (8 メガヘルツ) は正常に動作します。

Q² という用語がキラーです。高Qステージには非常に高速なオペアンプが必要です。そのため、部品数が多い場合でも、高次フィルターを複数の低Qステージに分割する人がいます。これにより、オペアンプの要件が緩和され、アンプを限界まで押し込まないため、全体的なパフォーマンスが向上することがよくあります。

当然のことながら、ノイズとオフセットも重要です。高精度の作業には、OPA2134やAD8066のような低ノイズのオペアンプが必要です。エイリアスをADCに含めないようにしたいだけの汎用的なものには、TL072で十分で、コストもわずかです。

実際の例:1 kHz ローパス・アンチエイリアシング・フィルタ

リアルなものをデザインしよう。たとえば、8 kHz ADC でサンプリングする前に信号をフィルタリングする必要があるとします。エイリアシングを防ぐために、4 kHz で 60 dB を超える減衰量 (サンプリングレートの半分、ナイキスト周波数) が必要です。

目標: 8 kHz ADC サンプリングの前に信号をフィルタリングします。4 kHz では 60 dB 以上の減衰が必要です。

1. 必須: 4/1 で 60 dB = カットオフ周波数の4倍
2. 注文: $60 / (20 \log_{10} 4) = 60/12$ なので、最低でも5次です。6 次を使用してある程度の余裕を持たせましょう。実際の部品には公差があり、端にこだわるのは避けたいものです。
3. タイプ: バターワースはここでは理にかなっています。ADCへの給電には位相直線性は重要ではありません (とにかくADC自体は位相線形ではありません)。信号振幅を乱さないように、フラットな通過帯域が必要です。
4. トポロジ: カスケード接続された 3 つのサレン・キー・ステージ (それぞれ 2 次)
5. コンポーネント値: R = 10 kΩ (騒音に対して高すぎず、運転するには低すぎない優れた標準値) から始めると、C = 1/(2π × 1000 × 10000) = 15.9 nF になります。15 nFのコンデンサと小さなトリマーを使用してダイヤルインするか、16 nFのコンデンサを使用してカットオフが1 kHzよりわずかに低くなることを受け入れることもできます。これは、組み込まれているマージンを考えるとおそらく問題ありません。

実際には、私はおそらく16nFを使用するでしょう。というのも、このアプリケーションでは、生産時のフィルタのトリミングは煩わしく、周波数シフトはごくわずかだからです。本当に1kHzだけが必要な場合は、5% の許容誤差キャップを使用して測定するか、15 nF にして並列に 1 nF を追加してください。

次数 1 ～ 10 のバターワース、チェビシェフ、およびベッセル応答をサポートする フィルターデザイナー計算ツールを使用して、フィルター係数を設計し、コンポーネント値を即座に取得できます。各段階の Q 係数がわかり、ディストリビューターから実際に入手できる実際の成分値を選択するのに役立ちます。

部品公差は重要です

フィルターを設計したら、次の疑問は、実際のコンポーネントで構築しても実際に機能するかということです。標準のセラミックコンデンサとインダクタには 5% または 10% の許容誤差があり、これらのばらつきはフィルタの性能に大きな影響を与える可能性があります。特に、極配置が狭いチェビシェフの設計ではそうです。

RF Filter Monte Carlo Toolを使用して設計を実行して、部品の許容誤差が歩留まりにどのように影響するかを確認してください。ランダム化されたコンポーネント値を使用して何千ものビルドをシミュレートし、実際にパスバンドとストップバンドの仕様を満たすパーセンテージを教えてくれます。100 MHzにおける5次の0.5 dBチェビシェフアンチエイリアス・フィルタについて、200 MHzでの通過帯域平坦度が1 dB、除去率が 40 dB であることから判断すると、5% の部品では 99.5% の収率が得られますが、10% の部品では 83.5% しか得られません。また、これらの部品が許容範囲全体に均等に分散されている場合は 52.5% です。これは、生産基板がシミュレーションと一致しなくなる前に知っておく価値があります。